Diskussion:Geodätischer metrischer Raum

Quellenangaben?

Ich bin nicht sicher, ob der Begriff in dieser Form auch in der anerkannten Literatur über metrische Räume auftaucht. Willi Rinow beispielsweise gibt in seiner Monographie Die innere Geometrie der metrischen Räume (Springer, Berlin 1961) den Begriff, soweit ich sehe, nicht an . Rinow behandelt zwar Räume mit innerer Metrik (a.a.O. S. 121 ff) und dann eine Theorie der Kürzesten (a.a.O. S. 140 ff) und darin auch Geodätische (a.a.O. S. 164 ff), aber den Begriff Geodätischer metrischer Raum habe ich dort nicht vorgefunden. Bei einer Suche im Netz bin ich dann auf diesen Artikel von S. B. Myers (Trans. Amer. Math. Soc. 57, (1945), S. 217–227) gestoßen und dazu auf das zugehörige Review MR0011792. Bei einer solchen Quellenlage ist mir etwas unwohl. Denkbar ist allerdings, dass der Begriff L. M. Blumenthals Distance geometries (s. Fußnote auf S. 217 in dem Artikel von Myers) entstammt, welche ich leider nicht einsehen kann.Schojoha (Diskussion) 16:13, 21. Dez. 2012 (CET)

In der Literatur über allgemeine metrische Räume spielt der Begriff vermutlich keine größere Rolle (gibt es überhaupt aktuelle Forschungsliteratur zu diesem Thema?), in der Forschung zu CAT(0)-Räumen, Gromov-hyperbolischen Räumen etc. wird man aber problemlos Hunderte aktuelle Belege für die Verwendung des Begriffes "Geodesic metric Space" finden. Vgl. etwa http://en.wikipedia.org/wiki/CAT(k)_space oder http://books.google.de/books/about/Metric_Spaces_of_Non_Positive_Curvature.html?id=3DjaqB08AwAC&redir_esc=y als Sekundärquellen neben der eigentlichen Forschungsliteratur. --Suhagja (Diskussion) 17:26, 21. Dez. 2012 (CET)

Gut. Also ist vermutlich Bridson / Haefliger Metric spaces of non-positive curvature (ISBN 3-540-64324-9) passend. Ganz ohne Belege sollte der Artikel nicht sein. Schojoha (Diskussion) 18:45, 21. Dez. 2012 (CET)

Hab ich jetzt erstmal verlinkt. --Suhagja (Diskussion) 19:48, 21. Dez. 2012 (CET)

Gegenbeispiel

Den Abschnitt 'Gegenbeispiel' finde ich nicht gelungen.
Wozu soll das denn ein Gegenbeispiel sein?
Zur Vermutung jeder metrische Raum sei automatisch geodätisch?
Da aus der Definition unmittelbar folgt, dass ein geodätischer metrischer Raum wegzusammenhängend sein muss, wäre hier bereits ein metrischer Raum mit zwei Elementen ein Gegenbeispiel.
(Seitenbemerkung: Wäre es nicht sinnvoll, die triviale Erkenntnis 'geodätisch -> wegzusammenhängend' im Lemma zu vermerken?).
Oder soll die Vermutung jeder wegzusammenhängende metrische Raum sei geodätisch widerlegt werden?
Abgesehen davon, dass das dann auch formuliert sein sollte, wird der Leser des Lemmas diese Vermutung nach der Lektüre des Satzes von Hopf-Rinow wohl kaum haben.
Eventuell könnte der Leser nach Lektüre des Satzes die Vermutung haben, jeder vollständige wegzusammenhängende metrische Raum sei automatisch geodätisch.
Dafür ist der angegebene Raum allerdings kein Gegenbeispiel, da nicht vollständig.
Hier bietet sich eher die Teilmenge der komplexen Zahlen vom Betrag 1 an. Mit der Betragsmetrik ist das ein vollständiger (sogar kompakter) wegzusammenhängender metrischer Raum, der nicht geodätisch ist. Allerdings gibt es eine äquivalente Metrik auf dieser Menge, bezüglich der der Raum geodätisch ist.

Wirklich interessant wäre wohl ein vollständiger wegzusammenhängender metrischer Raum, auf dem es keine äquivalente Metrik (also eine die gleiche uniforme Struktur erzeugende Metrik) gibt, bezüglich der der Raum geodätisch wird. Keine Ahnung, was die Literatur dazu sagt.

Ich kenne mich mit Riemannschen Mannigfaltigketen nicht aus. Aber kann es sein, dass die angegebene Menge $X$ ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist, bei der die Betragsmetrik gerade mit der oben definierten Metrik für Riemannsche Mannigfaltigkeiten übereinstimmt? Dann wäre der Raum ein Beispiel, der zeigt, dass im Satz von Hopf-Rinow der Fall 'nicht geodätisch' (äquivalent zu 'nicht vollständig') tatsächlich vorkommt. Falls das die Intention des Gegenbeispiels ist, sollte der Abschnitt entsprechend überarbeitet werden.--Stephan2802 (Diskussion) 15:35, 12. Aug. 2018 (CEST)

Das Beispiel zeigt, dass nicht jeder wegzusammenhängende Raum geodätisch ist. Das ist eine naheliegende Frage, die man sich beim Lesen der Definition als Erstes stellen wird. Und es handelt sich um ein Beispiel, das jeder Leser sofort verstehen wird.

Der Verweis auf den Satz von Hopf-Rinow ist da schon wesentlich anspruchsvoller, weil man bei einem Artikel über metrische Räume nicht voraussetzen kann, dass Leser sich mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten auskennen.--Godung Gwahag (Diskussion) 15:16, 18. Dez. 2018 (CET)

Kurve versus Weg

Mir ist weiterhin aufgefallen, dass im Lemma konsequent der Begriff 'Kurve' verwendet wird, für etwas, was nach Wikipedia-Definition eigentlich ein Weg ist. Das Lemma Kurve bezeichnet ja das Bild eines Weges als Kurve, weist allerdings auch darauf hin, dass die beiden Begriffe gelegentlich vermischt werden und ist im folgenden da auch eher ungenau. Ich schlage vor, in diesem Lemma den Begriff 'Kurve' (mindestens einmal) durch 'parametrisierte Kurve' zu ersetzen, was nach dem Lemma 'Weg' ein Synonym für 'Weg' ist, und dabei auf das Weg-Lemma zu verlinken. --Stephan2802 (Diskussion) 20:57, 13. Aug. 2018 (CEST)

Ist erledigt.--Godung Gwahag (Diskussion) 15:24, 18. Dez. 2018 (CET)