Diskussion:Folgenraum

Schreib- und Sprechweisen

Zwei Fragen:

1. Ist die Bezeichnung $\omega$ für den Raum aller Folgen in $\mathbb {K}$ tatsächlich üblich? Ich habe sie noch nie gesehen, sie ist nicht selbsterklärend und steht im Widerspruch zu anderen Verwendungen des Symbols (z.B. in der Mengenlehre: $\omega =$ Menge der natürlichen Zahlen).
2. Ist mit "Raum" immer ein Vektorraum gemeint? Dann sollte das schon im ersten Satz so stehen. Statt "... ist ein Raum ..." sollte stehen "... ist ein Vektorraum ...". Den Begriff "Raum" ohne nähere Spezifizierung gibt es in der Mathematik nämlich gar nicht.

--Digamma 12:24, 20. Feb. 2012 (CET)

Zwei Antworten

1. $\omega$ ist durchaus üblich, siehe z.B. Meise-Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Heuser verwendet (s). $\omega$ wird auch in "William B. Johnson,Joram Lindenstrauss: Handbook of the geometry of Banach spaces" verwendet. Zelasko schreibt in "Operator algebras, operator theory and applications" auf Seite 290: (s) is Banach's notation. Koethe and the German school denote this space by $\omega$.
2. Natürlich ist mit Raum stets Vektorraum gemeint.

--FerdiBf 19:49, 20. Feb. 2012 (CET)

Vielen Dank. Die Antwort auf Frage 2 ist nicht ganz offensichtlich, denn es könnte auch "Topologischer Raum" gemeint sein, vgl. die Diskussion bei Funktionenraum. Ich ändere dann mal den erste Satz in der Einleitung. --Digamma 19:57, 20. Feb. 2012 (CET)

Dualraum von $c$

Im Abschnitt Dualität der aktuellen Version des Artikels steht, dass $\ell ^{1}$ im dort definierten Sinne als Dualraum von $c$ verstanden werden kann. Das ist aber meines Erachtens nicht der Fall, weil bei Forderung 3 die Surjektivität nicht erfüllt ist. Das durch $c\ni x\mapsto \lim _{k\to \infty }x_{k}\in \mathbb {R}$ definierte Funktional ist aus $c^{\prime }$, kann aber durch kein $y\in \ell ^{1}$ als Bild $\phi _{y}$ dargestellt werden. Gäbe es nämlich ein solches $y$, so müsste es $y_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }e_{k}^{(n)}y_{k}=\phi _{y}(e^{(n)})=0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen, d.h. null sein, ein Widerspruch. Also ist $\phi$ nicht surjektiv.

Wahrscheinlich fand die Dualitätsbehauptung $c^{\prime }=\ell ^{1}$ ihren Weg in den Artikel, weil sie unter Verwendung einer anderen Isometrie stimmt: Definiert man $\phi _{y}(x):=y_{1}\cdot \lim _{n\to \infty }x_{n}+\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}y_{n+1}$, so müsste es klappen. Ohne weitere Hinweise kann man die Dualitätsbehauptung so wie sie jetzt im Artikel steht aber glaube ich nicht stehen lassen.

Florian --134.99.156.227 20:28, 9. Jun. 2015 (CEST)

Mir kommt eher die Definition von Dualität im Artikel ungewöhnlich vor. Sagt man normalerweise nicht einfach/vereinfacht, dass $F$ Dualraum von $E$ ist, wenn $F$ und $E'$ isometrisch isomorph sind? -- HilberTraum (d, m) 10:01, 10. Jun. 2015 (CEST)

Ich habe $c^{\prime }\cong \ell ^{1}$ entfernt. Das ist zwar richtig, wie HilberTraum bemerkt hat, aber die angegebene Dualität funktioniert natürlich nicht. Wenn man sagt, F sei Dualraum von E, dann hat man meistens eine naheliegende Dualitätbeziehung im Auge. "$L^{2}(\mathbb {R} ^{45})\oplus \mathbb {C} ^{7}$ ist Dualraum von $\ell ^{2}$" würde wahrscheinlich niemand sagen, obwohl natürlich passende Isometrien existieren.--FerdiBf (Diskussion) 20:35, 12. Jun. 2015 (CEST)