Diskussion:Dreiecksungleichung

Ich habe mal eine Abbildung mit einem sphärischen Dreieck eingefügt, bin aber selber nicht ganz glücklich damit. Meiner Meinung nach sollte es besser ausgelagert werden auf die Seite Sphärisches Dreieck (oder Spärische Trigonometrie?). Die allerdings wäre noch zu erstellen. Mikue 16:06, 3. Apr 2003 (CEST)

hi die dreiecksungleichung für c = a + b scheint mir kein dreieck zu sein, da alle punkte auf einer geraden liegen würden. sehe ich das richtig? wenn ja oder nein bitte ich um antwort gez. shit

Es handelt sich um ein entartetes Dreieck. --Stefan Birkner 17:54, 5. Mai 2007 (CEST)

Betragsstriche bei Dreiecksungl. für Vektoren

Hallo, fehlen unter Dreiecksungleichung für Vektoren nicht in der zweiten Ungleichung Betragsstriche um das 2a*b, bzw. nur das a*b? MmN müsste es folgender Maßen aussehen: $\left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}$ Oder sehe ich das falsch?--Area42 00:29, 7. Jan. 2010 (CET)

Da sich niemand dazu geäußert hat und ich überzeugt bin, dass es korrekt ist, habe ich die entsprechende Stelle im Artikel jetzt geändert.--Area42 18:04, 13. Jan. 2010 (CET)

Ergänzung

Im Königsberger Analysis I steht auch noch ${\Big |}\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|z_{1}-z_{2}\right|$. Zwar nur für Reelle Zahlen, gilt für Komplexe aber genauso. Könnte man eventuell noch ergänzen, manchmal benötigt man soetwas für Übungs aufgaben :) Gruß Azrael. 20:14, 2. Jul. 2007 (CEST)

Hm. Sieht man eigentlich sofort wenn man's in der Form ${\Big |}\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|{\Big |}\leq \left|z_{1}+(-z_{2})\right|$ schreibt. Ist das wirklich erwähnenswert? --NeoUrfahraner 21:57, 2. Jul. 2007 (CEST)

Oh stimmt.Ich hats nicht nicht gesehen..., aber dass muss ja nichts heißen..:) Gruß Azrael. 23:27, 2. Jul. 2007 (CEST)

zu viele dreieecksungleichungen

hallo
ich bin der meinung dass die struktur dieses artikels schlecht ist.
besser waere es die dreiecksungleichung fuer normierte vektorraeume als basis zu nehmen.
und von da aus die sonderfaelle zu nehmen:
- dreieckungleichung fuer dreiecke/dreiecksungleichung fuer vektoren ist dasselbe (nur ohne vektorpfeile :P)! man sollte hier sagen dass der betrachtete spezialfall folgender ist:
der $\mathbb {R} ^{n}$ (mit n = 3, 2, 1 als gaengige faelle) mit der euklidischen norm
da sollte man sich auch noch mal klarmachen was ein vektor ist! wir sind ja hier nicht in der schule das vektor meint: element des $\mathbb {R} ^{2}$ oder $\mathbb {R} ^{3}$ - reelle zahlen, siehe oben
- komplexe zahlen: da sollte man vielleicht allgemein $\mathbb {C} ^{n}$ aufnehmen. das macht obige faelle zwar redundant aber evtl sollte man die beibehalten
- dreiecksungleichung fuer summen: da es sich hier um eine endliche summe halte ist das trivial, aber erwaehnenswert, sollte also seinen platz haben (mit dem hinweis dass ein induktionisargument auf diese ungleichung fuehrt)
- "Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:" das ist eine schlechte formulierung der satz fuer die integrale, hat moeglicherweise ein existenzrecht in diesem artikel. das kann man in dieser form naemlich nicht auf eine (integral-)norm zurueckfuehren (jedenfalls nicht ohne modifikationen)
- vektoren: siehe oben, redundant
- "sphaerische dreiecke" ist gut

das hat den vorteil dass man sich diese elementaren beweise sparen kann. das sind grunduebungen im mathematikstudium, die soll sowieso jeder mal gerechnet haben, und wenn man zu faul ist stehen die sowieso in jedem buch. allenfalls gehoert das in ein wikibook.
es ist viel eleganter zu sagen dass normen (unter anderem) durch die dreiecksungleichung definiert sind. es reicht dann aus fuer alle spezialfaelle zu behaupten dass es sich um einen vektorraeum handelt und um die entsprechende norm. alternativ koennte man als allgemeinsten fall den metrischen raum nehmen. dann sagen dass jeder normierte raum mit der kanonischen wahl ein metrischer ist.
in jedem fall bleiben dann die beweise dort haengen wo sie hinsollten: bei den beispielen fuer normen/metriken zb im artikel fuer die euklidische norme fuer R^n und C^n.

zusaetzlich koennte man noch mehr gaengige beispiele sammeln, bzgl oben genannter integralnormen, oder zusaetzlich den fall eines hilbertraums betrachten (skalarprodukt induziert norm und metrik)

ich werde jetzt ein bisschen abwarten was hier dazu gesagt wird und den artikel dann moeglicherweise selbst bearbeiten wenn ich die zeit finde

mfg

Grundsätzlich stimme ich zu, dass der Artikel nicht besonders toll ist. Bei einer Restrukturierung sollte aber aufgepasst werden, dass das Zielpublikum nicht die Leute mit Mathematikstudium sind (Wikipedia:Oma-Test). Der Einstieg sollte als nicht zu abstrakt sein, also die simple anschauliche Ungleichung am Dreieck, die jeder aus Erfahrung nachvollziehen kann, gehört dazu. Danach kann es abstrakter werden, wobei meiner Meinung nach der metrische Raum der passende Startpunkt ist, da dort die Beziehung zum Dreieck leichter darstellbar ist, und dann kann man ja auf konkrete Räume/Summen/Integrale herunterbrechen. Falls Du Beweise streichst, wäre es evtl. günstig, sie gleich in die Wikibooks mitaufzunehmen (Urheberrecht beachten, vgl. Hilfe:Artikel zusammenführen). Viel Erfplg, --NeoUrfahraner 11:51, 21. Sep. 2007 (CEST)

WICHTIG: Dreiecksungleichung für Dreiecke

Fehlt da nicht c >= |b| - |a|

oder in Worten: "..., wobei c jedoch größer oder gleich der Differenz der seiten a und b ist."

??

Bin mir leider nicht 100% sicher, sonst würde ich es ändern.

Das steht schon drin ($b-a\leq c$), nur ohne Betragsstriche. Diese sind jedoch überflüssig, da es keine negativen Seitenlängen gibt. --Stefan Birkner 00:33, 20. Okt. 2007 (CEST)

Negatives Vorzeichen

Durch die scheinbare Vereinfachung http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreiecksungleichung&diff=42166968&oldid=42134722 muss man jetzt überall das $\pm$ im Beweis mitschleppen. Was soll das? Der simple Trick, den zweiten Summanden mit einem Minus versehen einzusetzen, deckt doch alle anderen Fälle ab. Wie sich jetzt erkennen lässt, ist die Strafe für das Streichen dieses Tricks ein Vorzeichenchaos in den weiteren Beweisen. --NeoUrfahraner 01:34, 7. Feb. 2008 (CET)

Oh, hast Recht.

Hatte das eben immer so in den Vorlesungen präsentiert bekommen und in dieser Form quasi auswendig gelernt. Jetzt, wo du's sagst, fällt mir auch wieder ein, dass man immer einfach den negativen Summanden einsetzten konnte, um zu dem Minus in dem einen Term zu kommen. Da man die Δ-UGL als praktizierender Mathematiker eh immer ohne groß Nachzudenken anwendet, treten diese Zusammenhänge, wenn einmal gelernt, in den Hintergrund. Ich fänd's aber dennoch gut, das Plus-Minus in der endgültigen Formel (also die vor dem Beweis) drinzulassen, ist ja nicht jeder ein geübter Mathematiker und kommt ganz selbstverständlich darauf. Aus dem Beweis sollte es aber tatsächlich, vor allem der Übersicht halber, raus und man sollte am Ende kurz darauf verweisen, dass sich die Minus-Form durch Einsetzen der negativen Variable ergibt.

Danke für den Hinweis. —Markus Prokott 02:58, 7. Feb. 2008 (CET)

Ja, mit dieser Variante bin ich einverstanden (also mit plus/minus formulieren, Beweis für's Plus führen und dann ergänzen, dass sich der Minus-Teil durch Einsetzen ergibt). --NeoUrfahraner 03:26, 7. Feb. 2008 (CET)

Nachtrag: Sehe gerade, dass das oben schon mal zum Teil diskutiert wurde. Also schließe ich mich mal Azraels Meinung an. —Markus Prokott 03:02, 7. Feb. 2008 (CET)

Und von mir auch ein Nachtrag: der Teil $|a|{-}|b|\leq {\Big |}|a|{-}|b|{\Big |}$ gehört nicht zur eigentlichen Dreiecksungleichung, sondern ergibt sich als simples Korollar. Man erhält es beispielsweise als Anwendung der (namenlosen?) Ungleichung $x<|x|$ für $x:=|a|{-}|b|$, die bereits im Beweis vorkommt. Man kann's aber auch als simple Anwendung der Dreiecksungleichung auf $|a|-|b|$ und $|b|$ auffassen:

$|a|={\Big |}\left(|a|-|b|\right)+|b|{\Big |}\leq {\Big |}|a|-|b|{\Big |}+|b|$

und $|b|$ auf beiden Seiten subtrahieren. --NeoUrfahraner 03:50, 7. Feb. 2008 (CET)

Nun, was zur Dreiecksungleichung genau dazugehört, kann man nicht so abschließend festlegen. Die eigentliche Dreiecksungleichung lautet nur |a+b|<=|a|+|b|. Alles andere ist Beiwerk, wird aber im Allgemeinen als Paket präsentiert und firmiert dann auch so unter der Bezeichnung Dreiecksungleichung. Ich habe immer alle vier Gleichungen in einem präsentiert bekommen und finde das auch sinnvoll, weil das irgendwie einen sinnvollen Zusammenhang bildet. Ich finde man kann das so lange machen, wie man die Terme in ein und dieselbe Gleichungskette schreiben kann und keine trivialen Aussagen getroffen werden. Ein leichter Beweis heißt allerdings noch nicht ein trivialer Beweis, Entsprechendes gilt für die bewiesenen Tatsachen. Trivial wäre z.B. (im Reellen) ganz links das Gleichungsglied -∞ < anzufügen.

—Markus Prokott 17:36, 7. Feb. 2008 (CET)

Stimmt, eigentlich reicht es völlig, für die rellen/komplexen Zahlen bzw. Vektoren und normierte Räume (und im Prinzip auch für metrische Räume) jeweils $|a+b|\leq |a|+|b|$ zu zeigen, der Rest ergibt sich dann jeweils nach dem gleichen Schema:

$|a+b|-|b|\leq |a|$

Einsetzen von $a:=x+y,b:=-y$ gibt

$|x|-|y|\leq |x+y|$,

einsetzen von $a:=x+y,b:=-x$ gibt

$|y|-|x|\leq |x+y|$,

zusammen (denn aus $u\leq c$ und $-u\leq c$ folgt $|u|\leq c$)

${\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leq |x+y|$

und natürlich auch

$|x|-|y|\leq {\Big |}|x|-|y|{\Big |}$

sowie

$|y|-|x|\leq {\Big |}|x|-|y|{\Big |}$.

Das vereinfacht und vereinheitlicht den Artikel und macht den logischen Zusammenhang der Ungleichung deutlicher. --NeoUrfahraner 02:39, 8. Feb. 2008 (CET)

Das Beweisschema ist sehr schön und vor allem auch für Laien eingängig, denke ich. Man sollte vielleicht erst für reelle und komplexe Zahlen die elementare Dreiecksungleichung für die Betragsfunktion zeigen. Dann könnte man in einem Satz die normierten Räume, die reellen und die komplexen Zahlen in Bezug auf die längere Dreiecksungleichung abhandeln. Ich denke am sinnvollsten mit einer Formulierung wie: „Für sämtliche normierten Räume, inbesondere für die reellen und komplexen Zahlen, gilt…“ In dem Beweis zu diesem Satz könnte man dann das angeführte Beweisschema, aufbauend auf die vorausgesetzte (und für die reellen/komplexen Zahlen gerade bewiesene) elementare Dreiecksungleichung, anwenden.

Ich weiß nicht, ob man die elementare Dreiecksungleichung auch für reelle/komplexe Vektoren zeigen sollte, auch weil ich den Beweis jetzt nicht mehr im Kopfe habe. Wird aber vielleicht etwas viel Spezialwissen, dass besser in einen Artikel über den $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$ reingehört. Aber das kommt vielleicht auch auf die konkrete Formulierung und Einbindung in den Artikel an. Jedenfalls wäre noch der Spezialfall $\mathbb {R} ^{2}$ für die namensgebende Anschauung interessant, der würde dann vielleicht auch schon ausreichen, um anzudeuten, wie sich der Beweis in beliebigen Dimensionen abspielen würde. Dieser Fall wäre dann die mathematische Formalisierung der vornangestellten geometrischen Beschreibung für gewöhnliche Dreiecke.

In jedem Fall wäre es aber gut, im Anschluss an den Beweis (für normierte Räume) noch ein paar typische, verlinkte Beispiele für normierte Räume anzuführen, inkl. $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {C} ^{n}.$

Bin mittlerweile auch am Zweifeln, ob $|a|-|b|\leq {\Big |}|a|-|b|{\Big |}$ nicht doch ein bisschen zu trivial ist. Es kommen ja einfach nur die Betragsstriche hinzu. Vielleicht wäre aber dann wieder die eben von dir angeführte umgedrehte Version mit |b|-|a| interessant.

Gruß —Markus Prokott 18:24, 8. Feb. 2008 (CET)

Ich hab's jetzt eingebaut, der Artikel ist dadurch um 285 Bytes kürzer ;-) --NeoUrfahraner 03:55, 12. Feb. 2008 (CET)

Oh, leider habe ich ihn wieder etwas größer gemacht. Ist aber immer noch um 64 Bytes kleiner als zuvor. Habe u.a. die Beweise von zusätzlichen Folgerungen abgesetzt. (Ein Beweisendezeichen scheints hier ja nicht zu geben.) Habe auch dein kurzes Lemma in Klammern: „denn aus u<=c…“ dazugenommen. Ich fand es hier in der Diskussion schon angemessen zum besseren, leichteren, schnelleren Verständnis, dann wird es für Laien auf jeden Fall sinnvoll bzw. wichtig sein.

Jedenfalls ist der Artikelteil in dieser Form definitiv verständlicher, klarer – und somit besser.

Gruß —Markus Prokott 05:18, 12. Feb. 2008 (CET)

OK, --NeoUrfahraner 13:39, 12. Feb. 2008 (CET)

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Hi. Ich denke es wäre für Google-Benutzer gut, bei einer Aussage wie

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leq \|x\pm y\|$

irgendwo mal ‚umgekehrte Dreiecksungleichung‘ stehen zu haben. Zumindest ich hätte mir da gerade ein paar Minuten gespart. Ich will aber als IP hier nicht in dem Artikel rumpfuschen. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 86.56.63.50 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 06:49, 17. Mär. 2008 (CET))

Ist es jetzt besser? --NeoUrfahraner 06:55, 17. Mär. 2008 (CET)

Ja, super. Danke. 86.56.63.50 15:50, 19. Mär. 2008 (CET)

Der "Beweis" der umgekehrten Dreiecksungleichung ist kein Beweis. Hier wird von der Behauptung ausgegangen, damit kann man alles "beweisen". Man darf nur gesicherte Aussagen verwenden und keine, die man erst noch beweisen will. Richtig: Einfach in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben! Dann siehts auch schön geheimnisvoll aus. (nicht signierter Beitrag von 79.240.252.234 (Diskussion) 10:13, 1. Jun. 2013 (CEST))

Das ist vielleicht ein Missverständnis. Die "umgekehrte Dreiecksungleichung" ist nicht die logische Umkehrung der Dreiecksungleichung (bei der Voraussetzung und Behauptung vertauscht werden), sondern eine arithmetische Umkehrung (statt der Summe zweier Dreiecksseiten betrachtet man die Differenz). Für den Beweis wird das Gelten der "normalen" Dreiecksungleichung vorausgesetzt. --Digamma (Diskussion) 12:42, 1. Jun. 2013 (CEST)

Euler nach Athen tragen

Zitat: "Sie gilt jedoch, wenn man sich auf euklidische Dreiecke, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist, beschränkt." (Italics sind von mir.) Nicht jeder Euler ist klidisch. Ich kann mich nur wiederholen: Wie bei medizinischen und juristischen Themen sollten auch die mathematischen und naturwissenschaftlichen Themen mit einer Warnung versehen werden. Es sind einfach zu viele Fehler darin. Der Schachtelsatz lässt sich übrigens sehr leicht auflösen, indem man das Wörtchen 'beschränkt' vorzieht ("wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche ...") --84.177.26.16 11:41, 27. Apr. 2011 (CEST)

Habe es korrigiert.-- Digamma 12:20, 27. Apr. 2011 (CEST)

Kleiner Fehler

Hello, bei "Dreiecksungleichung für Summen und Integrale" scheint im "dritten Formelblock" beim unbestimmten Integral ein "von x", also "(x)" zu fehlen, glaub' ich.

Sehr aufschlussreicher Artikel, vor allem bei den Tricks mit den komplexen Zahlen fällt mir die Kinnlade runter, Danke.

Gruß Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 00:17, 13. Okt. 2015 (CEST)

Habes ergänzt. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:08, 13. Okt. 2015 (CEST)

Beweis umgekehrte Dreiecksungleichung

"Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt $|a+b|-|b|\leq |a|.$ Einsetzen von $a:=x+y,\ b:=-y$ gibt..." Hier wird zunächst gar nicht gesagt, was $a$ und $b$ sind. Gut, man kann sich denken, es handele sich wohl um irgendwelche ("beliebigen") reellen Zahlen. Doch diesem Gedanken wird schon im nächsten Satz eine Abfuhr erteilt, dort werden dann nämlich $a$ und $b$ definiert, und zwar als $x+y$ bzw. $-y$, ohne zu sagen, was $x$ und $y$ nun sein mögen... Entschuldigt den leicht sarkastischen Ton. Was ich sagen müsste: Diese Herleitung dürfte schon für den interessierten mathematischen Laien aufgrund der unklaren Darstellung schwer verdaulich sein. --Mathze (Diskussion) 10:51, 13. Jan. 2023 (CET)