Diskussion:Gerichtete Menge

• Es stellt sich natürlich immer die Frage, wie man Definitionen handhabt:
  • "Eine gerichtete Menge ist ein geordnetes Paar $(X,{\models })$..." finde ich ziemlich abschreckend, zumal man ja dann formal korrekt auch nicht mehr "Element einer gerichteten Menge" sagen darf, und "Element der zugrundeliegenden Menge einer gerichteten Menge" ist absurd.
  • "Eine gerichtete Menge ist eine Menge zusammen mit einer Relation..." so würde ich es schreiben
  • "Eine Richtung auf einer Menge ist eine Relation..." geht leider hier nicht

Das Erklären einer Relation ist halt kein mathematischer Vorgang.

Sind die Bedenken noch aktuell (finde die Zitate nicht)? Ich bin mir nicht sicher, da ich in der "Metamathematik" nicht bewandert bin, aber bisher dachte ich erklären sei ein Synonym für definieren. Nun weiss ich nicht, ob definieren ein mathematischer Vorgang ist... Wie würdest Du es denn ausdrücken?

Das waren keine Zitate, sondern Beispiele, wie man es ausdrücken kann. Das ist teilweise auch einfach eine Geschmacksfrage. "Erklären" ist in diesem Zusammenhang durchaus synonym zu "definieren". Mein Punkt war eher, dass die Menge halt nicht gerichtet ist, sondern nur die Menge zusammen mit der Relation. Aber die Formalisierung davon als geordnetes Paar ist halt auch unanschaulich. Ist immer ein schwieriger Punkt.-- Gunther 20:44, 10. Apr 2005 (CEST)

Ein schwieriger Punkt ist es in der tat. Ich habe die Schreibweise aus LA-Literatur übernommen, ein Vektorraum ist formal ja auch ein x-Tupel, wenn man die ganzen Verknüpfungssymbole mitschleppt. Ich denke so wie es im Moment ist, sind keine Missverständnisse zu befürchten. Wenn dir was besseres einfällt, lasse es mich wissen. Auch eine Vereinheitlichung mit anderen Artikeln ist sicherlich wünschenswert.--K6 01:10, 11. Apr 2005 (CEST)

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• Was "suggeriert" die Schreibweise $x_{1}\models x_{2}\models \ldots$? Für mich ist das eine Kurzschreibweise für

$x_{1}\models x_{2}\land x_{2}\models x_{3}\land \ldots$

Das eben eine Bewegung in eine Richtung stattfindet, aber die $\{x_{i}\}$ können alle gleich sein, und, darauf bin ich selbst hereingefallen, das eine antisymmetrie gegeben ist. Aber in der Tat, die Formulierung ist verbesserungsfähig -- bin dran.

Ah, das mit der Bewegung habe ich nicht verstanden. Solltest Du expliziter machen.-- Gunther 20:44, 10. Apr 2005 (CEST)

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• Eine Stärke der Netzkonvergenz liegt darin, dass ein Netz "mehr" Glieder haben kann als eine Folge; man sollte irgendwo erwähnen, dass die anschauliche Erklärung in diesem Punkt versagt.

Guter Punkt. Vielleicht ist es aber besser dies im Artikel Netz (Topologie) zu eröffnen. Diesen wollte ich sowieso überarbeiten, bei der gelegenheit auch die Beispiele anpassen -- im Moment gehören die doch eher zur Netzkonvergenz als zu gerichteten Mengen.

Man könnte noch "kleine" Beispiele erwähnen, z.B. eine dreielementige Menge mit $1\triangleleft 3$ und $2\triangleleft 3$. Ist für kategorielle Limites irgendwie relevant.

siehe nächsten Punkt--K6 01:10, 11. Apr 2005 (CEST)

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• $\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$ kommt mir übertrieben vor. Dieser Begriff braucht keine komplexen Zahlen.

Wollte den Begriff "auf Rho gerichtet" loswerden, wo denn sonst, wenn nicht hier?

Vielleicht ist es aber wirklich besser R hinschreiben und C in klammern dazu setzen?

Für die Zwecke des Beispiels "ist" ja jeder $\mathbb {C} ^{n}$ ein $\mathbb {R} ^{N}$.-- Gunther 20:44, 10. Apr 2005 (CEST)

Einigen wir uns auf eine generelle Überarbeitung der Beispiele, Bereinigung von der Netzkonvergenz (verschieben nach Netz (Topologie)), Bebilderung. Damit kann man die Anschauung deutlich besser vermitteln, und die Oma-Verträglichkeit wird erhöht.--K6 01:10, 11. Apr 2005 (CEST)

Begriff "Richtung"

Gibt es die Bezeichnung "Richtung" für die auf der gerichteten Menge erklärte Relation tatsächlich? Sie ist mir noch nie begegnet. Auch der englische Artikel kennt keine entsprechende Bezeichnung. Querenburg gibt der Relation ebenfalls keinen Namen. Deshalb habe ich den Verdacht, dass es sich hier um Begriffsfindung handelt. Zumal der Artikel auch keine Quellen nennt. -- Digamma 20:58, 28. Jan. 2011 (CET)

Heuser nennt sie "Richtung", im ersten Teil seines Analysis-Zweibänders. --K6 21:24, 17. Dez. 2012 (CET)

Quellenangabe und Literatur soeben ergänzt. --K6 (Diskussion) 17:53, 2. Dez. 2015 (CET)

Anschauliche Deutung

• Das was unter "Anschauliche Deutung" steht ist doch trivial, da man wegen der Reflexivität auch $x_{0}=x_{1}=x_{2}=...$ wählen kann. 91.4.31.8 20:04, 15. Dez. 2008 (CET)

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• Die "Anschauliche Deutung" verstehe ich auch nicht ganz.
• Die Motivation, die mir persönlich mehr hilft, ist die folgende: Nicht jede Ordnungsrelation ist linear (wird gelegentlich auch als "total" bezeichnet). Der entsprechende Begriff wird hier http://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Lineare_Ordnung_.28Totalordnung.29 sehr gut erläutert. Die Frage ist nun, ob es einen schwächeren Begriff als "linear" gibt. Gibt es zwischen "linear" (was ein relativ starker Begriff ist, der viel fordert) und "gar nichts" noch irgend einen dazwischen liegenden Begriff? Hier eignet sich der Begriff der gerichteten Menge ganz gut. Das Erwartete gilt dann auch: Jede lineare Menge ist auch gerichtet.
• Das Axiom (R3) interpretiere ich für mich so: Gegeben $x$ und $y$, so liefert mir eine lineare Ordnung $x\leq y$ oder $y\leq x$. Bei einer gerichteten Menge habe ich das nicht immer, aber ich kann zumindest immer ein $z$ finden, das größer(gleich) $x$ und $y$ ist.

Einverstanden. Es sollte jetzt aus der Einleitung des Artikels jetzt klar werden, dass Gerichtete Mengen Verallgemeinerungen von linearen Ordnungen sind. --K6 (Diskussion) 17:53, 2. Dez. 2015 (CET)

• Ich würde der Anmerkung weiter oben zustimmen, dass eine Darstellung im Kontext der Netzkonvergenz hilfreich wäre, denn das war historisch meines Wissens der Grund, warum man eine gerichtete Menge überhaupt eingeführt hat. Die Deutung als Richtung ist, meiner Meinung nach, ex-post hinzugekommen. Wie das Beispiel der Potenzmenge schön zeigt, ist die Vorstellung einer konstruierten, linearen Richtung nicht ganz unproblematisch. Ebenso zeigt es das triviale Beispiel mit der einpunktigen Menge, die auf triviale Weise eine gerichtete Menge ist, ohne aber der Anschaung der Richtung zu entsprechen (da sie nur ein Element hat).

Einverstanden. Verweis auf Netzkonvergenz eingebaut. --K6 (Diskussion) 17:53, 2. Dez. 2015 (CET)

• Cleca (Diskussion) 14:21, 8. Apr. 2012 (CEST)

Anschauliche Deutung ist Blödsinn

Also ich muss hier meinen Vorrednern von vor einigen Jahren recht geben. Das, was hier als anschauliche Deutung im Artikel steht, hat man bereits durch die Reflexivität. Es hat also nichts mit der gerichteten Menge zu tun, man kann tatsächlich immer genau das gleiche Element nehmen und kommt keinen Schritt weiter (daher ist auch jede einelementige Menge gerichtet). Den Abschnitt sollte man am besten komplett löschen. Hat jemand was dagegen? --Jobu0101 (Diskussion) 09:05, 15. Jun. 2012 (CEST)

Zustimmung. --Digamma (Diskussion) 09:45, 15. Jun. 2012 (CEST)

Gesagt getan. --Jobu0101 (Diskussion) 09:57, 15. Jun. 2012 (CEST)

Hat, im Nachhinein, auch meinen Segen. --K6 (Diskussion) 17:53, 2. Dez. 2015 (CET)

Einleitung

Hallo K6, mit dem ersten Satz der Einleitung

Gerichtete Mengen bezeichnen in der Mathematik eine Verallgemeinerung der nichtleeren, vollständig geordneten Mengen.

kann ich nicht viel anfangen. Inwiefern sind gerichtete Mengen eine Verallgemeinerung? Und warum vollständig geordnete Mengen? Vollständigkeit spielt doch hier gar keine Rolle. Meinst du vielleicht linear bzw. total geordnet? Gruß, --Digamma (Diskussion) 18:10, 2. Dez. 2015 (CET)

Ich meine in der Tat total-geordnet, werde es gleich korrigieren. Besten Dank --K6 (Diskussion) 18:17, 2. Dez. 2015 (CET)