Diskussion:Einsmatrix

Beschränkung auf R oder C

Im Absatz Rang, Spur, Determinante wird der Körper auf R oder C eingeschränkt. Das ist nur für die Formel mit der Exponentialfunktion nötig. Alles vorher gesagte gilt wohl für beliebige Körper, selbst die Formel für die Spur benötigt nicht die Charakteristik 0, wenn man n als $n\cdot 1$ liest. Das ist wohl erst ab der Stelle nötig, an der die idempotente Matrix $\textstyle {\frac {1}{n}}J_{nn}$ eingeführt wird, dort sollte die Charakteristik gleich 0 sein, oder zumindest teilerfremd zu n. Die Formel zu Exponentialfunktion benötigt natürlich einen Körper, der $e^{n}$ enthält. Kann das jemand bestätigen?--FerdiBf (Diskussion) 12:08, 25. Aug. 2013 (CEST)

Die Formeln für den Rang und die Determinante $(1-1+1-1+\ldots -1=0)$ sind wohl in beliebigen Körpern gültig. Die Frage ist nur, was bei der Spur $n\in K$ darstellen soll. Wenn $n\cdot 1$ unmissverständlich ist (ist es das?), kann ich natürlich problemlos $\mathbb {K}$ durch $K$ ersetzen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:09, 25. Aug. 2013 (CEST)

Bei der Aussage zu den Eigenwerten müsste man dann aber wohl auch aufpassen. -- HilberTraum (Diskussion) 13:38, 25. Aug. 2013 (CEST)

Stimmt, da gilt im Prinzip das gleiche wie für die Spur. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:01, 25. Aug. 2013 (CEST)

Zur Unmissverständlichkeit könnte man deutlicher $n\cdot 1:=\underbrace {1+\ldots +1} _{n-mal}$ schreiben. Den Satz zu den Eigenwerten, der ohnehin nicht zur Absatz-Überschrift passt, würde ich dann weiter unten sehen, vielleicht in einem eignen Absatz. In diesem kann man noch eine Basis aus Eigenvektoren, (1,...1), (1,-1,0,...,0), ... (0,...,0,1,-1), angeben und zusätzlich das charakteristische Polynom (-1)^n x^(n-1)(x-n). Dies gilt wieder für jeden Körper und aufpassen muss man bzgl. der Eigenwerte daher nur, wenn die Charakteristik ein Teiler von n ist. Dass die angebenen Vektoren eine Basis aus Eigenvektoren bilden, ist außer für n=2 und char = 2 wohl richtig. In diesem Sonderfall ist 0 einziger Eigenwert mit Vielfachheit 1. (Ist das so? Ich habe leider keine passende Literatur zur Hand.) --FerdiBf (Diskussion) 14:35, 25. Aug. 2013 (CEST)

Zum Beispiel über $\mathbb {F} _{3}$ sind (1,1,1), (1,-1,0), (0,1,-1) aber linear abhängig, ein bisschen komplizierter ist es wohl schon. -- HilberTraum (Diskussion) 15:05, 25. Aug. 2013 (CEST)

Stimmt!! Für char = 0 passt es aber, da man eigentlich nur in Z bzw. Q rechnet. --FerdiBf (Diskussion) 15:36, 25. Aug. 2013 (CEST)

Ich habe die Eigenwerte nun in einen eigenen Abschnitt gestellt und für Rang und Determinante allgemeine Körper eingesetzt. Die Aussage, dass die Spur gleich $n\cdot 1$ ist gefällt mir noch nicht so recht. Dann kann man auch gleich $1+\ldots +1$ schreiben. Ähnliches gilt überall, wo $n$ auf der rechten Seite vorkommt. Ihr könnt aber gerne noch Verallgemeinerungen vornehmen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:20, 25. Aug. 2013 (CEST)