Diskussion:Endlicher Körper

Der Artikel sollte sich für eine der Schreibweisen GF(q) oder F_q entscheiden; ich stimme hiermit für letztere (z.B. in Analogie zu den p-adischen Zahlen Z_p, es gilt ja Z_p/pZ_p = F_p).--Gunther 17:27, 3. Mär 2005 (CET)

Unsinn

Da jeder Körper der Charakteristik 0 die ganzen Zahlen enthält und damit unendlich ist, haben alle endlichen Körper eine Primzahlcharakteristik. Das ist zum ersten falsch, und zum zweiten ist das nicht wirklich eine Begründung dafür, dass alle endlichen Körper eine Primzahlcharakteristik haben. --DFG 23:54, 5. Nov 2005 (CET)

Zu jedem Ring $A$ (kommutativ, mit Eins) gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus $\mathbb {Z} \to A$. Ist $A$ ein Körper, so ist das Bild ein Integritätsbereich und somit der Kern ein Primideal, dessen eindeutig bestimmter nichtnegativer Erzeuger die Charakteristik genannt wird. Sie ist somit stets 0 oder eine Primzahl. Ist sie 0, ist der kanonische Homomorphismus injektiv, man kann $\mathbb {Z}$ als Teilmenge des Körpers auffassen. Ok?--Gunther 00:21, 6. Nov 2005 (CET)

Ich denke, die Unklarheit, die dieser an sich richtige Satz erzeugt, liegt darin, dass ein Link auf den Begriff des Primkörpers fehlt. Dann wird der Sinn des Satzes unmittelbarer klar.--JFKCom 00:23, 6. Nov 2005 (CET)

Vielleicht genügt ja auch der Hinweis, dass die Charakteristik eines Körpers stets 0 oder eine Primzahl ist, evtl. mit kurzen Begründung. DFG, was wünscht Du?--Gunther 00:32, 6. Nov 2005 (CET)

Mir eigentlich egal, hauptsache der Fehler kommt weg. Nicht jeder Körper der Charakteristik 0 enthält die ganzen Zahlen. --DFG 00:57, 6. Nov 2005 (CET)

Das ist genauso falsch wie die Aussagen $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$, da gibt es auch jeweils nur injektive Abbildungen.--Gunther 01:00, 6. Nov 2005 (CET)

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ ist doch nicht falsch. --DFG 01:03, 6. Nov 2005 (CET)

Mit den üblichen Konstruktionen:

$\mathbb {N} =\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\ldots \}$

$\mathbb {Z} =\{\{(0,0),(1,1),(2,2),\ldots \},\{(1,0),(2,1),(3,2),\ldots \},\ldots \}$ (dabei jeweils $0=0_{\mathbb {N} }$ usw.)

$\mathbb {Q} =\{\{(2,1),(4,2),(6,3),(-4,-2),\ldots \},\ldots \}$ (Zahlen sind Elemente von $\mathbb {Z}$)

$\mathbb {R} =\{\{(1/n)_{n},(1/n^{2})_{n},(0)_{n},\ldots \},\ldots \}$ (Cauchyfolgen rationaler Zahlen)

--Gunther 01:09, 6. Nov 2005 (CET)

Sei $A$ die Menge aller Zeichenketten, a bis z und A bis Z. Dann enthalten $A$ und $\mathbb {Z}$ keine gemeinsamen Elemente. Wenn ich jeder ganzen Zahlen ihren deutschen Namen durch die injektive Abbildung $\mathrm {name} ^{*}(n):\mathbb {Z} \to A$ zuweise, und dann folgende Menge konstruiere: $M:=\{\mathrm {name} ^{*}(n)|n\in \mathbb {Z} \}$ Dann existiert eine bijektive Funktion $\mathrm {name} (n):\mathbb {Z} \to M$. Die Addition und Multiplikation der Elemente dieser neuen Menge definiere ich so, dass sie sich im wesentlichen wie die ganzen Zahlen verhalten. Dann ist $M$ mit + und * ein Körper der Charakteristik 0, der keine einzige ganze Zahl enthält. --DFG 01:30, 6. Nov 2005 (CET)

Die Aussage müßte eben leicht abgeschwächt werden zu "jeder Körper der Charakteristik 0 enthält eine isomorphe Kopie der ganzen Zahlen (oder auch: eine isomorphe Kopie der rationalen Zahlen als Primkörper)", in beiden Fällen ist sofort klar, dass jeder Körper der Char. 0 unendlich sein muss.--JFKCom 01:56, 6. Nov 2005 (CET)

(Bearbeitungskonflikt, @DFG) Wie oben gesagt, strenggenommen enthalten bereits $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ keine ganzen Zahlen; eine injektive Abbildung ist aber genauso gut wie eine tatsächliche Teilmengenrelation. Ich habe den entsprechenden Abschnitt im Artikel präzisiert.--Gunther 02:08, 6. Nov 2005 (CET)

Natürlich enthalten $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ ganze Zahlen und zwar alle. Juergen 01:52, 8. Aug 2009 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 79.198.62.13 (Diskussion | Beiträge) )

Kommt drauf an, wie man die ganzen Zahlen, rationalen Zahlen etc. definiert. Nach den üblichen Definitionen, die ich kenne, wird Z aus N (mit 0), Q aus Z etc. konstruiert, so dass die Teilmengenkette, die du vorhin angegeben hast, noch stimmt. --DFG 02:24, 6. Nov 2005 (CET)

Z ist die Menge der Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen mit $(a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c$. Damit ist $\mathbb {N} \not \subset \mathbb {Z}$. Natürlich kann man nachträglich noch die "neuen" natürlichen Zahlen durch die "alten" ersetzen, um eine Inklusion hinzubekommen, aber das ist künstlich und unnötig.--Gunther 02:32, 6. Nov 2005 (CET)

Man kann die natürlichen Zahlen aus den reellen herausfiltern (Stichwort: induktive Megen), und die negativen ganzen Zahlen als inverse derer in N, und diese auch in R identifizieren (halt irgendwelchen Elementen x < 0 zuordnen). Und dann halt Z aus... --DFG 04:03, 6. Nov 2005 (CET)

N aus R zu konstruieren ist zwar recht einfach, allerdings benötigt man für die Konstruktion von R bereits N (i.w. weil N die einzige unendliche Menge ist, deren Existenz direkt axiomatisch gesichert ist). Abgesehen davon ist Deine Konstruktion mit $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ nicht vereinbar, sofern man nicht wie o.a. die komplexen Zahlen mit verschwindendem Imaginärteil durch die entsprechenden reellen Zahlen ersetzt. Von einem systematischen Standpunkt will mir auch nicht einleuchten, weshalb man so einfache Objekte wie natürliche Zahlen als so etwas kompliziertes wie spezielle reelle Zahlen definieren sollte. Aber darum geht es hier auch nicht, sondern darum, dass die vermutlich am weitesten verbreitete, in jedem Fall aber eine übliche Konstruktion keine tatsächlichen Teilmengen liefert.--Gunther 10:49, 6. Nov 2005 (CET)

was richtig, aber - mit Verlaub - völlig gleichgültig ist. Daß übrigens alle endlichen Körper Primzahlcharakteristik haben, läßt sich sehr einfach auch daraus ersehen, daß wir die endlichen Körper kennen, nämlich $\mathbb {F} _{p^{n}}$ mit p prim und n positiv natürlich, und daß jeder Körper die Charakteristik p hat, damit insbesondere nicht 0, damit muß jeder Körper mit Charakteristik 0 unendlich sein.--2001:A61:20E9:2501:35C9:7BE0:8E06:36B4 19:59, 27. Jul. 2017 (CEST)

Katalog

Katalog? Ich finde die Überschrift ja echt mal unpassend. --DFG 23:55, 5. Nov 2005 (CET)

Fändest Du "Liste der Isomorphieklassen" besser?--Gunther 00:21, 6. Nov 2005 (CET)

Die Überschrift "Katalog" ist m.E. äusserst unpassed. Was solluns das sagen? Dkracht 14:40, 18. Nov. 2007 (CET)

Vieleicht "Klassifikation"?--Hagman 19:22, 17. Jul. 2009 (CEST)

GF(p)

"Die alternative Schreibweise GF(p) (vom englischen Galois field) ist veraltet und findet nur noch in Programmiersprachen Anwendung"

Wer sagt das? In Vorlesungen begegne ich dieser Schreibweise ständig, und auch in moderneren Büchern hab ich sie ab und an schon gesehen. -- Patrick 01.05.2008

Beschäftige mich in der letzten Zeit mit Codierungstheorie und stoße auch in (recht) aktueller Literatur auf GF(q) als Bezeichnung endl. Körper (vgl. Schulz, "Codierungstheorie", 2. Auflage, 2003). -- Georg 26. Jun 2008 17:47

Beispiele

Was soll das „Gegenbespiel“ zeigen? Dass es keine Körper mit 4 Elementen geben kann, zeigt es jedenfalls nicht, da hier ja nur _ein_ Beispiel für eine 4-elementige Menge mit zwei Verknüpfungen angegeben ist. Es könnte aber ja zwei andere Verknüpfungen „+“ und „*“ geben, sodass diese Menge ein Körper ist. (Die gibt es natürlich nicht, was aber das Beispiel nicht zeigt) Bis hier Beitrag eines anonymen Benutzers

Das Gegenbeispiel soll zeigen, dass es keinen Körper der Charakteristik 4 gibt. Was es tatsächlich zeigt,ist die Tatsache, dass Z/4Z kein Körper ist. Ob daraus sofort das erstere folgt, bin ich mir gerade zu faul zum Überlegen, ebenso den Absatz umzuformulieren, dass der Sachverhalt klarer wird. Ich habe jetzt lediglich eine Änderung revertiert, die den Abschnitt (zumindest in meinen Augen) nur unverständlicher gemacht hat. Wenn keiner den Absatz umformulieren will, werde ich das mal irgendwann wenn ich Zeit finde tun. Übrigens: Selbstverständlich gibt es einen Körper mit 4 Elementen, so wie es zu jeder Primpotenz einen gibt. --Schnark 10:16, 11. Nov. 2008 (CET)

Es gibt keinen Körper der Charakteristik 4, weil in einem solchen definitionsgemäß 2*2=0 gelten müsste, womit die 2 ein Nullteiler und also nicht invertierbar ist.--LutzL 20:02, 10. Jul. 2009 (CEST)

Man könnte ja mal beispielhaft die (bis auf namensgebung) eindeutigen Verknüpfungstabellen des Körpers mit 4 Elementen angeben. Oder wie wär's denn mal mit einem Beispiel oder einer kleinen Konstruktionsvorschrift? Zum Beispiel könnte man ja anleiten, wie man den Körper $\mathbb {F} _{17}$ konstruiert (bzw. einen beliebigen anderen Körper mit der Mächtigkeit einer Primzahl). Das wäre ja gar nicht mal so schwer und ließe auch das Verständnis über solche Strukturen wachsen. -- Kunschi 15:57, 28. Jan. 2010 (CET)

Falls man so wie ich zu faul ist darüber nachzudenken: [1] Ansonsten kann man sich auch noch überlegen, dass es einen Körper mit 4 Elementen gibt, da 2²= 4 ist und 2 eine Primzahl ist.--Schönen Gruß "Wohingenau" 17:50, 28. Jan. 2010 (CET)

Verständlichkeit des Abschnitts Katalog

Ich finde der Abschnitt setzt zuviel Vorwissen voraus und verwendet unnötig viel mathematische Notation. Wer mit Begriffen wie Kern, Restklassenring, irreduzibles Polynom vertraut ist, hat es vermutlich auch nicht mehr nötig nachzuschlagen was ein endlicher Körper ist.

Ich war mal so frei einen Baustein Allgemeinverständlichkeit einzufügen.

--O.mangold 11:19, 3. Jul. 2009 (CEST)

Ich denke nicht, dass man diesen Abschnitt wesentlich vereinfachen kann. Danach würde man nämlich den Abschnitt mit den Beispielen nicht mehr verstehen. Was ein Kern ist sollte man wissen um überhaupt irgendwelche mathematischen Artikel zu verstehen. Außerdem wird er ja sogar noch im Artikel erklärt. Außerdem hat gerade der Bereich der Algebra die Eigenschaft, dass man viele abstrakte Definitionen hat. Ich weiß nicht wie man das einfacher schreiben soll. -Christian1985 16:22, 4. Sep. 2009 (CEST)

Es ist vielleicht etwas unglücklich, dass gleich zu Anfang des Artikels so fortgeschrittene Themen behandelt werden. Ich denke das müsste man nicht als Erstes bringen. Wenn es keine Abhängigkeiten zu den anderen Abschnitten gibt, würde ich ihn vielleicht einfach weiter nach unten verschieben. --Drizzd 22:39, 4. Sep. 2009 (CEST)

Was sollte denn weiter oben stehen? Also die Beispiele sind abhängig von Katalog und für den letzten Abschnitt muss man auch wissen, dass nur die Menge $\mathbb {F} _{q}$ nur für q Primzahl ein Körper ist. Man könnte den Abschnitt über die Multiplikative Gruppe nach oben verschieben. Bringt das was? Ich habe mal in des Lexikon der Mathematik vom Spektrum-Verlag geschaut, was dort zu endlichem Körper steht. Das entsprach etwa dem Katalogabschnitt. Einfacher war es sicherlich nicht --Christian1985 16:50, 7. Sep. 2009 (CEST)

An O.mangold: Ich habe den Artikel umgestaltet. Dennoch kommen Begriffe wie Kern vor. Solche Begriffe lernt ein Mathematik-Student normalerweise im 1. Semester im Zusammenhang mit Vektorräumen kennen. Die Theorie der endlichen Körper ist im Wesentlichen Gegenstand einer Algebra-Vorlesung, die man zu meiner Zeit eher im 5. Semester hörte. Daher kann ich die Behauptung "wer weiß, was ein Kern ist, weiß auch, was ein endlicher Körper ist" höchstens im Fall der Primkörper Z/pZ nachvollziehen. Grüße --Boobarkee 12:58, 12. Sep. 2009 (CEST)

So da keine Reaktionen und damit auch keine Beschwerden kamen, entferne ich nun alle QS-Button. --Christian1985 02:48, 19. Sep. 2009 (CEST)

Galois und endliche Körper

Hallo, die zweite Hälfte des Satzes "Die Bezeichnung Galoiskörper leitet sich vom Namen des Mathematikers Évariste Galois ab, der als erster mit solchen Strukturen gerechnet hat." bedarf eines Belegs. Ich bin offen gesagt nicht davon überzeugt, dass das den Tatsachen entspricht. Weiß jemand etwas näheres dazu? Grüße --Boobarkee 21:03, 12. Sep. 2009 (CEST)

[2]: "Eliakim Hastings Moore (1862-1932) was apparently the first person to use the English word field in its modern sense and the first to allow for a finite field." Vor 1893 wurden danach keine endlichen Körper betrachtet. Grüße --Boobarkee 21:29, 12. Sep. 2009 (CEST)

Was ist ein endlicher Körper?

Auf der gesammten Seite findet sich keine Definition, was dem am nächsten kommt ist noch:

Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die :Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind.

Dabei wird keine Distributivität gefordert. -- 91.115.93.228 23:08, 19. Jan. 2010 (CET)

Hab die Einleitung etwas geändert.--Schönen Gruß "Wohingenau" 10:06, 20. Jan. 2010 (CET)

Was bitte ist an der Platitüde "Vereinfacht ausgedrückt ist ein endlicher Körper eine endliche Menge, die alle Eigenschaften eines Körpers erfüllt." vereinfachend? Das ist eine nichtssagende Tautologie bzw. erklärt bestensfalls, dass der Begriff "endlicher Körper" wirklich eine endliche Menge mit einer Körperstruktur bezeichnet. --Boobarkee 16:33, 20. Jan. 2010 (CET)

Anfangsobjekt

Ich versteh nicht was die Erläuterungen zum Anfangsobjekt in einem Einführenden Beispiel zu tun haben? Diese Erläuterungen sind an dieser Stelle zum Verständnis nicht sinvoll und notwendig, diesen Absatz also lieber (mit Beispiel) im Artikel Anfangsobjekt oder später im Artikel einfügen. --Schönen Gruß "Wohingenau" 10:06, 20. Jan. 2010 (CET)

Der Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ ist ein sogenanntes Anfangsobjekt in der Kategorie der Ringe mit Einselement. Dies besagt, dass es zu jedem Ring $R$ genau einen Ringhomomorphismus $f:\mathbb {Z} \rightarrow R$ gibt; tatsächlich: $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=1+1$ etc. Im Fall des zweielementigen Körpers gilt $f(2)=1+1=0$. Der Kern von $f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {F} _{2}$ besteht aus allen Vielfachen der Zwei, also den geraden Zahlen.

Vieles fehlt leider im Artikel

z.B. wie man in endlichen Körpern GF(pⁿ) rechnet, wenn n>1. Es wurden GF(25) und GF(49) als Beispiele angegeben. Da wäre vielleicht eine Multiplikationsmatrix anschaulich (und noch nicht zu groß), evtl. auch für GF(16) als Vertreter der in der Informatik so wichtigen GF(2ⁿ). Was meint ihr? --RokerHRO (Diskussion) 22:53, 18. Okt. 2017 (CEST)

Der Körper mit 4 Elementen

In diesem Beispiel ist $x$ Nullstelle des Polynoms $X^{2}+X+1$. Also $x^{2}+x+1=0{\bmod {2}}$. Das bedeutet dass $x^{2}=x+1{\bmod {2}}$ die reduzierende Gleichung ist. D.h. wenn in einer Berechnung $x^{2}$ entsteht, wird es ersetzt durch $x+1$. Damit zeigt sich direkt dass $(x+1)^{2}+(x+1)+1=x^{2}+x+1=0$.Madyno (Diskussion) 23:25, 25. Okt. 2021 (CEST)

Letztlich muss man überhaupt nichts rechnen, um die Richtigkeit der letzten Behauptung zu "beweisen". Wie im Artikel behauptet ist x²+x+1 das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 über F2. (Nachweis im Kopf!) Da x+1 nicht im Primkörper liegt, ist sein Minimalpolynom irred. vom Grad 2, also dieses Polynom. Oder noch einfacher: Da F4/F2 separabel ist, hat das über F2 irred. Polynom x²+x+1 zwei verschiedene Nullstellen in F4. Dafür kommt neben x nur x+1 in Frage!--Boobarkee (Diskussion) 14:50, 27. Okt. 2021 (CEST)

Erzeuger

Was bedeutet: "Die Galoisgruppe wird von ${\mathcal {F}}$ erzeugt"? Madyno (Diskussion) 14:10, 15. Nov. 2021 (CET)

Das bedeutet, dass der ein bisschen weiter oben beschriebene (und für jedes $n$ immer gleiche) Frobeniushomomorphismus ${\mathcal {F}}:x\mapsto x^{p}$ eine Gruppe erzeugt, die bei jeder endlichen Körpererweiterung $\mathbb {F} _{p^{n}}/\mathbb {F} _{p}$ die Galoisgruppe ist. Diese ist isomorph zu $\mathbb {Z} /(n\mathbb {Z} )~.$ Für jedes $n$ ist halt immer ${\mathcal {F}}^{n}=\mathrm {id} ~,$ oder mit aneren Worten $\forall x\in \mathbb {F} _{p^{n}}:x^{p^{n}}=x~.$ —Nomen4Omen (Diskussion) 17:04, 15. Nov. 2021 (CET)

Danke, hab schon verstanden. Madyno (Diskussion) 18:16, 18. Nov. 2021 (CET)

Hinzufügung +13752 von Benutzer:Googolplexian1221 am 1.9.23

Tut mir so leid, aber ich halte diese Hinzufügung, insbesondere den Riesenumweg über die reellen Zahlen, für ein Riesengeschwafel. Ich fand's vorher besser. —Benutzer:Nomen4Omen --Nomen4Omen (Diskussion) 10:55, 1. Sep. 2023 (CEST)

Der Umweg über die reellen Zahlen soll ja dazu dienen, Personen, die nicht Mathematik studiert haben, den Begriff besser zu motivieren. Vielleicht kann man den ersten Teil aber etwas kürzen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:46, 1. Sep. 2023 (CEST)

Nullstelle im Beispiel "Körper mit 4 Elementen"

"Die $X$ enthaltende Restklasse sei mit $x$ bezeichnet, so dass $x$ Nullstelle von $f(X)$ in $\mathbb {F} _{2}[X]$ ist."

Es besitzt doch $f(X)=X^{2}+2X+1$ in $\mathbb {F} _{2}(X)$ eben gerade keine Nullstellen. Ist hier $\mathbb {F} _{2}[X]/(f)$ gemeint wo $f(x)+(f)=0+(f)$ ist gemeint, oder wo liegt mein Denkfehler? --FabianWz (Diskussion) 16:57, 20. Sep. 2023 (CEST)

Es ist schon $f(X)\in \mathbb {F} _{2}[X]$. Der springende Punkt ist hier, Nullstellen des irreduziblen Polynoms im algebraischen Abschluss von $\mathbb {F} _{2}$ an $\mathbb {F} _{2}$ hinzu zu andjungieren. Das Resultat ist dann isomorph zum Körper mit 4 Elementen. Im Artikel wird dies über Polynomringe erklärt: Da $f$ irreduzibel ist, ist $(f)$ ein maximales Ideal und $\mathbb {F} _{2}[X]/(f)$ ein Körper (mit 4 Elementen, wie man schnell sieht). Es ist dann $X\mapsto x$ ein Isomorphismus nach $\mathbb {F} _{2}(x)$ (mit der oben erwähnten Nullstelle $x$), wobei alles mit $\mathbb {F} _{4}$ identifiziert werden kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:13, 20. Sep. 2023 (CEST)