Diskussion:Fundamentalsatz der Algebra

Bedeutung und Historie der Namensgebung

Aus dem Artikel:

"Entgegen seinem Namens ist dieser Satz weder sehr fundamental, noch ein Satz der Algebra."

Kann mir das jemand näher erklären? Ich weiss, dass er durch Analysis bewiesen wird, trotzdem hat er doch einen rein algebraischen Inhalt, oder? Und wann heisst ein Satz "fundamental"?

"Graphische Interpretation fehlt noch." (War ein HTML-Kommentar, wohl von Caramdir)

Welche Art grafischer Interpretation sollte das sein? --SirJective 10:36, 7. Nov 2003 (CET)

Warum der Satz nicht fundamental sein sollte, verstehe ich auch nicht. Die algebraische Abgeschlossenheit des Körpers der komplexen Zahlen sehe ich schon als eine recht fundamentale Einsicht an. Als "rein algebaischen" Satz würde ich den Fundamentalsatz der Algebra aber deswegen nicht bezeichnen, weil letztlich die reellen und komplexen Zahlen, über die der Satz eine Aussage macht, Konstrukte der Analysis sind. Deshalb kann man den Satz auch nicht mit rein algebraischen Mitteln beweisen.

Ich meinte, dass die Aussage des Satzes eine algebraische ist; du hast recht damit, dass das C kein algebraisches Konstrukt ist. Jedoch betrachtet die Algebra auch Körper, die nicht algebraisch konstruiert sind, z.B. wenn Erweiterungen dieser Körper betrachtet werden. Die würde ich als algebraische Sätze auffassen, selbst wenn sie z.B. für R und C zutreffen. Der Fundamentalsatz ist insofern ein Grenzfall, als er über nur einen einzigen Körper - der kein algebraisches Konstrukt ist - eine Aussage macht. --SirJective 20:54, 7. Mär 2004 (CET)

Laut meinem Lehrbuch 'Einführung in die Mathematik für Informatiker / Baron,Kirschenhofer/1989 Springer-Verlag' steht dazu Folgendes:

Fundamentalsatz der Algebra:

Ausgangspunkt für die Erweiterung der Menge R zur Menge C war unsere Beobachtung, daß nicht jede algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten eine Lösung in R besitzt. Tatsächlich kann man zeigen, daß jede derartige Gleichung in C eine Lösung hat. Es gilt sogar mehr:

Jede algebraische Gleichung

$c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{0}=0{\mbox{ vom Grad }}n\geq 1$

mit Koeffizienten

$c_{i}\in \mathbb {C} (0\leq i\leq n)$

besitzt in $\mathbb {C}$ mindestens eine Lösung.

$\mathbb {C}$ heißt aufgrund dieser Eigenschaft algebraisch abgeschlossen. --Akrostychon 23:59, 24. Apr 2004 (CEST)

Ich würde nicht unbedingt sagen, dass $\mathbb {C}$ kein algebraisches Konstrukt ist. Wenn man die natürlichen Zahlen erstmal hat, die einem eigentlich allgemeine Grundlagen liefern, kann man zu den ganzen und rationalen Zahlen kommen. Von dort aus gibt es zwei Wege zu den reellen - der eine über die Faktorisierung nach den Cauchyfolgen, also eine Vervollständigung, der andere über angeordnete Körper. Der erste eher analytisch, der zweite eher algebraisch. Vom zweiten her kommt man zu der Aussage, dass es "im Wesentlichen" nur einen archimedisch angeordneten Körper gibt. Von dort aus schließlich kann man durch eine konkrete Definition den Körper der komplexen Zahlen erhalten, weil man nur anzugeben braucht, wie man multipliziert.

Insofern würde ich sagen, $\mathbb {C}$ lässt sich auf zweierlei Arten konstruieren. Je nachdem, ob nun die Analysis oder die Algebra sich damit beschäftigt, werden eben verschiedene Aspekte davon betrachtet. Denoevyn 15:01, 11. Aug 2006 (CEST)

Ich habe die zwei Sätze aus der Einleitung entfernt, weil einerseits die Bedeutung des Fundamentalsatzes der Algebra sehr umstritten ist. Aus Sicht der Algebra ist der Satz von Steinitz: "Jeder Körper hat einen algebraischen Abschluss" sehr viel fundamentaler. Andererseits ist die Liste, die verlinkt ist, keine große anerkannte Autorität. (Vielleicht macht ein Beispiel meinen Standpunkt klar: Hätte Hilbert diesen Satz als Zweitwichtigsten benannt, so wäre dem Leser klar, dass ein fähiger Mathematiker dieser Meinung war.)

Dann noch in eigener Sache: Mich würde eine rein algebraische Konstruktion der reellen Zahlen sehr interessieren. Ich kenne nur die Vervollständigung mittels Cauchyfolgen und die Konstruktion aus Dedekind'schen Schnitten. Beide würde ich nicht als algebraisch bezeichnen.

--129.206.197.208 15:24, 24. Jan. 2009 (CET)

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Die Summe An*x^n sollte laut Artikel in eine Summe von Linearfaktoren zerlegt werden können. Auf der rechten Seite steht aber dann immer x^n also müsste doch An = 1 sein. Sonst stimmt der Satz denk ich nicht.

Fehler im Satz?

Derzeit im Artikel

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Sei

$P(z)=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\cdot z^{n}$

ein nicht konstantes Polynom vom Grad $k\in \mathbb {N}$ mit komplexen Koeffizienten, d.h. $a_{n}\in \mathbb {C}$, mindestens ein $a_{n}$ ist von Null verschieden und n ist größer Null.

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... ist nicht eher k ist größer Null gemeint? --Abdull 15:48, 9. Jun 2006 (CEST)

Natürlich, aber wenn man n als Summationsindex und k als Grad nimmt, ist so eine Verwechslung wohl vorprogrammiert. Horrorist 21:21, 9. Jun 2006 (CEST)

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Anderer Fehler?

In allen Formeln zu diesem Satz müssten die Summation- und Multiplikationsindizes eigentlich bei 1 statt bei 0 beginnen, oder? Ansonsten ist ein "konstantes Polynom" immer mit inbegriffen. Fabolu 23:00, 12. Aug 2006 (CEST)

Sie sollen schon bei 0 beginnen, sonst wäre der "Satz" ja trivial. Dass das "Polynom" allerdings keine Konstante sein soll, steht zweimal explizit da: nicht konstantes Polynom vom Grad $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 1$. Das ist natürlich wichtig. --Floklk 13:12, 13. Sep 2006 (CEST)

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Rein algebraischer Beweis?

Zitat: "Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat"- Ist das noch ein rein algebraischer Beweis, wenn der Zwischenwertsatz benutzt wird? Gk63 17:37, 19. Dez. 2007 (CET)

Gilt historisch als solcher. Dass der Zwischenwertsatz etwas Fundamentales über reelle Zahlen und stetige Funktionen aussagt, wurde erst Mitte-Ende des 19. Jh. bewußt, der Beweis stammt vom Anfang des 19. Jh. Nebenbei: In der Algebra werden reell abgeschlossene Körper definiert, indem man gerade diese Eigenschaft fordert, dass ungeradgradige Polynome immer eine Nullstelle im Körper besitzen; neben der Eigenschaft, dass keine Summe von Quadraten den Wert -1 annehmen kann. Also könnte man pur algebraisch sagen, dass jedes Polynom mit rationalen Komponenten über dem reell algebraischen Abschluss von Q in lineare und irreduzible quadratische zerfällt.--LutzL 08:58, 20. Dez. 2007 (CET)

Der Beweis von Gauß ist jetzt um Beweisvarianten ergänzt, die seine algebraische Natur deutlicher hervortreten lassen: Anstelle des "Zwischenwertsatzes" wird in Wahrheit nur benötigt, dass Polynome ungeraden Grades reelle Linearfaktoren abspalten. Das kann man durchaus als "etwas rein Algebraisches" verstehen. Die Topologie wird nicht wirklich benötigt, auch wenn zu Gauß' Zeiten dies die einfachste Argumentation war. Dennoch kann ich gut damit leben, dass in der Überschrift der Zwischenwertsatz erwähnt wird. Schließlich war er wesentliche Zutat, als dieser Beweis und seine Grundidee geprägt wurde. --Filomusa (Diskussion) 19:53, 7. Dez. 2022 (CET)

Dennoch benutzt der Beweis den Zwischenwertsatz der Analysis. Historisch hin oder her. Ich ändere den Titel mal. --129.206.197.83 17:19, 26. Jan. 2008 (CET)

Beweis

Zum Thema: Nach Konstruktion ist C sogar ein globales Minimum. Wäre C positiv, so wäre die reziproke Funktion ...

C wird als Betrag des des Minimums definiert. Dann wird über Liouville gezeigt, dass C nicht größer Null sein kann, da sonst f konstant wäre. Also wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss, also f eine Nullstelle hat.

Hier mein Problem: Seit wann kann der Betrag einer Funktion kleiner als Null sein? Irgendwo muss der Beweis doch hinken?! Mir ist schon klar, dass man den Betrag nehmen muss, um überhaupt eine Ordnungsrelation <> im Komplexen zu erhalten. Aber trotzdem kann der Betrag doch nicht kleiner 0 sein? (nicht signierter Beitrag von 95.117.133.176 (Diskussion) 14:39, 15. Aug. 2011 (CEST))

Nein, es wird nicht gefolgert, dass C kleiner Null sein muss. "Nicht positiv" ist entweder negativ oder gleich Null. Letzteres führt zur Nullstelle.--LutzL 11:02, 16. Aug. 2011 (CEST)

Wo wird gefolgert, dass C kleiner 0 sein muss? Es wird lediglich gesagt, dass C nicht größer als 0 sein kann. Da aber C>=0, folgt daraus C=0 und damit die Existenz einer Nullstelle. --mfb 11:37, 16. Aug. 2011 (CEST)

Abschnitt: Polynome mit rein reellen Koeffizienten

Im Moment steht da:

[...] Es gilt aber: Ist $w$ eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes ${\bar {w}}$ eine Nullstelle von P. Da

$(z-w)\cdot (z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})\cdot z+w\cdot {\bar {w}}$

ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten ist, lässt sich folgern: Jedes reelle Polynom lässt sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]

Ich finde, man könnte ruhig in der Formel deutlich machen dass es reelle Koeffizienten sind. Wenn man noch nicht so in der Thematik steht sieht man es evtl. nicht sofort. Außerdem finde ich die Folgerung noch nicht ganz logisch. Ein Vorschlag von mir wäre so, für meine Begriffe verständlicher formuliert:

[...] Es gilt aber: Ist $w$ eine nichtreelle Nullstelle von P, so ist auch ihr Konjugiertes ${\bar {w}}$ eine Nullstelle von P. Dabei werden $w$ und ${\bar {w}}$ je als einfache Nullstelle gezählt. Das lässt sich in faktorisierter Schreibweise des Polynoms durch die beiden Linearfaktoren $(z-w)(z-{\bar {w}})$ ausdrücken. Gleichwertig dazu ist die Darstellung als Polynom zweiten Grades mit reellen Koeffizienten:

$(z-w)(z-{\bar {w}})=z^{2}-(w+{\bar {w}})z+w\cdot {\bar {w}}=z^{2}-2\operatorname {Re} (w)\cdot z+|w|^{2}$

Daraus folgt im Umkehrschluss, dass sich jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert [...]

Ist das mathematisch sauber formuliert, und stimmt die Referenz zu Gauß so noch? --Haffael (Diskussion) 16:50, 29. Nov. 2013 (CET)

Zustimmung, dein Vorschlag ist ausführlicher und ich halte ihn deshalb für besser. -- HilberTraum (Diskussion) 20:19, 29. Nov. 2013 (CET)

Ok, ist eingetragen. --Haffael (Diskussion) 13:15, 2. Dez. 2013 (CET)

Ich hatte ein Problem mit a) "Dabei werden $w$ und ${\bar {w}}$ je als einfache Nullstelle gezählt." Das ist entweder eine Nullaussage, da vorher schon gesagt wurde, dass beide Nullstellen sind, oder falsch, wenn sie keine einfachen Nullstellen sind. Ich habe das zu "Nullstellen gleicher Vielfachheit" geändert. b) "Gleichwertig dazu ist die Darstellung als Polynom..." das hat viel zu viel Ballast für die einfache Feststellung, dass das Produkt der Linearfaktoren ausmultipliziert wird. Je nach philosophischer Grundeinstellung wird ein Produkt von Linearfaktoren schon als Polynom angesehen, oder, IMO seltener, als eine Konstruktionsvorschrift für ein Polynom.--LutzL (Diskussion) 15:41, 2. Dez. 2013 (CET)

Artikelaufteilung

ME sollte der Artikel aufgeteilt werden, der Beweisteil ist so umfangreich, dass er einen Artikel verdient. Der Ursprungsartikel hier wäre übersichtlicher und könnte noch etwas erweitert werden. (zB Verallgemeinerungen) Zu den Beweisen könnte ich bei Gelegenheit noch einen Beweis beisteuern, der nur mit Linearer Algebra geführt wird. (Muss ich mal raussuchen.) --Frogfol (Diskussion) 14:46, 17. Feb. 2014 (CET)

Hallo, @Frogfol:, an dem Beweis mit Mitteln der linearen Algebra wäre ich interessiert, neugierig wie ein Flitzebogen. --Filomusa (Diskussion) 14:26, 19. Jun. 2021 (CEST)

Literaturteil

In der Literatur stehen Arbeiten, die eigentlich in Fußnoten gehören. Die Literatur ist für weiterführende Literatur gedacht, vorzugsweise neuere Literatur, nicht wo sich Originalbeweise befinden. Und gerade hier ist wichtig, auf welche Beweise hier Bezug genommen wird. Nicht einfach pauschal "van der Waerden", in neueren Ausgaben ist der Beweis nicht zu finden.... etc. Und was soll die Literaturangabe "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung (DMV), (1952, Band 55, siehe gdz.sub.uni-goettingen.de oder resolver.sub.uni-goettingen.de (PDF), abgerufen am 30. Mai 2021), darin die Buchbesprechung Heinrich Brandts auf PDF-Seite 178." sein, eine Rezension von was ? Soll man da jetzt immer nachgucken ? Der Name Brandt muss dann auch vorne stehen, wenn er die Rezension verfasst hat. Aber wie gesagt so was gehört nicht in die Literatur.--Claude J (Diskussion) 11:37, 2. Jun. 2021 (CEST)

Ah, das geht an mich, Hallo Claude J. Also der Reihe nach:

Stichwort "Literatur": Ich habe noch nicht alle normativen Anweisungen für Wikipedia gelesen. Also ging ich davon aus, dass man unter Literatur aufführen kann, was weiterführend ist und worauf sich der Artikel stützt. Nach meinem bisherigen Verständnis ist nicht falsch, auch Originalliteratur zu nennen, zumal, wenn es, wie hier, um eine Art Überblick über die Beweis und ihre Geschichte geht. Warum soll Originalliteratur unerwünscht sein, frage ich mich. Und wenn ja, wo darf sie denn sonst verlinkt werden? Hilf mir gerne mit freundlich aufbauenden Hinweisen, wie ich das künftig WP-konformer machen kann. :-)

"Was soll die Literaturangabe?" Klingt so empört ... :-) Natürlich soll sie Interessierten helfen, die Aussagen des Artikels zu verifizieren oder zu vertiefen. In diesem Falle geht es doch genau um die Rezension die V. d. Waerden bewogen hat, sein Buch umzutaufen. Diese Rezension kannst Du im Internet nachlesen. Ich halte das für eine werthaltige Information.

"Soll man da jetzt immer nachgucken?" Nein, nur wenn Du Interesse hast, versteht sich. Aber wenn Du meinst, es genügt, dass dieser Hinweis in Fußnote selbst steht, dann können wir das gerne löschen.

Ich habe ein paar Dinge diesbezüglich geändert. Kommt Dir das entgegen?

Nichts für ungut. Ich habe mir Mühe geben wollen. --Filomusa (Diskussion) 19:46, 17. Jun. 2021 (CEST)

Zunächst mal stammen (Stand vom März) nicht alle von mir kritisierten Einträge im Literaturteil von dir und meine vielleicht etwas harsch klingenden Worte waren auch nicht speziell auf dich gemünzt, da ich das vorher auch nicht nach Autoren aufgeschlüsselt habe und das auch für kontraproduktiv halte. "Geärgert" habe ich mich, wenn du es so ausdrücken oder herausgehören haben willst, zunächst vor allem über die Zitierweise von Brandt im Literaturteil (für korrekte Zitierweisen siehe z.B. Wikipedia:Literatur), wenn man mal davon absieht dass das doch wohl eher nichts im Literaturteil zu suchen hat da zu speziell. Was die Form und Inhalt des Literaturteils betrifft. Lies einfach mal unvoreingenommen aus dem Blick eines mit dem Inhalt nicht vertrauten Durchschnittslesers den Literaturteil durch und vergleiche ihn mit dem was in Wikipedia:Literatur steht: "Es werden die wissenschaftlich maßgeblichen Werke sowie seriöse, möglichst aktuelle Einführungen aufgeführt. Eine beliebige oder möglichst lange Auflistung von Büchern ist nicht erwünscht. Die Werke müssen sich mit dem Thema des Lemmas selbst befassen und nicht mit verwandten, allgemeineren oder spezielleren Themen." Deine Einfügungen sind teilweise viel zu speziell, für so was sind Fussnoten da und werden bei dir ja auch dafür genutzt. Für Originalarbeiten etwa noch aus dem 19. Jahrhundert kann man im Übrigen einen eigenen Unerabschnitt bilden, eben mit dem Hinweis auf Originalarbeiten (so wird in einigen anderen Artikeln verfahren), das beträfe hier wohl vor allem Gauß und Weierstraß, die standen im Übrigen schon vor deiner Bearbeitung da. Bei Gauß bietet es sich an gleich die Werkausgabe (Band 3) zu zitieren, die ja bei der sub göttingen online ist (siehe die im Artikel Carl Friedrich Gauß aufgeführten Schriften), und die online leicht zu findende Ausgabe von Ostwalds Klassikern (E. Netto (Hrsg.), Die vier Gaußschen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen..., Leipzig 1890, siehe Artikel Carl Friedrich Gauß, Abschnitt Übersetzungen), letztere hat im Übrigen auch den Vorteil in deutscher Sprache zu sein und nicht in Latein. Eine ganze Reihe älterer Bücher (Harzheim, Weyl, Jordan.., anscheinend über Literatur die van der waerden in seiner Algebra angibt) aber auch neuerer Bücher (Milnor) sind bereits in Fussnoten angegeben und brauchen nicht extra in der Literatur aufgeführt zu werden. Auch Artin/Schreier könnte in die fussnoten (eventuell nach Erweiterung des Haupttextes, oder bist du damit fertig oder kommt da noch was zu Artin/Schreier ?) und ist wohl teil der literatur, die du nach van der waerden in deiner fussnote 4 angibst, wobei die genaue Aufschlüsselung was van der Waerden in seiner älteren Algebra an Literatur erwähnt den Durchschnittsleser wohl eher verwirrt und zu sehr in die Details geht, ebenso solche Bemerkungen wie dass van der waerden eine falsche Jahreszahl in einer Literaturstelle angibt, wohl ein Druckfehler. Bei der Zitierung von van der Waerdens Algebra sollte im Übrigen immer vollständig zitiert werden (Anfang von fussnote 4 und im haupttext einfach nur unter van der waerden). Nebenbei existiert zu van der Waerdens Algebra ein eigener Artikel Moderne Algebra, die ausführliche Darstellung zu den Neuerungen im Vergleich etwa zu Webers altem Lehrbuch in Fussnote 1 ist da schon thematisiert und ist hier eigentlich nur eine Seitenbemerkung.--Claude J (Diskussion) 05:59, 18. Jun. 2021 (CEST)

Wenn ich mir die Bemerkung erlauben darf: So klingt das schon wesentlicher kooperativer und konstruktiver, Danke. Ich betone das deshalb, weil die deutsche Wikipedia schon dafür bekannt ist, wie ruppig der Ton gelegentlich ist. Es kostet nicht viel, auf ironische, rhetorische Fragen wie „Was soll (denn) …“ oder „Soll man da jetzt immer …“ einfach zu verzichten, egal ob das auf einen Menschen gemünzt ist oder nicht. Man sorgt mit solchen Formulierungen nicht gerade für Teamgeist und fördert damit nicht die Bereitschaft, sich einzubringen. Ein Dank ist sogar auch mal angebracht. Schließlich habe ich ja nicht nur Mist gemacht, oder siehst Du das so? Das sage ich wohlwissend, dass Du schon sehr lange bei Wikipedia Dich mit vielen Artikeln verdient gemacht hast. – Gerne können wir einen Unterabschnitt Originalarbeiten einführen, auch wenn die Abgrenzung im Einzelfall schwierig werden könnte. Übrigens finde ich Latein kein Ausschlusskriterium: Es wird Menschen geben, die daran Interesse haben und dankbar für solche Links sind. – Tatsächlich beabsichtige ich, noch dies und das zu ergänzen. Das wird aber noch ein wenig dauern. Ich finde im Übrigen nicht, dass Leser verwirrt sind, wenn sie weiterführende Literatur unter Literatur finden (wie zum Artin/Schreier). Der Artikel hängt ja ganz klar mit mit dem Fundamentalsatz der Algebra zusammen. – Was Zitieren betrifft, habe ich gelernt, dass man auch Druckfehler zitieren sollte, um dann klarzustellen, was gemeint ist. Damit ist die Verwirrung nicht hergestellt, sondern beseitigt. Ferner ist für denjenigen, der den Literaturhinweis verifizieren möchte, der Hinweis, dass der Beweis nur bis zu x. Auflage zu finden ist, absolut notwendig, um Verwirrung zu vermeiden. Unterschätzen wir doch bitte nicht die Leserschaft. Das ist meine Sicht darauf. – Zur Frage der Trennung zwischen Fußnoten und Literatur: Ich werde also noch mal in den von Dir angegeben Link schauen, was dort zur Abgrenzung steht. Ich habe in anderen Artikeln durchaus gesehen, dass es Überlappungen gibt, und halte das auch nicht für abwegig. – Vielen Dank für den link auf Moderne Algebra, das ist gut zu lesen, und darauf könnte ja verwiesen werden. Ich schaue mal, welche Deiner Anregungen ich demnächst umsetzen kann. --Filomusa (Diskussion) 13:01, 18. Jun. 2021 (CEST)