Diskussion:Einfach-gleichmäßige Konvergenz

Punktweise Konvergenz

Meiner Meinung nach muss man auch punktweise Konvergenz voraussetzen, das scheint zumindest in der allgemeineren Defintion der "einfach-gleichmäßigen Konvergenz" in [John W. Brace: "Convergence on filters and simple equicontinuity", Illinois J. Math. Volume 9, Issue 2 (1965), 286-296] der Fall zu sein. Betrachte die Folge f_n, bei der das n-te Glied die Konstante sin(n) ist, zum Beispiel auf dem Einheitsintervall. Bei der vorliegenden Definition konvergiert f_n einfach gleichmäßig gegen jede Konstante Funktion mit einem Wert aus [-1,1], denn für jedes $\epsilon >0$ und $x\in [-1,1]$ liegt sin(n) immer wieder in $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$. Das ist sicher nicht gemeint. --FerdiBf 19:06, 6. Jan. 2012 (CET)

Ja da hast Du Recht. --Christian1985 (Diskussion) 19:19, 6. Jan. 2012 (CET)

Allgemeinheit

Als Definitionsbereich kann man sicher jeden topologischen Raum nehmen und als Wertebereich jeden uniformen Raum (zumindest jeden metrischen Raum), siehe allgemeinere Definition der einfach gleichmäßigen Konvergenz in einem Punkt in [John W. Brace: "Convergence on filters and simple equicontinuity", Illinois J. Math. Volume 9, Issue 2 (1965), 286-296]. Ist die hier gegebene Definition äquivalent zur einfach gleichmäßigen Konvergenz in jedem Punkt, zumindest auf kompakten Definitionsbereichen? Die Zusammenhänge sollten im Artikel dargestellt werden.--FerdiBf 19:11, 6. Jan. 2012 (CET)

Umständliche Definition?

Kann mir jemand sagen, warum man statt der Definition

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in D_{f}:\operatorname {Card} (\{n\mid n\geq N,\ \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \})=\aleph _{0}$

nicht einfach

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \forall x\in D_{f}:\operatorname {Card} (\{n\mid \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \})=\aleph _{0}$

oder (was mir noch besser gefällt)

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \forall x\in D_{f}:\left|\{n\mid \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \}\right|=\infty$

schreibt?

Ich sehe nicht, wo der Unterschied zwischen diesen Versionen ist und warum man das $N$ einführt. (nicht signierter Beitrag von 88.150.41.65 (Diskussion) 21:20, 7. Apr. 2017 (CEST))

Ist die Definition überhaupt korrekt?

Die nicht-signierte Kritik oben ist völlig berechtigt, ich möchte aber noch weiter gehen. Ich hatte 2012 schon auf eine Unstimmigkeit hingewiesen und auch Fragen gestellt, die unbeantwortet geblieben sind. Danach hatte ich diesen Artikel leider aus den Augen verloren. Diesen Konvergenzbegriff kenne ich nicht, er scheint zumindest nicht aktuell in Verwendung zu sein.

1. Ist die im Artikel gegebene Definition nicht äquivalent zu: "f_n gegen f punktweise und es gibt eine gleichmäßig konvergente Teilfolge"? Das sollten wir dann auch so schreiben.
2. Wenn 1) stimmt, ist das überhaupt der von Dini gemeinte Konvergenz-Begriff? Ich kenne die Originalquelle leider nicht.
3. Wozu braucht man diesen Konvergenzbegriff eigentlich? Stetigkeit der Grenzfunktionn? Ist das alles?

Fazit: Ich habe sogar Zweifel, ob der Artikel den Begriff richtig definiert. Kann jemand diese Zweifel ausräumen?--FerdiBf (Diskussion) 10:38, 8. Apr. 2017 (CEST)