Diskussion:Dynamisches System

Definition

Unter einem dynamischen System versteht man mathematische Modelle....

Mathematik ist ja hilfreich, muss aber nicht sein. Insofern ist die Aussage falsch! --Kölscher Pitter 13:48, 15. Jul. 2007 (CEST)

ein dynamisches system ist als beliebige menge mit einer gruppe die darauf wirkt definiert. insofern schon richtig.

additiv, multiplikativ

In der formalen Definition war die Gruppe multiplikativ geschrieben, wohingegen in der Erläuterung eine additive Gruppenverknüpfung benutzt wurde. Hab das in der Definition mal geändert. --91.67.220.131 23:37, 24. Jul. 2008 (CEST)

Allgemeinverständlichkeit

Hallo, ich bin ein Laie und kann mit der Gesamten Seite nichts anfangen. Dafür sind doch Lexika da, dass man nachschauen und es verstehen kann. Aber hier hat man keine Chance.(nicht signierter Beitrag von 84.147.85.124 (Diskussion) 18:46, 9. Jan. 2009)

Ich finde diesen Artikel auch ziemlich fuerchtbar - formelle, abstrakte Definitionen, und hybride Systeme gleich nach dem Anfang?? Das koennen nur die Leute verstehen, die schon ueber DS Bescheid wussten. Und als erster 'Beispiel' solch ein Satz zu geben finde ich volkommen ungeeignet. SIR ist viel besser, aber dann bitte gleich im Text schreiben!(nicht signierter Beitrag von 91.17.212.179 (Diskussion) 21:58, 16. Feb. 2009)

Allgemeingültigkeit

Die Definition im Artikel ist nicht allgemeingültig! Es werden dynamische Systeme mit einer Gruppenwirkung definiert, obwohl es auch unumkehrbare dynamische Systeme gibt:

Z.B. wird sogar im Artikel als wichtiger Spezialfall die Symbolische Dynamik angegeben mit $(G,\cdot ,e)=(\mathbb {N} _{0},+,0),$ obwohl $(\mathbb {N} _{0},+,0)$ selbstverständlich keine Gruppe ist!

Das gleiche gilt für die logistische Gleichung.

Auch unter „Erläuterung“ wird im Artikel die Halbgruppeneigenschaft richtiger Weise herausgestellt: Für ein dynamisches System braucht es also nur eine Halbgruppenoperation auf einem entsprechenden Zustands- bzw. Phasenraum. --RPI 18:52, 12. Okt. 2009 (CEST)

Ich habe den Artikel etwas überarbeitet, so dass er jetzt im Ganzen stimmiger sein sollte. --RPI 21:20, 12. Okt. 2009 (CEST)

Bitte komplett löschen

Das versteht ja kein Mensch (und ich habe nicht nur Abitur, sondern auch ein technisches Studium)... Daher bitte _komplett_ löschen und neu erstellen, von jemanden, der entweder weniger Ahnung hat und daher allgemeinverständlicher formuliert oder von jemanden, der extreme Ahnung hat, die könnens nämlich erfahrungsgemäß meistens auch... -- 212.23.104.189 13:33, 5. Dez. 2010 (CET)

Zudem fachlich mangelhaft - kein Wort von Nichtlinearität und Lorenz-Attraktor - Und dass das ganze auch ohne aufgeblasene mathematische Selbstbefriediungsorgien geht, zeigt ja der englische Artikel: http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_system 212.23.104.189 13:44, 5. Dez. 2010 (CET)

Bitte nicht komplett löschen!

Denn der Artikel ist gut, viel besser als die englische Version. Und falls eine allgemeine Einführung fehlt, dann ist letztere zu ergänzen. Linearität/Nichtlinearität ist ein wichtiges Merkmal zur Klassifizierung dynamischer Systeme, in der Tat. Aber dann bitte ergänzen und nichts löschen! Ich kann mich zudem nur wundern, wenn einer meiner Vorredner das Fehlen eines Hinweises zum Loranzattraktor als Kriterium benutzt, den Artikel zu diffamieren. (nicht signierter Beitrag von 89.130.24.226 (Diskussion) 00:26, 13. Jun. 2011 (CEST))

Ich finde den Artikel auch gut, viel besser als die .en-Entsprechung en:Dynamical system (definition)(!). – Rainald62 09:15, 13. Jun. 2011 (CEST)

Beispiele

Das Beispiel mit dem Fluss aus der Physik empfinde ich als Zumutung. Ich habe ein neues, sehr einfaches Beispiel hinzugefügt.--McMalloc 17:27, 29. Jan. 2012 (CET)

Formelzeichen

Gibt es ein gängiges Formelzeichen für ein dynamisches System? Dann müsste man nicht jedesmal $(T,X,f),$ schreiben. MfG Pappen (Diskussion) 21:38, 15. Mär. 2013 (CET)

Ich denke, das würde nichts helfen. Es steht ja gerade deswegen (T,X,f) da, weil im Nachfolgenden auf T, X und/oder f Bezug genommen wird. Davon abgesehen denke ich, dass der Artikel viel zu formal gehalten ist. --Digamma (Diskussion) 11:33, 17. Mär. 2013 (CET)

Grundlagenergänzung des Artikels "Dynamisches System"

Ich habe den bestehenden Artikel wesentlich - aber zurückhaltend mit mathematischen Formulierungen - erweitert und hoffe zum Teil verständlich gemacht.

Die in der Intro formulierte Definition des dynamischen Systems stimmt in groben Zügen mit meinen Kenntnissen und denen meiner Fachbücher überein. Lese ich den Abschnitt "Definitionen", habe ich den Eindruck, ich komme vom Mond. Nichts davon verstehe ich, obwohl ich in der Lage bin, mit Ausnahme der partiellen Differenzialgleichung mit den von mir angegebenen mathematischen Verfahren in kürzester Zeit, das Verhalten dynamischer Systeme vor- und rückwärts berechnen zu können.

Schließlich verhalten sich dynamische Systeme linear, kontinuierlich nichtlinear, diskontinuierlich nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und totzeitbehaftet. Dafür gelten die unterschiedlichsten mathematischen Beschreibungen und Berechnungsverfahren. Davon gab der bisherige Artikel keine Auskunft, oder ich habe was nicht richtig verstanden.

Offensichtlich ist der bis dahin bestehende Artikel von Mathematikern gestaltet worden. Vielleicht können Mathematiker den Abschnitt "Definitionen" mit etwas Text belegen, der Auskunft gibt, um was es bei den komprimierten Formaldefinitionen eigentlich dabei geht. Ein Leser mit technischem Verständnis und mathematischen Grundkenntnissen wird es danken.

Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 19:36, 4. Feb. 2014 (CET)

Ich habe mir deine Ergänzung angeschaut und muss leider sagen, dass sie aus meiner Sicht ziemlich am Thema vorbeigeht. Was sich ein Leser an dieser Stelle wünschen würde, wäre doch eine einfache Hinführung, um die anschließende Definition besser zu verstehen. Das heißt, an einem ganz konkretem Beispiel sollten Begriffe und Eigenschaften wie Fluss, Orbit/Halborbit, Halbgruppeneigenschaft usw. verdeutlicht werden. Am besten vielleicht an einem diskrete und an einem kontinuierlichen Beispiel, damit der Leser Unterschiede und Gemeinsamkeiten der beiden Fälle besser erkennt. -- HilberTraum (Diskussion) 12:52, 18. Feb. 2014 (CET)

Eine unangenehmere Kritik, einen Fachabschnitt geschrieben zu haben, der an einem Thema vorbeigeht, gibt es wohl nicht. Besonders, wenn sie nicht begründet wird.

Ich habe den elementaren Wissensstand der Fachliteratur für das "Dynamische System" aus Ingenieur-Sichtweise komprimiert auf ca. 2 Seiten DIN A4 wiedergegeben, wobei sich mir der ursprüngliche Zustand des Artikels als Text- und grafiklose Formelwüste dargestellt hat.

Damit die Kritik von mir nicht als heiße Luft wahrgenommen wird, wäre es wünschenswert im Sinne der Artikelverbesserung zu klären, ob die nachstehenden Definitionsmerkmale am Thema "Dynamisches System" vorbeigehen.

Nach der Fachliteratur bezieht sich ein technisches dynamisches System auf den physikalischen Aufbau (Anordnung der Speicher, Einfach- Mehrfachsysteme), die verschiedenen Formen des Zeitverhaltens, der Art der Signale (stetig, unstetig, zeitdiskret), der mathematischen Modellbeschreibungen für lineare und nichtlineare Systeme, deren Lösungen und der Systemanalyse.

Dein Vorschlag, an einem konkretem Beispiel sollten Begriffe und Eigenschaften wie Fluss, Orbit/Halborbit, Halbgruppeneigenschaft usw. verdeutlicht werden, wartet auf deine Initiative. Es handelt sich hier doch um ein Detail der Systembeschreibung, oder? Es ist zu klären, wie groß der Artikel werden soll.

Mein Vorschlag bzw. Bitte, dass ein Mathematiker den Abschnitt "Definitionen" mit etwas Text zum besseren Verständnis belegen könnte, gilt immer noch.

Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 14:31, 19. Feb. 2014 (CET)

Hallo HeinrichKü,

Der hier behandelte Begriff "dynamisches System" ist eine formale, mathematische Beschreibung, wie sich ein Punkt zeitabhängig in einem bestimmten Zustandsraum verhält. Deine Ergänzung behandelt dagegen den Begriff, wie ihn die Regelungstechnik bei der Darstellung und Beschreibung von Regelkreisen u.ä. verwendet.

Das ist zwar von der Grundidee irgendwo das gleiche, aber ich denke, es liegt für einen einzigen Artikel thematisch zu weit auseinanderliegt. Mein Vorschlag an dich wäre, doch einfach einen eigenen Artikel "Dynamisches System (Regelungstechnik)" aufzumachen und deine Beschreibung von dynamischen Systemen dort abzulegen.

Alternativ kann man auch mal bei den Mathematikern nachfragen.--Plankton314 (Diskussion) 15:15, 19. Feb. 2014 (CET)

@HeinrichKü, vielleicht hätte ich erst mal sagen sollen, dass ich prima finde, dass überhaupt mal jemand versucht, sich um den Bereich Dynamische Systeme zu kümmern, denn da scheint mir doch Einiges im Argen zu liegen.

@alle: Ja, dynamische Systeme haben ja in ihrer einfachsten Form (und damit sollte man beginnen) erst mal keine Eingänge und Ausgänge, sondern beschreiben nur eine bestimmte Art von Zustandsveränderungen. Die Ergänzung beschreibt ja etwas viel Komplizierteres, was schon in die Richtung Regelung dynamischer Systeme geht. Dieses Thema kann sicher auch im Artikel angesprochen werden, aber dann bitte – im Sinne des Lesers! – eher am Schluss, wenn er schon Einiges über dynamische Systeme an sich erfahren hat.

Zu den konkreten Beispielen: Ich könnte mir als Hinführung zur (zugegeben abstrakten Definition) beispielsweise so was wie Exponentielles Wachstum und dann ein vielleicht ein Federpendel vorstellen, also irgendwas ganz Einfaches und Anschauliches, an dem man die abstrakten Begriffe erklären kann. -- HilberTraum (Diskussion) 17:32, 19. Feb. 2014 (CET)

Danke für die Beruhigungstropfen.

1. Ein dynamisches System, dass keine Ein- und Ausgänge hat, ist nicht steuerbar und beobachtbar und kann nach meinem Wissensstand nicht beschrieben und analysiert werden. Es kann ein Eigenleben haben, dass nach Außen nicht in Erscheinung tritt.
2. Das Verhalten eines Systems ohne Eingangserregung bei bekanntem Systemzustand (d.h. mit Anfangswerten der Systemspeicher) kann sehr wohl beschrieben werden, wenn eine der verschiedenen Formen der mathematischen Systembeschreibung vorliegt. Es handelt sich um ein System, dass zum Zeitpunkt t₀ sich selbst überlassen ist und einen stabilen Endzustand anstrebt. Dies ist meist eine Ruhelage oder - auf unserer Erde - eine natürliche Begrenzung.
3. Das Intro des Artikels lässt nicht daraus schließen, dass der Begriff "Dynamisches System" sich auf eine spezielle Auslegung bezieht und technische Systeme des Alltags ausschließt.
4. Ich kann mir vorstellen, dass Mathematiker das anders sehen.

Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 19:39, 19. Feb. 2014 (CET)

Um mal unten anzufangen, hoffe ich doch sehr, dass Mathematiker das nicht grundsätzlich anders sehen als andere Menschen ;-) Wenn dein Ziel ist, mehr zu realen dynamischen Systemen des „Alltags“ einzubringen, dann bin ich voll und ganz auf deiner Seite. Allerdings wird das im Moment eher durch die Einleitung geleistet, und (leider) nicht so sehr durch deine Einfügung. In der Einleitung werden bereits viele schöne Anwendungen genannt, die man als Motivation doch gut aufgreifen könnte. Neben dem bereits genannten Federpedel stechen mir da z. B. die Räuber-Beute-Modelle ins Auge. Das wäre doch ein schön anschauliches Einführungsbeispiel (mit Löwen und Antilopen oder so ;-). Das zeigt auch nochmal, was ich gemeint habe, dass deine Einführung ein zunächst viel zu kompliziertes Problem anspricht: Zuerst sollte man dem Leser erst mal klar machen, was das ungestörte Problem (ohne Abhängigkeit von Eingängen/Kontrolle) ist, also wenn die Löwen ganz ungestört die Antilopen fressen ;-) Das Kontrollproblem ist doch viel, viel komplizierter. In der Realität würde das ja z. B. auftauchen, wenn man den Einfluss von Jagd oder Fütterung oder Umweltveränderungen usw. mitberücksichtigt. -- HilberTraum (Diskussion) 12:16, 20. Feb. 2014 (CET)

Mathematisch anspruchsvolle technische dynamische Systeme befinden sich nach meiner Ansicht z.B. in der Luft- und Raumfahrt, Industrieanlagen, bis in der Gebäudeheizung. Sie werden mit den unterschiedlichsten Modellen beschrieben.

Dein Vorschlag mit dem Federpendel - du meinst sicher das Feder-Masse-Dämpfung-Modell mit z.B. einer ausgezogenen Feder als Anfangswert einer Federkraft, wäre sicher ein schönes Beispiel für ein Systemverhalten ohne Eingangserregung - mit Grafik versteht sich. Es ist für Techniker sicher einfacher verständlich, als das Beispiel "Räuber-Beute-Modell". Auch ein echtes Pendel-Modell als System ohne Eingangserregung wäre möglich. Hauptsache ist, dass etwas gemacht wird.

Die Frage ist, wer macht das. Nützlich wäre, wenn einer der aktiven Autoren des Abschnittes "Definitionen" das übernehmen könnte, denn dann könnte mehr Verständlichkeit dieses Abschnittes erzielt werden. --HeinrichKü (Diskussion) 12:57, 20. Feb. 2014 (CET)

Vielleicht könnte man vorne je ein möglichst einfaches(!) Beispiel aus der Biologie und aus der Physik bringen, um möglichst viele Leser mitzunehmen. Deine genannten anspruchsvolleren Systeme könnten vielleicht weiter hinten in einem Anwendungsabschnitt gebracht werden, so ein Abschnitt fehlt ja auf alle Fälle auch noch. Physikalische Beispiele wie Pendel sind wohl für den Leser insofern etwas abstrakter, weil dabei ja der Zustand ein Punkt im Phasenraum ist, also ein geordnetes Paar aus Ort und Geschwindigkeit. Aber du hast recht, dass dieses Beispiel so wichtig ist, das es schon gut wäre, wenn man den Leser da hinführen könnte.

Vorläufiges Fazit: An Ideen, was „man“ tun könnte, um den Artikel zu überarbeiten, scheint es also nicht zu fehlen. Aber wie du richtig sagst: Jemand muss es halt machen. Ich schau mal, ob ich in nächster Zeit ein bisschen was dazu aufsetzen kann, aber versprechen will ich mal lieber nix … -- HilberTraum (Diskussion) 19:55, 20. Feb. 2014 (CET)

Ich glaube auch, mit einfachen mathematischen Systembeispielen wie Feder-Masse-Dämpfer oder Stoßdämpfer zu beginnen. Bei Stoßdämpfern könnten reizvolle mathematische Dämpfungsstrategien erläutert werden.

Des weiteren wäre zu klären, in welcher Systembeschreibung sollte man beginnen. Dein früher angeführtes "Räuber-Beute-Modell" wird meist in der Fachliteratur gleich in Matrix-Vektordarstellung des Zustandsraumes gezeigt, was sicher nicht für die meisten Leser verständlich ist.

Vielleicht findest du in der kurzen Übersichtsdarstellung des Vorlesungsmanuskriptes der TU Chemnitz eine Anregung, zu finden unter Google mit dem Suchbegriff Einführung in die Systembetrachtung. --HeinrichKü (Diskussion) 13:07, 21. Feb. 2014 (CET)

Ich bastele hier etwas herum, aber es geht ein bisschen zäh voran … -- HilberTraum (Diskussion) 19:14, 25. Feb. 2014 (CET)

So, ich habe jetzt mal die Einführungsbeispiele wie angekündigt ausformuliert und im Artikel eingebaut. Deinen Abschnitt habe wie besprochen weiter nach hinten verschoben und notdürftig die Überschrift und den ersten Satz angepasst. Mittelfristig denke ich auch, wie von Plankton314 oben schon angesprochen, dass ein eigener Artikel zur Regelung dynamischer Systeme sinnvoller wäre. Dort sollte man dann auch noch Punkte wie Stabilität und optimale Regelung ansprechen. -- HilberTraum (Diskussion) 22:24, 26. Feb. 2014 (CET)

Kleine Anmerkung, weil’s mir gerade aufgefallen ist: In deinem Teil, HeinrichKü, wird gar nicht klar, wie dynamische Systeme durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können, denn davor ist (auch in der Definition) immer nur von einen zeitlichen Verlauf des Zustandes die Rede. Oder ist hier als Zustandsraum ein Funktionenraum gemeint? Das ist irgendwie gar nicht verständlich. -- HilberTraum (Diskussion) 22:58, 26. Feb. 2014 (CET)

Hallo HilberTraum, du hast Veränderungen im Artikel vorgenommen, die man so nicht stehen lassen kann. Meine Absicht war es, die Grundlagen der dynamischen Systeme darzustellen, damit die mathematischen Anwendungen grob verstanden werden können. Wo deine Verständnisschwierigkeiten zu meinen Grundlagen-Ausführungen liegen, ist mir ein Rätsel. Die Fachliteratur beschreibt in vielen Darstellungsformen (z.B. Uni Bayreuth): Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt, dass die zeitlichen Veränderungen eines Zustandes beschreibt. Die Möglichkeiten der mathematischen Verfahren sind damit nicht gekennzeichnet. Das heißt auch nicht, dass das System kein Eingangssignal hat und nur Anfangswerte besitzt.

Letztlich ist ein dynamisches System in der Technik ein System, dass physikalisch materielle Komponenten (Federpendel) beschreibt, die Systemspeicher darstellen. Ferner ist es eine Tatsache, dass ein System mindestens einen Systemeingang und einen Systemausgang hat, wobei der Systemeingang den Wert Null haben kann, obwohl das System ausgehend von Anfangswerten der Speicher arbeiten kann, Signalveränderungen zeitlich im Innern nach außen wirken.

Des weiteren ist es eine Tatsache, dass die Systeme mit verschiedenen Arten von Differenzialgleichungen, mit der Laplace-Übertragungsfunktion G(s), mit dem Frequenzgang (G(jω), z-Transformation, und der Zustandsraumdarstellung beschrieben werden können. Die Systeme können sich linear, nichtlinear, totzeitbehaftet, zeitvariant, zeitinvariant und zeitdiskret verhalten. Das alles sind Grundlagen zum Systemverständnis, die in einer Einleitung genannt werden sollten.

Stimmst du mir bist jetzt zu? Wenn nicht, erkläre bitte, wo dein - oder mein - Verständnisproblem liegt.

Diese Grundlagen kann man nicht am Ende des Artikels darstellen, sondern gehört an den Anfang. Man kann sie reduzieren, was die Beschreibung der Differenzialgleichungen, Übertragungsfunktion und zeitdiskrete Darstellung angeht. Man kann sie auch weglassen. Deine Berechnungsbeispiele gehören nach meiner Ansicht nach dem Abschnitt, der die mathematischen Zusammenhänge klärt.

Die Verknüpfung mit der Regelungstechnik, wie du die Grundlagendarstellung neu benannt hast, ist hier deplatziert. Regelungstechnik bezieht sich auf den geschlossenen Regelkreis. Ein Regelkreis kann natürlich auch ein dynamisches System sei. Dies ist in anderen Artikeln beschrieben.

Folgende angesprochene Punkte:

1. Eine ausführliche Beschreibung des dynamischen Systems gibt es bereits unter Wikibooks im 1. Kapitel des Buches "Einführung in die Systemtheorie". Siehe
   

   Wikibooks: Einführung in die Systemtheorie – Lern- und Lehrmaterialien
2. Man kann den von mir erstellten Abschnitt "Grundlagen des dynamischen Systems" in Bezug zu den mathematischen Beschreibungsverfahren wie Differenzialgleichungen, Übertragungsfunktion, numerische Beschreibungsformen kürzen, indem man sie nur namentlich erwähnt. Man kann auch den ganzen Abschnitt weglassen.
3. Mein Vorschlag ist, die "Grundlagen des dynamischen Systems" an die 1. Stelle zu setzen, dann den bereits erstellten Abschnitt "Definitionen", dann die Berechnungsbeispiele.
4. Das Beispiel "Federpendel" wirkt verständlicher, wenn man das Zeitverhalten darstellt.
5. Bei dynamischen Systemen mit räumlich verteilten Energiespeichern existieren Zeit und Ortskoordinaten. Solche Systeme können mit partiellen Differenzialgleichungen beschrieben werden.
6. Es gibt bereits einen guten Artikel "Partielle Differentialgleichung. Den wollte ich nicht kommentieren, sondern nur darauf hinweisen als Systembeschreibung.
7. Den Begriff "Funktionenraum" kenne ich nicht. Unter Zustandsraum versteht man die Beschreibung eines dynamischen Systems durch seine Zustandsgrößen (Zustandsvariablen), also den Energiegehalt der im System enthaltenen Speicherelemente. Sie bedeuten z. B. bei einem Feder-Massesystem die potentiellen und kinetischen Energieanteile. Die Anzahl der Zustandsvariablen des Zustandsvektors ist die Dimension des Zustandsraumes. Hast Du schon einmal den Artikel Zustandsraumdarstellung gelesen?

Ich würde mich freuen, wenn wir zu einer Einigung der elementaren Definition eines dynamischen Systems kommen. --HeinrichKü (Diskussion) 09:31, 28. Feb. 2014 (CET)

Eine kleine Nebenbemerkung eines Dritten: Ich habe den Eindruck, dass die Systemtheorie und die Mathematik ziemlich unterschiedliche Begriffe davon haben, was ein "Dynamisches System" ist. Entsprechend gibt es völlig unterschiedliche Vorstellungen davon, was die "Grundlagen" sind. Sicher gibt es viele Verbindungen zwischen diesen zwei verscheiedenen Betrachtungsweisen und es wäre sicher spannend, das herauszufinden. Mein erster Eindruck ist, dass sich der mathematische Begriff eher an der Physik orientiert, der systemtheoretische eher an technischen Systemen. Dieser Artikel behandelt "Dynamisches System" als mathematischen Begriff. Der systemtheoretische Begriff scheint mir so verschieden zu sein, dass vielleicht ein eigener Artikel aus systemtheoretischer Sicht sinnvoll wäre. --Digamma (Diskussion) 11:17, 28. Feb. 2014 (CET)

Das Ziel meiner Ergänzung war nur, Nichtmathematiker (z.B. Abiturienten oder Studienanfänger) soweit „mitzunehmen“, dass sie die abstrakten Begriffe im Abschnitt „Definition“ (Zustandsraum, Zeitraum, Fluss, Halbgruppeneigenschaft, Bahn) eventuell etwas besser einordnen können, nicht mehr und nicht weniger.

Zu den einzelnen Punkten:

1. Ich weiß nicht, was du damit sagen willst. Das eine soll (im Idealfall) ein Lehrbuch sein, das andere (im Idealfall) ein Enzyklopädieartikel. Was ist die Beziehung?

2. Problematisch bei deinem Abschnitt finde ich, dass er sich zu sehr auf Differentialgleichungen konzentriert, die ja nur ein – zugegeben wichtiger – Spezialfall dynamischer Systeme sind. Und dabei beschäftigt er sich nochmal fast ausschließlich mit dem Spezialfall linearer DGLn! Ich denke daher, dass dieser Bereich gekürzt werden sollte, und dafür tatsächlich mehr auf die Regelung allgemeiner dynamischer Systeme eingegangen würde; egal ob in diesem Artikel oder ausgelagert in einem anderen.

3. Da sich mein Abschnitt direkt auf die Definition bezieht, sollte er nur direkt vor oder nach dieser stehen. Was von beiden besser ist, ist sicher Geschmackssache, ich bin da leidenschaftslos. Deinen Abschnitt vor der Definition halte ich aus den genannten Gründen für ungüstig. Dann lieber einen Geschichts-/Anwendungsabschnitt.

4. Was meinst du? Eine Animation, wie bei der Schwingung der Zustand zeitlich die Bahn durchläuft? Das wäre wirklich super, aber übersteigt gerade ein bisschen meine technischen Fähigkeiten ;)

zu 5. 6. 7.: Es wird im Text nicht klar, was partielle Differentialgleichungen mit dynamischen Systemen zu tun haben. Insbesondere nicht, was dabei Zustand und Zustandsraum sind. Ein Beispiel könnte helfen (Wärmeleitung?).

Zum Schluss noch eine Verständnisfrage meinerseits, weil du die Notwendigkeit von Eingängen dynamischer Systeme so betonst: Was wären denn bei „meinen“ Beispielen Bakterienwachstum und Federpendel die nötigen Eingänge? -- HilberTraum (Diskussion) 12:25, 28. Feb. 2014 (CET)

Unsere Ziele, einem Interessenten etwas beizubringen, das Thema zu verstehen, sind die Gleichen. Wir verstehen uns aber nicht in der Definition des dynamischen Systems, zumindest was es physikalisch bedeutet. Ich bezweifel, dass man die Definition eines dynamischen System mathematisch und physikalisch-mathematisch differenziert betrachten kann. Nach der unbestrittenen Eingangsdefinition: Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt, das die zeitlichen Veränderungen eines Zustandes beschreibt, folgere ich weiter: Gibt man dem System einen Signaleingang hinzu, ein Ausgang besteht bereits, kann das Systemverhalten mit und ohne Anfangswerte beschrieben werden. Das Systemverhalten kann auch ohne Eingangssignal mit Anfangswerten beschrieben werden. Ein solches System mit einem Systemeingang und Systemausgang kann man als ein Steuerungssystem betrachten. Mit Regelung hat das nichts zu tun.

• Zu 1: Das Wikibuch beschreibt mit "Einführung in die Systemtheorie" das dynamische System genauer. Die weiteren Kapitel beziehen sich auf die - in Anlehnung an die Regelungstechnik - die verschiedenartigen Systembeschreibungen und Signalverhalten. Der Artikel "Dynamisches System" beschreibt mit deinem Beispiel "Federpendel" ein System ohne Systemeingang mit Anfangswerten, so wie ich den Begriff dynamisches System definiert habe.
• Zu 2: Nicht immer sind die Differenzialgleichungen eines Systems bekannt. Fehlt eine mathematische Systembeschreibung, kann ein reales System durch verschiedene Methoden analysiert werden. Die weitere Ausführung zu einer Regelung dynamischer Systeme stößt bei mir auf Unverständnis. Es existieren bereits die Artikel Regler, Regelstrecke, Regelkreis, Regelungstechnik und Regelkreisbeispiele im Artikel Zustandsraumdarstellung.
• Zu 3: Nach meiner Ansicht erklärt man erst die Grundlagen, dann kommen Anwendungsbeispiele, wie wohl in jedem Fachbuch dargestellt.
• Zu 4: Durch den Energieaustausch zwischen Feder und Masse bildet sich eine gedämpfte Schwingung aus, deren Amplitude (Ausschlag) als Funktion der Zeit dargestellt werden kann. Wenn du das vorhandene Bild anklickst, erscheint ein weiteres Bild mit diesem Verhalten.
• Zu 5. 6. 7.: Partielle Differentialgleichungen sind nicht mein Lieblingsthema, weil schwierig zu definieren und zu lösen. Mir fehlen dazu die Voraussetzungen. Eine Anwendung ist z.B. der Wärmefluss in einem räumlichen homogenen Medium.
• Zu 8: Vielleicht ist das der Knackpunkt aller Missverständnisse. In beiden Fällen ist das Systemeingangssignal Null. Das System des Federpendels, die Lage, startet mit der gespannten Feder von den Anfangswerten zur Zeit t₀ und - da es sich um ein intern stabiles System handelt - endet es mit seiner Schwingamplitude Null ( bzw. mit einem Offset), nach genügend langer Zeit in eine Ruhelage, die von der Masse und Federkraft bestimmt ist. Gäbe es keine Dämpfung, würde man es mit oszillatorisch grenzstabil bezeichnen. --HeinrichKü (Diskussion) 15:49, 28. Feb. 2014 (CET)

Ja, ich hab mir etwas schlampig ausgedrückt, ich meinte immer Steuerung und/oder Regelung.

Zu 1.: Ich versteh’s leider immer noch nicht, was dein Wikibuch mit dem Artikel zu tun hat.

Zu 2.: „Nicht immer sind die Differenzialgleichungen eines Systems bekannt“, ja genau, noch ein Grund mehr nicht so sehr auf denen herumzureiten. Mit der Regelung hast du recht, die gehört doch nicht hier rein, das wäre redundant. Ich hab’s mal im Artikel angepasst.

Zu 3.: Hier ist aber kein Fachbuch! Gerade bei für Laien schwer verständlichen Themen bietet es sich an, mit einem kleinen Geschichtsabschnitt einzusteigen.

Zu 4.: Ach, dieses Bild meinst du. Ja, könnte man auch noch reinstellen, aber der Leser soll doch hier vor allem „lernen“, was der Zustandsraum ist.

Zu 5. 6. 7.: Schade, dann muss ich selber nachforschen. Vielleicht sollte man dann solange den Abschnitt aus dem Artikel entfernen bis der Zusammenhang geklärt ist.

8.: Und wenn das Eingangssignal nicht null ist, was ist es dann? Und wie funktioniert das bei den Bakterien? Und die ganzen schönen chaotischen Systeme/Fraktale (Logistische Gleichung, Julia-Menge, Lorenz-Attraktor usw.) haben doch eigentlich auch keine (zeitabhängigen) Eingangssignale? -- HilberTraum (Diskussion) 18:02, 28. Feb. 2014 (CET)

Update: Zum Verhältnis dynamische Systeme und PDEs hab ich eine schöne Quelle gefunden: James C. Robinson: Infinite-Dimensional Dynamical Systems. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-63204-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  -- HilberTraum (Diskussion) 08:51, 1. Mär. 2014 (CET)

Die Bezeichnung des ehemaligen Abschnittes "Grundlagen des dynamischen Systems" mit Systemtheorie ist korrekt.

• Zu 1: Das Kapitel "Dynamisches System" unter Wikibooks "Einführung in die Systemtheorie" erklärt genauer den physikalischen Aufbau eines dynamischen Systems in verbaler Form. Des weiteren erklärt dieses Kapitel, dass das dynamische System nur verstanden werden kann, wenn die verschiedenen mathematischen Arten der Systembeschreibungen verstanden werden. Letztere sind in Kurzform in diesem Kapitel dargestellt. Didaktisches Problem mit dem Huhn-Ei-Syndrom.
• Zu 2: So ein einfaches Feder-Masse-Dämpfungssystem kann man auch leichter mit einer Differenzialgleichung oder mit der Übertragungsfunktion beschreiben. Die Übertragungsfunktion setzt aber ein System mit Eingangs-Ausgangsverhalten voraus. Die Lösung der Differenzialgleichung ist die Summe der partikulären + homogenen Lösung. Die partikuläre Losung ist null, wenn das Eingangssignal Null ist. Bei der Definition der Differenzialgleichung ist zu berücksichtigen, dass die Ruhelage (Amplitude) des Systems einen statischen Wert hat, der nicht Null ist, aber als Null definiert werden kann.
• Zu 3: Geschichtsabschnitt kann man machen. Siehe auch Artikel Regelungstechnik mit relativ großer Tabelle historischer Ereignisse der Mathematik der Regelungstechnik.
• Zu 4.1: Die mathematische Behandlung mit dem dyn. System bezieht sich nach meinem Wissensstand immer auf das Zeitverhalten der Systemausgangsgröße und Zwischengrößen innerhalb des Systems. Ich erinnere zur Definition: "zeitliche Veränderung des Zustandes".
• Zu 4.2: Wenn ich mich nicht mit der Zustandsraumdarstellung beschäftigt hätte, würde ich den Zustandsraum an Hand der beiden Anwendungsbeispiele nicht verstehen. Ein paar verbale Definitionen des Zustandsraumes wären wohl angebracht wie: Zustandsvariablen, Zustandsvektor, Zustandsgleichungen des Zustandsraummodells, Normalformen der Zustandsgleichungen.
• Zu 5; 6; 7: Der Artikel "Partielle Differentialgleichung" ist doch recht gut, wenn auch keine konkreten Beispiele genannt werden, weil zu viel Theorie und Rechenaufwand erforderlich wäre.
• Zu 8: wie Punkt 2. Die Lösung des Systemverhaltens, wenn die Eingangsgröße eine Federkraft ist, ist additiv mit der Lösung der Anfangswerte verbunden. Also homogene + partikuläre Lösung.
  In der Zustandsraumdarstellung kann mit dem Signalflussplan der Regelungsnormalform das Gesamtverhalten des Systems und Festlegung der Anfangswerte an den Integratoren sehr schön demonstriert werden. (Prinzip: mathematische Nachbildung des Analogrechners).
  Zu dem Bakterienbeispiel kann ich mich nicht konkret äußern. Wie es aussieht, handelt es sich um ein instabiles System 1. Ordnung, das von 2 verschiedenen Anfangswerten monoton zunehmend startet. Zu den anderen genannten Systemen kann ich ebenfalls derzeit nicht beurteilen, ob die allgemeine Definition eines dynamischen Systems hier zutrifft. Falls es erforderlich wäre, kann man sich damit beschäftigen. Einige Wiki-Artikel geben darüber Auskunft.
  Informiere mich, wenn du diese Systemformen ansprechen willst und wenn du einen Rat dazu benötigst. --HeinrichKü (Diskussion) 13:43, 1. Mär. 2014 (CET)

Ich finde es schade, dass niemand auf meine obige Bemerkung eingeht oder auf die von Plankton314 weiter oben. Ich glaube, dass ihr zu großen Teilen aneinander vorbeiredet, und das liegt im Wesentlichen daran, dass ihr ganz verschiedene Begriffe davon habt, was ein "dynamisches System" überhaupt ist. Für den Mathematiker HilberTraum und für die ursprünglichen Autoren dieses Artikels ist es ein mathematisches Objekt (Bestehend aus einem Zustandsraum, einem Zeitraum und einer Familie von "Übergangsfunktionen"). Für HeinrichKü ist es etwas physikalisches oder technisches, wie schon der erste Satz im vorangehenden Beitrag zeigt: "Das Kapitel "Dynamisches System" unter Wikibooks "Einführung in die Systemtheorie" erklärt genauer den physikalischen Aufbau eines dynamischen Systems in verbaler Form." (Hervorhebung von mir.) Ihr redet von verschiedenen Dingen, deshalb redet ihr notwendigerweise aneinander vorbei. Ihr kommt nur weiter, wenn sich jeder mal auf die Definition des andern einlässt.

Ich nehme mal an, dieser Beitrag kommt von dem Benutzer Digamma. Die umfangreiche Diskussion zwischen HilberTraum und mir kommt durch die unterschiedliche Sichtweise des dynamischen Systems und unserer Berufserfahrungen zustande. Als Regelungstechniker hatte ich ständig mit dem dynamischen System und den verschiedenen mathematischen Systembeschreibungen zu tun. Mit Regelungstechnik hat das dynamische System noch nichts zu tun, es sei denn, ein Regelkreis wird als dynamisches System definiert. Dann wird es erst recht (für Rechenbeispiele) schwierig, weil dieses System wahrscheinlich durch Begrenzungseffekte nichtlinear wird und wenn noch Totzeiteffekte hinzukommen, dann muss auch die Zustandsraumdarstellung numerisch behandelt werden.

Der Benutzer HilberTraum hat Initiative für diesen Artikel ergriffen und ich denke, wir nähern unsere Standpunkte zum dynamischen System an. Dein Beitrag, der feststellt, dass HilberTraum´s und mein Standpunkt unterschiedlich sind, muss man nicht erwähnen. Produktive Diskussionen mit weiteren Teilnehmern entstehen erst, wenn zur Sache zu diesem Artikel etwas gesagt wird. Das ist nicht geschehen. --HeinrichKü (Diskussion) 09:42, 2. Mär. 2014 (CET)

Nachtrag: Beispiel zum Verständnis eines dynamischen Systems:

Ein Elektromotor kann wie ein Feder-Masse-Dämpfungssystem als ein dynamisches System angesehen werden. Das lehren auch Universitäten zur Systemdefinition.

Der Unterschied der beiden Systeme ist bei dem Elektromotor, z.B. ein Gleichstrommotor, hat einen Steuereingang der Ankerspannung, eine Ausgangsgröße als Drehzahl. Dieses System wird mindestens durch eine Differenzialgleichung 2. Ordnung oder durch eine Übertragungsfunktion 2. Ordnung beschrieben (Induktivität der Magnetspulen, Magnetkraft zur Beschleunigung der Ankermasse).

Ein mathematisches Modell erlaubt die Betrachtung des Systems bei eingeschaltetem und ausgeschaltetem Eingangssignal, aber mit beliebigen Anfangswerten. Die Berechnung dieses Systems ist mit der Zustandsraumdarstellung geeigneter. --HeinrichKü (Diskussion) 12:21, 2. Mär. 2014 (CET)

Regelungstechnische/systemtheoretische Ergänzungen - hier der richtige Ort?

Die jüngsten Änderungen/Ergänzungen haben sich scheinbar auf eine vorerst stabile Version eingeschwungen, darum hier ein paar Anmerkungen:

Das ursprüngliche Thema des Artikels ist das dynamische System als Begriff aus der Mathematik und Physik. Die von HeinrichKü eingefügten Ergänzungen behandeln den Begriff der Regelungstechnik und Systemtheorie.

Hier mal zu beidem die einleitenden (gekürzten) Definitionen:

1. Ein (deterministisches) dynamisches System ist ein mathematisches Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen bezüglich der Zeit ist […]. […] Ein dynamisches System ist ein Tripel […] bestehend aus einer Menge […], dem Zeitraum, […], dem Zustandsraum, und einer Operation […].
2. In der Systemtheorie ist ein dynamisches System eine abgegrenzte zeitabhängige Funktionseinheit, die durch ihre Signaleingänge und Signalausgänge in einer Wechselwirkung mit der Umwelt steht. […] Ein technisches dynamisches System enthält einen oder mehrere Energiespeicher […]. […] Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen […].

Es ist durchaus beim Lesen des Artikels zu erkennen, dass beiden Begriffen ein gemeinsamer Gedanke zugrunde liegt. Andererseits sind beide Begriffe so stark durch ihr jeweiliges Fachgebiet geprägt, d.h. spezialisiert, dass sie eigentlich zwei völlig unterschiedliche Themen sind.

Ein paar Beispiele:

• Der regelungstechnische/systemtheoretische Begriff stützt direkt auf (real/physisch) "greifbare Innereien", wie "Funktionseinheit", "Energiespeicher" oder der "Verarbeitung von Signalen". Der mathematische/physikalische Begriff kennt dagegen zB. nur abstrakte Operationen auf einem Zeit-/Zustandsraum.
• Der RT/ST-Begriff sieht ein dynamisches System als eine Art "Black-Box", die indirekt beobachtet werden kann und deren Verhalten dann zB. durch eine Differentialgleichung beschrieben werden kann. Der M/PH-Begriff beschreibt eher die Bewegung im Zustandsraum (entfernt verwandt mit FSMs). Bitte ggf. korrigieren, wenn ich das zu oberflächlich zusammengefasst habe.
• Sehr schön ist das am Beispiel "Federpendel" zu erkennen (hier [1] und hier [2]). Ein und derselbe Sachverhalt, aber zwei völlig unterschiedliche Darstellungen, sowohl von der Sichtweise als auch der Sprache.

Kurzum: Beides relevante, aber dennoch unterschiedliche Themen. Sie sind mMn. aber besser in zwei unterschiedlichen Artikeln aufgehoben (wegen des "Ein Artikel, ein Thema"-Grundsatzes).--Plankton314 (Diskussion) 21:10, 24. Mär. 2014 (CET)

Ich sehe das genauso. --Digamma (Diskussion) 23:17, 24. Mär. 2014 (CET)

Keine stichhaltigen Argumente unterschiedlicher Systemdefinitionen

Der systemtheoretische Begriff "Dynamisches System" hat nichts mit der Regelungstechnik zu tun, solange es nicht um Regelkreise geht. Die unter Punkt 2 definierten Beispiele der unterschiedlichen Darstellungsarten der dynamischen Systeme hinken allesamt:

Der Begriff der konzentrierten (und räumlich verteilten) Energiespeicher ist die physikalische Voraussetzung für schwingende Systeme im gegenseitigen Energieaustausch z.B. bei Feder-Masse-Dämpfungs-Systemen. Sie gelten ebenso für die Zustandsraumdarstellung und sind die Ursache der Zeitabhängigkeit dynamischer Systeme.

Darstellung des Dynamischen Systems

Niemand wird bestreiten können, dass bei Fluggeräten, Straßenfahrzeugen, verfahrenstechnischen Prozessen, Industrierobotern, bei der Wärmeerzeugung in Gebäuden, bei Feder-Masse-Dämpfungsschwingern und bei Elektromotoren es sich um mehrfach strukturierte dynamische Systeme handelt.

Für Mathematiker wie für Techniker gilt, dass dynamische Systeme totzeitbehaftet und sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und zeitdiskret verhalten. Sie lassen sich je nach verfügbaren Parametern durch Differentialgleichungen, Laplace-Übertragungsfunktionen, Zustandsraumdarstellungen und zeitdiskret mit Differenzengleichungen beschreiben.

Im Fachbereich Mathematik werden bei Vorlesungsmanuskripten über dynamische Systeme häufig schwingende Systembeispiele wie Feder-Masse-Dämpfungssystem, das Mathematische Pendel oder Glockenpendel mit Anschlag als Trajektorien und Phasenporträts dargestellt. Dies ist kein Widerspruch zum Zeitverhalten dynamischer Systeme, die einen Systemeingang, einen Systemzustand mit und ohne Systemeingang und einen Systemausgang haben.

Festzustellen ist, dass die Definition des dynamischen Systems in den Hochschulen des Fachbereichs Mathematik häufig als die zeitliche Entwicklung der Zustandsgrößen definiert wird. Das ist keine vollständige Systembeschreibung.

Verbale Systemdefinitionen, Fachbereich Mathematik:

• Beispielsweise lautet die Definition laut Vorlesungsmanuskript der Uni Bayreuth, Prof. Dr. Lars Grüne, Fakultät für Mathematik und Physik:

"Ein dynamisches System ist ein mathematisches Objekt, das die zeitlichen Veränderungen eines Zustandes beschreibt".

• Uni Köln, Prof. Dr. Küpper, Mathematisches Institut:

"Ein dynamisches System ist ein Vorgang, der sich im Laufe der Zeit entwickelt. Er wird beschrieben durch die zeitliche Entwicklung einer Zustandsgröße x(t) in einem Zustandsraum X."

"Im Vordergrund steht das asymptotische Verhalten für Lösungsgesamtheiten. Dieses wird charakterisiert mit Hilfe von invarianten Mengen, Attraktoren und dem Konzept der invarianten Mannigfaltigkeiten (stabile, instabile, Zentrums- usw.). Darüber hinaus wird die strukturelle Stabilität dynamischer Systeme untersucht. Diese Konzepte werden anhand konkreter Beispiele aus der Schwingungstheorie, der Populationsdynamik und der Hirnforschung erläutert."

Fazit:

Mathematiker definieren das dynamischen System vorzugsweise als das System-Zeitverhalten im Zustandsraum (Phasenraum) ohne Signaleingang mit Anfangszuständen. Das ist kein Widerspruch zum allgemeinen Systembegriff. Verbale Definitionen zum besseren Allgemeinverständnis des Systems werden bei Mathematikern sehr sparsam gehandhabt. Ich sehe keinen Grund, den gleichen Sachverhalt der Systemdefinition anwendungsorientiert aufzuteilen. Ein Mathematiker muss zu gleichen Ergebnissen wie ein Techniker kommen, wenn z.B. die Aufgabenstellung lautet, das Zeitverhalten eines Stoßdämpfers zu optimieren.

Mein Vorschlag: Das Intro sollte mit einfachen Sätzen den Sachverhalt des dynamischen Systems etwas allgemeinverständlicher erweitert werden und den 3. Abschnitt mit dem etwas aufgeblähten Inhalt der diskreten und kontinuierlicher Zeitentwicklung ersetzen. --HeinrichKü (Diskussion) 13:42, 25. Mär. 2014 (CET)

Grundsätzlich bin ich ebenfalls immer noch der Meinung, dass der Artikel kurz(!) auf Systeme mit Signaleingängen eingehen kann/sollte. Ich sehe auch kein Problem darin, dass der Artikel sowohl das mathematische Modell als auch die realen Objekte, die damit modelliert werden, beschreibt; das machen sicher viele Artikel und ich halte das im Sinne des Lesers sogar für einen Vorteil. Trotzdem wäre ich in der jetzigen Form auch für eine Auslagerung des Abschnitts zur Systemtheorie und zwar hauptsächlich aus drei Gründen:

1. Der Abschnitt ist meiner Meinung nach viel zu ausführlich und verliert sich total in Kleinigkeiten. Ich finde, das sollte hier eher ein Überblicksartikel werden, bei dem sich der Leser schnell und ohne zu sehr in die Tiefe zu gehen über möglichst viele Aspekte des Themas kurz informieren kann.
2. Der Abschnitt konzentriert sich meiner Meinung nach viel zu sehr auf den Spezialfall von linearen Systemen, die durch eine gewöhnliche Differentialgleichung beschrieben werden. Das ist zugegeben ein wichtiger Fall, aber ein Überblicksartikel sollte doch eher die ganze Vielfalt dynamischer Systeme darstellen.
3. Es wird nicht deutlich, dass beide Sichtweisen im Großen und Ganzen dasselbe behandeln, denn der Abschnitt verwendet völlig andere Sprechweisen, Bezeichnungen und Symbole. Für einen Leser, der beide Sichtweisen nicht kennt, sieht es momentan so aus, als hätte der Abschnitt zur Systemtheorie nicht das Geringste mit dem Rest des Artikels zu tun, was natürlich nicht stimmt; aber es gibt keinerlei Übersetzung von der einen Sprache in die andere und umgekehrt.

Zum Schluss noch eine Nachfrage, was du mit dem „aufgeblähten 3. Abschnitt“ meinst. Wirklich „Wichtige Spezialfälle“? Der ist doch nur eine halbe Bildschirmseite. Bei deinem Systemtheorieabschnitt zähle ich dagegen bei mir sieben Seiten … -- HilberTraum (Diskussion) 15:15, 25. Mär. 2014 (CET)

In Bezug zu ausgeführten technischen Systemen des Alltags und der Industrie, die heute unverzichtbar sind, ist die Blockdarstellung eines dynamischen Systems ein System mit Eingängen und Ausgängen. Dass die Systeme Anfangswerte haben können, oder der Systemeingang als Null definiert wird, ist ein Spezialfall - aus Sicht unzähliger Fachbücher und Vorlesungsmanuskripten technischer Bereiche.

Zu 1: Das ist Ansichtssache, wie weit das Verständnis gehen soll. Was sind diese Kleinigkeiten, die Erläuterung von Differenzialgleichungen, Übertragungsfunktionen, Zustandsraumdarstellungen, Differenzengleichungen in Kurzform? Man kann diese auch weglassen.

Zu 2: Der von mir geschriebene Abschnitt konzentriert sich nicht nur auf lineare Systeme - im Gegenteil, lediglich die einfachen Anwendungsbeispiele sind lineare Systeme. Nichtlineare Systeme sind häufig Unikate. Dieses Problem ist mit einer Grafik belegt. Problemlösungen nichtlinearer Systeme kann man nicht mit wenigen Zeilen beschreiben.

Zu 3: Diese Verständnisschwierigkeiten hatte ich von Anfang an. Wer ein dynamisches System definiert, muss auch sagen, was die physikalische Ursache ist, dass es unterschiedliche Zeitdefinitionen, Nichtlinearitäten, gebrochene Funktionen, Totzeitverhalten und zeitdiskretes Verhalten gibt. Wie definiert man die Ausbreitung eines Wärmestroms in einem homogenen Medium - mit Ausnahme von partiellen Differenzialgleichungen? Bis auf das zeitdiskretes Verhalten in dem Intro gab es keine verbalen Hinweise auf die verschiedenartigen Verhaltensweisen des dynamischen Systems.

Kannst du bitte die Übersetzung des nachfolgenden Beispiels in einfache verbale Begriffe vornehmen: Uni Konstanz , Fachbereich Mathematik, Dynamisches System:

Definition: Ein dynamisches System besteht aus der Menge X (dem Phasenraum), einer Gruppe G (meist G = R+) oder G = (Z+) und einer Abbildung (dem Fluss φ).

Definition der Zustandsvariablen siehe Artikel Zustandsraumdarstellung nach Rudolf E. Kalman der 1960er Jahre.

Zu 4, ein Missverständnis: In der vorgeschlagenen Ergänzung des Intros habe ich anstelle 3. Abschnitt den 3. Absatz mit der diskreten und kontinuierlicher Zeitentwicklung gemeint, der platzmäßig die Hälfte des Intros beansprucht. Also keinen großen Aufsatz, sondern ein paar Zeilen, die wichtige Verhaltensweisen des dynamischen Systems erklären. --HeinrichKü (Diskussion) 13:34, 26. Mär. 2014 (CET)

Um 1. und 2. zusammenzufassen: Also wenn ich richtig sehe, beschäftigt sich alles zwischen „Einfache Beispiele linearer Systeme:“ und „Zustandsraumdarstellung“ bis auf den kurzen Einschub zu Hammersteinsystemen (übrigens: Was sind denn Unikate?) ausschließlich mit Systemen, die durch lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten beschreiben werden. Das ist so speziell, dass hier wohl nicht der Ort ist, um zu beschreiben, wie man die analytisch löst. Auch bei den drei Beispielen, die alle auf die gleiche Differentialgleichung führen, kann man sich doch viel kürzer fassen: Einfach die drei Anwendungen nennen, die Gleichung nennen (auf Schwingungsgleichung verlinken) und vielleicht noch ein bisschen was zum unterschiedlichen Verhalten je nach Lage der Nullstellen sagen.

3. Zur Übersetzung/Erklärung hatte ich eigentlich versucht, den Abschnitt „Einführende Beispiele“ zu schreiben, in dem die abstrakten Begriffe aus der Definition veranschaulicht werden sollen. Hat anscheinend nicht geklappt. Was genau ist denn da noch unklar? Aber diese Übersetzung zwischen den beiden Sichtweisen halte ich tatsächlich für schwierig/aufwendig, darum bin ja wie gesagt eher dafür, die Systemtheorie auszulagern. Dafür spricht auch die Literatur, in die ich heute ein wenig hineingeschaut habe: Ich denke, im Prinzip sind das „zwei Welten“ mit ganz unterschiedlichen Begriffen und Fragestellungen an mehr oder weniger dasselbe Objekt „dynamisches System“. Ein Buch habe ich allerdings gefunden, das tatsächlich beides in „derselben Sprache“ abhandelt. Dort werden dynamische Systeme wie im „Matheteil“ des Artikels definiert und ab Seite 77 kommen dann Systeme mit Signaleingängen sowie deren Steuerung und Regelung. Ein bisschen „Hoffnung“ besteht also noch. -- HilberTraum (Diskussion) 20:52, 26. Mär. 2014 (CET)

Zu 1 und 2: Den Hintergrund dieses negativ dargestellten Fazits habe ich nicht ganz verstanden. Wenn ein dynamisches System definiert wird, dann stehen wohl an erster Stelle die möglichen mathematischen Beschreibungsformen. Wenn aber vorher definiert wird, dass diese Systeme sich linear, nichtlinear, zeitvariant, zeitinvariant und totzeitbehaftet verhalten können, dann kann man kaum zu der Schlussfolgerung kommen, dass diese Systeme entweder mit einer gewöhnlichen DGL mit konstanten Koeffizienten oder mit der Zustandsraumdarstellung gelöst werden können.

Nichtlineare Systeme der Technik sind selten analytisch lösbar, deshalb der Begriff Unikate, weil sie selten identisch sind und beispielsweise durch Tabellenwerte beschrieben werden können.

Was den Artikel Schwingungsgleichung angeht, erfolgt die Lösung über die gewöhnliche Differenzialgleichung. Die Lösung einer DGL 3. Ordnung wäre mit dieser Methode nicht mehr so einfach.

Der von mir gezeigte Lösungsweg erfolgt über die Zustandsraumdarstellung wegen der Anfangswerte. Das zugehörige Bild ist das Ergebnis einer numerischen Berechnung der Regelungsnormalform mit Differenzengleichungen 1. Ordnung.

Zu 3: Meine einführenden Berechnungsbeispiele zum Verständnis des Zeitverhaltens dynamischer Systeme in Kurzform haben dir offensichtlich nicht gefallen. Sie sind aber die Grundlagen für Techniker, die industrielle Systeme identifizieren, strukturieren , steuern und regeln müssen. Die wichtigste Verhaltensgröße ist das System-Zeitverhalten.

Ganz sicher gelten für alle dynamischen Systemtheorien des mathematischen und technischen Bereiches, dass die Systeme die bereits verschiedenen geschilderten mathematischen Beschreibungsformen und deren zugehörige Signalverhalten haben. Den Begriff Totzeit (Getriebespiele, Signallaufzeiten) scheint es im Lager der Mathematiker nicht zu geben, falls ich nicht etwas übersehen habe.

Vielleicht haben jüngere Mathematiker noch einen Draht zu einem aktiven Uni-Dozenten der Fakultät Mathematik und können die Problematik der unterschiedlichen Auffassung des dynamischen Systems vortragen.

Fazit: Wenn man nicht zur gleichen System-Auffassung kommt, dann muss man den Artikel halt trennen. Ich bitte dann um Vorschläge, wie man diesen neuen Artikel nennen kann, möglichst ohne den Begriff Regelungstechnik.--HeinrichKü (Diskussion) 13:51, 27. Mär. 2014 (CET)

Ich denke auch, dass (so wie zB. auch in dem aufgeführten Buch) eine Art hierarchische Darstellung (abstrakt/mathematisch und ST/RT als praktische Anwendung) Sinn machen würde. Man stellt in diesem Artikel die (mathematische) Theorie dynamischer Systeme dar und führt als Beispiel das dynSys aus der ST an.

Dann sollte man sich jedoch auf den einleitenden Abschnitt unter "Elementare Systemtheorie des dynamischen Systems" (bis "Einfache Beispiele") beschränken. Als vergleichendes Beispiel könnte man noch das Federpendel bringen/stehen lassen. Den gesamten Abschnitt "Mathematische Verfahren […]" halte ich im Kontext dieses Artikels nicht für angebracht, weil eine völlig andere Sichtweise und Erklärung verwendet wird sowie fast ausschließlich nur auf den Fall von Systemen eingegangen wird, die durch lineare DGLen beschrieben werden können.

Wenn der Inhalt (über diese verkürzte Darstellung hinaus) erhalten bleiben soll, wäre ein eigener Artikel, wie zB. Dynamisches System (Systemtheorie)) geeignet.--Plankton314 (Diskussion) 11:39, 28. Mär. 2014 (CET)

Ja, das halte ich für einen guten Vorschlag.

Wegen des Begriffs der Totzeit: Da dürfte der Artikel Retardierte Differentialgleichung das mathematische Pendant sein. Inwiefern sich das in das Konzept der dynamischen Systeme einordnet, weiß ich allerdings auch nicht.

Was übrigens auch noch im Artikel völlig fehlt, aber in der Literatur einen breiten Raum einnimmt, sind dynamische Systeme mit einem zusätzlichen (nicht zeitabhängigen) Eingangsparameter, das Stichwort Bifurkation (Mathematik) steht bisher nur unter „Siehe auch“. -- HilberTraum (Diskussion) 17:53, 28. Mär. 2014 (CET)

Variante: Dynamisches System (Systemtheorie)

Man kann in einem reduzierten neuen Artikel die unter dem derzeitigen Artikel "Mathematische Verfahren" angegebenen Kurzdarstellungen von Differenzialgleichungen, Übertragungsfunktionen usw. verzichten, wobei diese verbal qualitativ dargestellt und erklärt werden müssen. Nach wie vor müssen die Systemeigenschaften linear, nichtlinear, zeitvariant und andere deutlich erklärt werden. Die dynamischen Systeme der Technik werden nicht alle mit konjugiert komplexen Polen beschrieben und ein dynamisches System kann auch ein Regelkreis sein, der sich in den meisten Fällen wegen Begrenzungseffekten nichtlinear verhält. Nichtlinearität sollte noch etwas behandelt werden. Ein weiteres Beispiel "Mathematisches Pendel" halte ich für überflüssig, dafür eher ein Praxisnahes.

Ein solcher reduzierter überarbeiteter Artikel kann etwa 4 Bildschirmseiten an Umfang einnehmen. In der bisherigen Form sind es 8 Bildschirmseiten.

Eigentlich fehlt noch ein Hinweis auf die unterschiedlichen Darstellungsformen der Zustandsraumdarstellung nach Rudolf E. Kalman und den von Mathematikern definierten Zustandsraum (Phasenraum) mit völlig anderen Begriffen. Es ist den Mathematikern dieses Artikels nicht gelungen, einführend den Unterschied dieser Diskrepanz der Begriffe des Zustandsraumes zu definieren. Hauptsächlich bezieht sich die Beschreibung des dynamischen Systems im Fachbereich Mathematik - vorzugsweise mit Beispielen schwingender Systeme - wohl auf den Zustandsraum.

Dynamische Systeme mit Totzeitverhalten (reine Laufzeit) werden relativ einfach numerisch zeitdiskret beschrieben.

Das weiter angesprochene Thema für einen zeitunabhängigen zusätzlichen Parameter des dyn. Systems - wie an einem Beispiel des Knickens eines axial belasteten Stabes - ist aus meiner Sicht für den Fachbereich Technik weniger wichtig, weil diese Parameter ohne Versuch schwer bestimmbar sind. Ein solches System wäre mit einem bekannten Parameter des lastabhängigen Knickpunktes aber numerisch leicht zu berechnen.

Das ist mein Vorschlag, nun geht es um die Zustimmung. --HeinrichKü (Diskussion) 12:47, 29. Mär. 2014 (CET)

Kürzen klingt klingt schon mal gut. Die Detailverliebtheit war ja einer meiner Hauptkritikpunkte.

Leider ist der Artikel Zustandsraumdarstellung so lang, das ihn niemand mal so nebenbei durchlesen kann, aber von dem, was ich gesehen habe, scheint es hier gar keine Diskrepanz zu geben. Das heißt, „Zustandsraum“ scheint mir so ziemlich der einzige Begriff zu sein, der in der Mathematik und in der Signaltheorie völlig identisch ist.

Seit wann werden denn die Relevanz und Wichtigkeit von Problemen danach beurteilt, wie schwer sie zu lösen sind? Deine Antwort zu den Parametern kann ich so nicht nachvollziehen: Aus systemtechnischer Sicht ist das doch gerade das Problem der Systemidentifikation, oder? Und aus mathematischer Sicht sowieso nicht: Schau mal wie viele Bücher allein zur Bifurkationstheorie es gibt, die sich mit parameterabhängigen dynamischen Systemen beschäftigen. -- HilberTraum (Diskussion) 20:25, 29. Mär. 2014 (CET)

Unter Detailverliebtheit verstehe ich das Ausschmücken von Beurteilungen und Ergebnissen, die nicht relevant sind. Beziehen wir uns auf die von mir durchgeführte Artikelerweiterung, in der das Gröbste vom Groben des Verhaltens der dynamischen Systeme dargestellt wurde. Das Thema füllt ganze Fachbücher, überflüssige Details kann ich selbst bei kritische Betrachtung nicht erkennen. Ich erinnere an unsere Diskussion letzten Jahres mit deiner Bestätigung, dass viele Artikel mit dem Thema "Differenzialgleichung" keinen Lösungsweg wiedergeben. Vielleicht meinst du allgemeinen die von mir angedeuteten Lösungswege?

Ich lege großen Wert darauf, dass das Systemverhalten verschiedenster Systeme verstanden wird, in dem gezeigt wird, wie sie berechnet werden. Nur daher resultiert mein Fachwissen in bestimmten Fachgebietsbereichen, nicht durch mein ehemaliges Studium.

Die Identifizierung von Systemen ist mir ein wohlbekannter Begriff. Zu diesem Thema habe ich schon vertieft über mehrere Verfahren geschrieben, als sie in dem Artikel "Systemidentifikation" enthalten sind.

Der Begriff Bifurkation (Verzweigung) mit der Abhängigkeit von einem Systemparameter kommt sehr selten im Bereich Technik vor, weil dynamische Systeme mehrere Systemeingänge und -ausgänge haben können, auch solche, die keine Zeitabhängigkeit haben. Es gibt sicher Beispiele von Systemverhalten, die nicht in das allgemeine Verständnis des dyn. Systems der Technik vermutet werden, wie z.B. das axiale Stauchen eines mit einer Kraft ausgesetzten Stabes mit bestimmten Materialeigenschaften.

Diskussionsausgangspunkt war, ich kann mir die Berechenbarkeit des Abknickens oder gar die geometrische Verformung des Stabes nicht vorstellen, weil eine ganze Palette von bekannten und unbekannten Parametern dafür erforderlich wären.

Ansonsten stehe ich dazu, dass wichtige Probleme mathematisch gelöst werden müssen, und vor allem, mit welchem Verfahren wie sie einfach gelöst werden können.

Um zum ursprünglichen Thema des neuen Artikels "Dynamisches System (Systemtheorie)" zurück zu kommen, wie verfahren wir bei der Realisierung? --HeinrichKü (Diskussion) 13:31, 30. Mär. 2014 (CEST)

Mein Vorschlag wäre, einfach den kompletten Teil "Elementare Systemtheorie des dynamischen Systems" per Copy-&-Paste in den neuen Artikel kopieren und dabei die Einleitung und das Beispiel "Federpendel" stehen lassen. Anschließend hier noch per {{Hauptartikel|…}}-Vorlage auf den neuen Artikel verweisen

Wenn du, HeinrichKü, die aktuelle Einleitung vllt. noch etwas "knackig" zusammenfassen könntest, hätten wir eine gute Struktur mit dem abstrakten Teil hier und einer Anregung sowie der Verlinkung zum praktische(re)n Teil von dir.--Plankton314 (Diskussion) 14:02, 30. Mär. 2014 (CEST)

Das ist nicht ganz klar. Es bleibt nichts von meinen Aktivitäten in diesem Artikel übrig. Es sollte ein Link auf den neuen Artikel mit einer Begründung eingebracht werden.
Der neue Artikel benötigt ein kleines Intro, dann

• Eine verbale Einleitung der Definition des dynamischen Systems,
• Eine verbale Aufstellung der gängigen mathematischen Verfahren,
• Die bereits dargestellten bzw. angedeuteten Berechnungsbeispiele.

Dieser neue Artikel sollte ebenso einen Link auf den Artikel "Dynamisches System" enthalten, mit einem Hinweis, warum es im Fachbereich Mathematik eine andere Sichtweise des dyn. Systems gibt. Dieser Hinweis könnte auch in dem Intro vermerkt werden. --HeinrichKü (Diskussion) 09:43, 31. Mär. 2014 (CEST)

@HeinrichKü: Ja, genau so war das gedacht. Danke.

Ich fände es hilfreich, wenn hier noch ein kleiner Abschnitt zur Systemtheorie als Überleitung stehen bleiben würde. So habe ich auch zuvor Benutzer:HilberTraum verstanden. Möchtest du das selbst noch schreiben? Ansonsten fällt einem von uns bestimmt was ein.--Plankton314 (Diskussion) 13:18, 4. Apr. 2014 (CEST)

Ich vertrete grundsätzlich die gleiche Ansicht, meine aber, die unterschiedlichen Verständnisse der mathematischen Beschreibungen müssen dargestellt werden. Dass dynamische Systeme mit Differenzialgleichungen, Übertragungsfunktionen, Zustandsraumdarstellungen und zeitdiskret beschrieben werden können, wird niemand bezweifeln. Offensichtlich geht es im Fachgebiet Mathematik um die unterschiedliche Betrachtung des Zustandsraumes (Phasenraum) zur Zustandsraumdarstellung nach Rudolf E. Kalman. Dieser Unterschied müsste herausgearbeitet werden.

Was z.B. bedeutet die Definition des dynamischen Systems der Uni Konstanz , Fachbereich Mathematik:

"Ein dynamisches System besteht aus der Menge X (dem Phasenraum), einer Gruppe G (meist G = R+) oder G = (Z+) und einer Abbildung (dem Fluss φ)."

Wer das verbal übersetzen kann, könnte einen Teil der genannten Definitionsunterschiede beschreiben. Für den anderen Teil, Fachbereich Technik, sind ja noch alle Definitionen verfügbar. Wenn ich behilflich sein kann, stehe ich gerne zur Verfügung. --HeinrichKü (Diskussion) 10:05, 5. Apr. 2014 (CEST)

Ja eine kurze Darstellung der Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Sichtweise wäre sicherlich toll, aber ich fürchte, dass das nicht ganz einfach wird, weil es wohl wie gesagt, nicht viel Literatur dazu gibt. Normalweise sind wohl wie es aussieht beide Fachbereiche mit ihrer Sichtweise „zufrieden“.

Die mathematische Definition habe ich wie gesagt im Abschnitt „Einführende Beispiele“ darzustellen versucht. Aber da ist echt nicht viel „dahinter“, ich versuch’s mal so: Man hat ein reales System und will ein mathematisches Modell dafür. Dazu schaut man erst mal, welche verschiedenen Zustände das System einnehmen kann; alle diese Zustände zusammen bilden die Menge X. Dann schaut man, zu welchen Zeitpunkten man das System betrachten will; alle Zeitpunkte zusammen sind die Menge G (im Artikel T). Das mit der Gruppe/Halbgruppe ist erst mal gar nicht so wichtig, das bedeutet nur, dass man Zeiten addieren und subtrahieren kann. Der Fluss φ ist eine Funktion, die angibt, welchen Zustand das System zu einem gewissen Zeitpunkt hat, wenn man den Anfangszustand kennt. Wichtig ist dabei nur, dass es keine Rolle spielt, welchen konkreten Zeitpunkt man als Anfangszeitpunkt nimmt. In der Mathematik ist das deshalb so allgemein und unspezifisch gehalten, damit man „alles Mögliche“ so beschreiben kann. -- HilberTraum (Diskussion) 20:42, 6. Apr. 2014 (CEST)

Die Zustandsvariablen beschreiben physikalisch den Energiegehalt der in einem technischen dynamischen System enthaltenen Speicherelemente. Die Anzahl der Zustandsvariablen $x_{1}(t)\cdots x_{n}(t)\,$ des Zustandsvektors ${\underline {x}}(t)\,$ ist die Dimension des Zustandsraumes. Im Zustandsvektor ${\underline {x}}(t)\,$ zum beliebigen Zeitpunkt t₍₀₎ sind alle Informationen des dynamischen Übertragungssystems enthalten.

Blockschaltbild eines Signalflussplanes zur Bestimmung der Zustandsvariablen im Zustandsraum.

Es geht um die Lösung der Differenzialgleichung im Zustandsraum nach dem Konzept beispielsweise in der Regelungsnormalform, hier mit dem Eingangssignal u(t), das zu Null gesetzt werden kann. Der Signalflussplan kann numerisch berechnet werden.

${\ddot {y}}(t)={\frac {1}{a_{2}}}\cdot (-a_{0}\cdot y(t)-a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+b_{0}\cdot u(t))$

• Ich vermute: Die Menge X entspricht dem Zustandsvektor.

• "alle Zeitpunkte zusammen sind die Menge G (im Artikel T)", verstehe ich nicht. Die Zustandsvariablen - als Ausgänge der Integratoren - verändern sich von einem bestimmten Zeitpunkt kontinuierlich. Die Integratoren starten mit den Anfangswerten, soweit vorhanden.

• Flüsse und Halbflüsse: Ein Halbfluss ist nur auf der nicht negativen Zeitachse definiert. Was ist ein Fluss?

Weitere Begriffe der Zustandsraumdarstellung existieren nur noch als Matrizen/Vektor-Darstellungen, die hier nicht benötigt werden.

Gleichungen des Zustandsraummodells:

• Die Zustandsdifferenzialgleichung ist eine Vektordifferenzialgleichung 1. Ordnung, die die Systemdynamik beschreibt. Sie gibt an, wie das Eingangssignal u(t) die einzelnen Speicher beeinflusst und wie diese Speicher miteinander verkoppelt sind.

• Die algebraische Ausgangsgleichung beschreibt, wie das Ausgangssignal y(t) mit den Systemzuständen verbunden ist.

Ich hoffe, es wird sich noch ein Experte der Fachrichtung Mathematik finden, der erklären kann, was die Menge G (im Artikel T) bedeutet. Wen könnte man noch befragen, es muss ja nicht sofort sein? --HeinrichKü (Diskussion) 19:58, 7. Apr. 2014 (CEST)

Also, hin und wieder sagen mir mal Leute, dass ich Mathe recht ordentlich erklären kann, also versuch ich es nochmal: Langsam wird mir klar, dass der Hauptunterschied der Sichtweisen die Tatsache ist, dass der mathematische Begriff viel, viel (hab ich schon viel gesagt?) allgemeiner ist. Er hat erst mal nichts mit „Energie“ und „Differentialgleichungen“ usw. zu tun, sondern es geht wirklich nur um irgendein (reales oder gedachtes) „Ding“, das verschiedene Zustände haben kann, fertig, nicht mehr und nicht weniger. Um mal bewusst absurde Beispiele zu nehmen: Was es mittags in der Kantine zu essen gibt oder welche Unterhose ich gerade anhabe. X ist nicht der Zustand, sondern die Menge aller möglichen Zustände. Zum Beispiel könnte es ja zwei Kantinen in der Nähe geben, wobei aber eine davon eine viel größere Auswahl hat. Dann gäbe es dort mehr verschiedene Zustände (Gerichte), also einen größeren Zustandsraum.

Zur Menge G kann ich nicht viel mehr sagen, als dass es die Menge aller Zeitpunkte ist, für die man sich interessiert. Und die muss doch in dieser Allgemeinheit nicht kontinuierlich sein. Ich habe zwar zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Unterhose an (oder keine), aber ich muss dazu doch nicht kontinuierlich nachsehen, es reicht, wenn ich mir merke, welche ich morgens angezogen habe. Damit es nicht zu albern wird, nochmal unser geliebtes Pendel: Natürlich hat das einen sich kontinuierlich ändernden Zustand, aber ich könnte doch z. B. eine Fotoserie davon machen. Dann hätte ich lauter Fotos mit verschiedenen Pendelzuständen, aber welche genau zu sehen sind, hängt doch davon ab, in welchen Zeitabständen ich die Fotos mache. Das heißt es ist wichtig, zu welchen Zeitpunkten man ein dynamisches System untersuchen will.

Zur Frage: „Fluss“ sagt man, wenn man das System zusätzlich auch für negative Zeitpunkte betrachtet. -- HilberTraum (Diskussion) 20:56, 7. Apr. 2014 (CEST)

Diese ausführliche Darstellung klingt für mich nach Mengenlehre, nicht wie man ein dynamisches System höherer Ordnung beschreiben und im Zustandsraum berechnen kann und welche gemeinsamen Begriffe der Zustandsraumdarstellung und des Phasenraumes man identifizieren könnte.

In diesem Artikel steht unter dem Abschnitt Bemerkungen: "In der Literatur wird häufig nicht zwischen dynamischen Systemen und stetigen dynamischen Systemen bzw. Flüssen unterschieden." Das ist weder eine Definition für ein dynamisches System noch eine für den Fluss, die Techniker verstehen können. Ist ein stetiges dynamisches System ein Fluss?

Meine Bemühungen bezogen sich darauf, ein dynamisches System allgemein und im besonderen ein lineares Feder-Masse-Dämpfungssystem (Federpendel) mit Anfangswerten ohne Signaleingang zu beschreiben und zu berechnen. Für Systeme 2. Ordnung geht es noch mit einer Differenzialgleichung, aber umständlich. Von den verschiedenen möglichen mathematischen Verfahren z.B. für Systeme > 3. Ordnung kommt dafür wohl nur die Zustandsraumdarstellung infrage. Nun ging es darum, Gemeinsamkeiten der Fachbegriffe der Zustandsraumdarstellung gegenüber der bei Mathematikern beliebten Systembeschreibung des Phasenraums zu finden.

Leider muss ich mich von der Diskussion verabschieden, weil wir so nicht weiter kommen. Ich verstehe die Denkweise und die Mathematik der Mathematiker nicht. Danke für deine Bemühungen. Gruß --HeinrichKü (Diskussion) 10:01, 8. Apr. 2014 (CEST)