Diskussion:Gleichung von Euler-Fuß

Frage zu $\rho$ in den Formeln

• Im Buch von Julian Lowell Coolidge A Treatise on the Circle and the Sphere, Seite 46 unter Theorem 57 (S. 45), Fig. 7 sind die Formeln
  

$\left(OA_{1}'\right)^{2}+\left(OA_{3}'\right)^{2}=\rho ^{2}$

${\frac {1}{(r-d)^{2}}}+{\frac {1}{(r+d)^{2}}}={\frac {1}{\rho ^{2}}}$

Unter Theorem 58 steht die Formel

${\frac {1}{(r+d)^{2}}}+{\frac {1}{(r-d)^{2}}}={\frac {1}{\rho ^{2}}}$

die m. E. gleich ist wie die in Theorem 57...

• Im Artikel steht unter Darstellung der Gleichung: ...so dass ${\mathcal {K}}_{\rho }\;(\rho \in \{r,R\})$ den Radius $\rho$ besitze.

Meine Frage:

Was muss man jeweils unter $\rho ^{2}$ bzw. unter $\rho$ verstehen?

Mit Gruß Petrus3743 (Diskussion) 11:45, 26. Jul. 2017 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher, worauf Du hinaus willst. Jedenfalls kann ich sagen, dass ich - soweit ich mich noch erinnere - die Bezeichnungen vertauscht habe, weil bei Wahl von Groß-R und Klein-R gleich klar ist, welcher Kreis welchen anderen umfasst, nämlich der mit dem größeren Radius den mit dem kleineren Radius. Bei Klein-R und Rho muss man sich dies immer erst einen Moment lang überlegen.--Schojoha (Diskussion) 19:14, 26. Jul. 2017 (CEST)

Nachtrag: Das Rho zudem als Variable zu nehmen, war vielleicht wirklich nicht so geschickt. Hab es daher geändert und nun Klein-s anstelle Rho genommen.--Schojoha (Diskussion) 19:28, 26. Jul. 2017 (CEST)

Schojoha, deine Änderungen in der Formel, bezüglich großer Radius $R$ und kleiner Radius $r$, sind für die Konstruktion sehr hilfreich, bravo!

Leider habe ich noch nicht verstanden, was der Hinweis auf „...so dass ${\mathcal {K}}_{s}\;(\rho \in \{r,R\})$ den Radius $s$ besitze” bedeutet. Muss ich mir darunter einen Kreis ${\mathcal {K}}_{s}$ mit dem Radius $s$ in der Konstruktion vorstellen, wenn ja, wo?

Wo ich noch deine Hilfe brauche, ist bei der folgenden Formel von Julian Lowell :

$\left(OA_{1}'\right)^{2}+\left(OA_{3}'\right)^{2}=\rho ^{2}$

Ich nehme an $\left(OA_{1}'\right)$ und $\left(OA_{3}'\right)$ sind Strecken.

M. E. ist hier $\rho$ nicht der Radius $r$ des Inkreises ${\mathcal {K}}_{r}$, denn setzt man die nachfolgenden Werte des konvexen Vierecks ein

${\sqrt {\left(1.38279035283163\right)^{2}+\left(0.0966913752094629\right)^{2}}}=1,38616679440972>r=0.957588173650371\;$

ergibt es nicht $r.$

Anscheinend zeigt die Formel die Anwendung des Satzes des Pythagoras von einem Dreieck mit den Seiten ${\overline {OA'_{1}}},\;{\overline {OA'_{3}}}$ und $\rho$. Wäre diese Annahme richtig, welchen Zweck würde dann dieses Rho ($\rho$) erfüllen?

Die Werte aus der Konstruktion des konvexen Vierecks:

$R$ = 1,6

mit dem gewählten Punkt $A_{4}$ ergibt sich:

$r$ = 0,957588173650371

$d$ = 0,527667975377676

${\overline {OA'_{1}}}$ = 1,38279035283163

${\overline {OA'_{3}}}$ = 0,0966913752094629

Nachrechnung des Inkreisradius $r$:

${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

$={\frac {1}{(1,6+0,527667975377676)^{2}}}+{\frac {1}{(1,6-0,527667975377676)^{2}}}=1,090542140949082$

$r={\sqrt {\frac {1}{1,090542140949082}}}=0,957588173650371\;\;\;\Rightarrow$ i.O.

Übrigens:

Es kann $R$ oder $r$ nach Belieben gewählt werden.

Mit der Vorgabe „$R$ und $r$ sind gegeben” ist nur eine Näherungskonstruktion, aber keine (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal möglich!

Sollte ich einen diesbezüglichen Hinweis in den Artikel einarbeiten?

--Petrus3743 (Diskussion) 19:03, 27. Jul. 2017 (CEST)

@Petrus3743: Ich kann Dir im Augenblick leider nicht weiterhelfen, denn ich habe Coolidges Buch nicht mehr im Zugriff. Daher kann ich auch nicht mehr sagen, was „(OA)“ u.ä. bedeutet. Coolidges Bezeichnungen sind jedenfalls nicht immr mit den modernen identisch, wie ich noch weiß.

Zu dem Hinweis „...so dass ${\mathcal {K}}_{s}\;(s\in \{r,R\})$ den Radius $s$ besitze” : Ich hätte statt „so dass“ auch „wobei“ schreiben können. Die Indizierung ist an sich unwesentlich, so lange nur klar ist, welcher Kreis welchen Radius hat. Ich habe es nun noch einmal verdeutlicht.

Weiter zu der Näherungskonstruktion: Wenn es so ist, sollte zumindest eine entsprechende Fußnote erscheinen.

Wenn ich mehr sagen kann, melde ich mich noch einmal.

--Schojoha (Diskussion) 20:22, 29. Jul. 2017 (CEST)

@Schojoha: Vorerst ein Dankeschön für deine Bemühungen und für die gut nachvollziehbare Korrektur. Gruß Petrus3743 (Diskussion) 20:42, 29. Jul. 2017 (CEST)

Das Buch von Coolidge findet man auch archive.org online: [1] --Kmhkmh (Diskussion) 19:56, 31. Jul. 2017 (CEST)

Beweis für die Behauptung der Term $r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$ ergibt immer eine irrationale Zahl

Im Artikel habe ich unter Anmerkungen im letzten Punkt aufgeführt: „Das Ergebnis für ${\mathcal {d}}$ ist aufgrund des Terms $r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$ eine nicht konstruierbare irrationale Zahl ...”. Leider reichen meine mathematischen Kenntnisse nicht mehr aus um darin einen kurzen Beweis dieser Behauptung zu ergänzen. Vielleicht kann mich ein Mitstreiter dabei unterstützen. Für das Interesse und die Bemühungen ein Dankeschön im Voraus. Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 00:41, 31. Jul. 2017 (CEST)

@Petrus3743: Noch ein paar Hinweise:

1) Zur Deiner letzten Anmerkung: Du solltest im Artikel die Quelle exakt zitieren.

2) Ich habe mich bei dem Artikel auch von den beiden Büchern von Heinrich Dörrie leiten lassen. Wenn Du Gelegenheit hast, da mal zu schauen, würden sich vielleicht einige Deiner Fragen von selbst erledigen.

3) Der hiesige Artikel überschneidet sich erheblich mit dem Artikel Satz von Fuss. Vielleicht solltest Du auch Kmhkmh in die Diskussion einbeziehen.

4) Zur Zeit beschäftige ich mich mit anderen Themen, komme also nicht so bald dazu, auf Deine Fragen einzugehen.

--Schojoha (Diskussion) 18:46, 31. Jul. 2017 (CEST)

Ich habe die Anmerkung vorläufig gelöscht, da so etwas in WP nicht geht bzw. gegen Projektregeln verstößt. Man hier nicht Aussagen oder Schlüsse einpflegen, die man vermutlich für richtig hält. Grundsätzlich gilt:

• Nur inhalte einpflegen, die in dieser Form auch in externer reputabler Literatur zu finden sind.
• Wenn man den Inhalt einer Quelle bzw. einer Literaturstelle nicht vollständig versteht oder unsicher ist, dann sollte man sie nicht in WP einpflegen, da in einem solchen Fall das Fehlerpotenzial hoch ist. WP soll gesichertes Wissen abbilden.

Persönlich sehe ich zudem viele Inhalte zur Konstruierbarkeit im klassischen griechischen Sinne eher skeptisch. Zwar ist die Konstrierbarkeit historisch wichtiges Thema und gehört natürlich ausführlich in den zugehörigen Artikeln behandelt. Aber ansonsten ist die Konstruierbarkeit, sowie auch auf ihr basierende Konstruktionsverfahren, eher Randthema und zudem für Normalleser eher obskur. Insofern muss man sich gut überlegen, inwieweit entsprechende Abschnitte in Artikeln, die zunächst nichts mit Konstruierbarkeit zu tun haben, angemessen sind. Enzyklopädische Artikel sollten sich primär auf die aus heutiger Sicht wichtigen Aspekte eines Themas konzentrieren und nicht beliebige unter Umständen eher obskur wirkende mathematischen Fakten zu einem Thema anhäufen. Die Auswahl relevanter Inhalte aus der unendlichen Menge mathematischer Fakten zu einem Thema ist schließlich ein entscheidender Aspekt des enzyklopädischen Schreibens.

Natürlich sind Hinweise zur Konstruierbarkeit legitim, wo das Thema auch entsprechend prominent in der Literatur behandelt wird. Auch hängt es natürlich von Umfang und Thema des betroffenen Artikels ab. Aber man sollte immer im Auge haben, welche Bedeutung der Konstruierbarkeit oder einer Näherungskonstruktion im Vergleich zu den anderen Aspekten eines Themas zukommen und sich fragen, ob es in der (großen) Mehrheit der Darstellungen eines Themas in der Literatur eine Rolle spielt oder nicht.--Kmhkmh (Diskussion) 19:36, 31. Jul. 2017 (CEST)

@Schojoha und Kmhkmh:

Danke für die Hinweise und vielen Dank für die erklärenden Worte. Pardon, das war von mir offensichtlich nicht richtig, diese Behauptung ohne Beweis oder Quelle in den Artikel zu schreiben. Ich bin jetzt im Zweifel ob der von mir eingebrachte Abschnitt Konstruktion des konvexen Vierecks eine Bereicherung für den Artikel ist. Solltet ihr der Meinung sein er ist keine Bereicherung, habe ich kein Problem den Abschnitt aus dem Artikel zu nehmen. --Petrus3743 (Diskussion) 20:16, 31. Jul. 2017 (CEST)

Ich das wieder raus genommen. Das ist zwar eine schöne Konstruktion, aber ich sehe keinen wirklichen inhaltlichen Bezug zum Artikel.--Kmhkmh (Diskussion) 21:00, 2. Aug. 2017 (CEST)

Hallo @Petrus3743! Ergänzend zu dem, was Kmhkmh schrieb, will ich folgendes sagen: Wie es scheint, ist die Konstruktion Dein eigenes Werk, also ohne Quelle. Sowas ist in der Wikipedia ohnehin grundsätzlich gemäß dem Theoriefindungsverbot nicht zulässig. Zulässig wäre aber eine Skizze der Herleitung der Gleichung gemäß Coolidge und/oder Dörrie - etwa so wie die entsprechende Herleitung im Artikel Satz von Euler (Geometrie)!--Schojoha (Diskussion) 23:27, 6. Aug. 2017 (CEST)

Servus @Schojoha,

ja, wenn es mein eigenes Werk ist, aber ohne Quelle wäre, dann hättest du recht, aber ... Wenn es dir möglich ist folge dem Link den [2], den Kmhkmh auch schon weiter oben eingetragen hat. Siehe auf Seite 46 und vergleiche bitte die darin enthaltene Fig. 7 mit der Konstruktionsbeschreibung und der Zeichnung Stand. 30. Juli 2017, sie ist gemäß Coolidge. Um den Abstand ${\mathcal {d}}$ zu bestimmen, ist aber zusätzlich die Konstruktion einer Winkelhalbierenden erforderlich, z. B. mittels der Strecke ${\overline {BA_{4}}}$ (Beleg "Südpolsatz" eingetragen). Das Einssehen in die Bücher von Dörrie ist mir leider nicht möglich. M. E. hat @Kmhkmh die Konstruktion zurecht entfernt, weil es im Artikel nur um die Darstellung der Gleichung geht. --Petrus3743 (Diskussion) 23:21, 7. Aug. 2017 (CEST)

Servus @Schojoha,

habe eine Skizze „der Herleitung der Gleichung gemäß Coolidge“ eingefügt. Ich hoffe sie entspricht deinen Vorstellungen. Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 08:44, 16. Apr. 2019 (CEST)

Moin @Petrus3743! Habe die Skizze grade erst gesehen. Sieht gut aus. Vielen Dank! --Schojoha (Diskussion) 18:07, 18. Apr. 2019 (CEST)

Illustration

Irgendwie scheint die neue Illustration ein ähnliche Probleme aufzuwerfen wir in der Diskussion eins weiter oben.

• a) Was soll das Bild hier für Leser in Bezug auf die Gleichung von Euler-Fuss illustrieren?
• b) Wenn man die Größen in der Gleichung illustrieren will, sollte das anhand eine allgemeinen Sehnentangentenvierecks geschehen und nicht anhand eines Drachenvierecks.
• c) Welche Information soll "Näherungskonstruktion" hier für Leser liefern? Spielt es für die Illustration der Größen eine Rolle ob die Konstruktion "exakt" oder eine "Näherungskonstruktion" ist? Doch wohl eher nicht.
• d) Näherungskonstruktion soll sich wohl auf die antiken Konstruktionsprobleme mit Zirkel und Lineal beziehen, aber sofern das nicht in der Literatur explizit in diesem Zusammenhang diskutiert wird, erscheint mir das hier thematisch eher fehl am Platz.

--Kmhkmh (Diskussion) 21:58, 23. Feb. 2021 (CET)

Servus Kmhkmh,

nun, so neu ist die Illustration nicht, sie wurde bereits am 12. April 2019 eingearbeitet und fünf Tage später vom Hauptautor mit Dank angenommen.

• Zu a): M. E. macht es Sinn dem Leser, egal ob Mathematiker oder mathematisch Interessierter, in dem Artikel − in dem mehrfach von einem konvexen Viereck bzw. bizentrischen Viereck gesprochen wird − dies anhand eines Bildes zu verdeutlichen.
• Zu b) Ja, könnte man, aber auch im verwendeten Drachenviereck sind doch alle Größen und auf was es dabei ankommt gut erkennbar; siehe hierzu 4. EN Julian Lowell Coolidge.
• Zu c) Die Ergänzung im Bild (Näherungskonstruktion) ist erforderlich wegen des Eintrags in Anmerkungen über die Konstruierbarkeit.
• Zu d) Schade, da bin ich leider anderer Meinung. Diese kurz und bündige Information, dass dieses Viereck und warum es nicht konstruierbar ist, halte ich für wichtig. Im Artikel Satz von Fuss ist in Weblinks ein Link der zu einem Skript von Paul Yiu: Euclidean Geometry Notes führt. Darin beschreibt er eine − so wie ich es lese − Neusis-Konstruktion des bizentrischen Vierecks.

Ich ersuche dich, auch meine Beweggründe, als ehemaliger Konstrukteur, ein wenig zu verstehen. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 02:02, 24. Feb. 2021 (CET)

Ja, eine Illustration selbst macht schon Sinn, aber mMn. diese eben eher nicht. Im Normalfall sollte man bei Illustration von Größen immer den allgemeinen Fall illustrieren und keinen Spezielfall, in diesem Sinne ist das Drachenviereck eher ungeeignet. Zudem besteht keine Notwendigkeit die Illustration der Gleichung mit dem antiken Problem Konstruierbarkeit zu verknüpfen.

Ich verstehe auch nicht wo hier ein Neusis-Konstruktion benötigt oder verwendet wird, weder bei Coolidge noch Yiu ist von Neusis die Rede und die Konstruktion bei Yiu ist eine normale Zirkel-und-Lineal-Konstruktion (im Sinne der antiken Konstrierbarkeit). Dementsprechend sehe ich auch nicht, was hier nicht konstruierbar sein soll (ebenso wenig warum die Wurzelausdrücke in der Gleichung nicht konstruierbar wären), die entsprechende Aussage im WP-Artikel ist ohne Beleg und ist soweit ich das auf den ersten Blick auch falsch. Wenn Coolidge spricht übrigens von der Konstruierbarkeit des Sehnentangentenvierecks, wobei dabei aber Wohl Konstrierbarkeit in Sinne von Existenz gemeint ist und es sich nicht auf Konstruierbarkeit im Sinne von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen bezieht.

Im Übrigen ist der eigentliche Gag bei Yiu's Konstruktionsproblem, die Konstruktion des inneren Kreises. Hat man den, so kann man einen beliebigen Punkt auf ihm wählen und dort die Tangente einzeichnen, was dann immer zu einem Sehnentangentenviereck führt. Bei den Spezialfall des Drachenvierecks landet man nur, wenn man den Punkt P, den schon man zur Konstruktion des inneren Kreises konstruiert hat, dann auch als den Punkt auf ihm wählt (anstatt eines beliebigen Punktes.--Kmhkmh (Diskussion) 05:15, 24. Feb. 2021 (CET)

Danke Kmhkmh, für deinen Hinweis. Jetzt sehe ich es auch: Yiu's Konstruktionsproblem ist keine Neusiskonstruktion. Ich hatte übersehen, dass der kleine Radius gesucht ist ... Da mir dieser Schnitzer passiert ist, nehme ich deinen Vorschlag an und werde ein Sehnentangentenviereck für die Veranschaulichung der Größen verwenden.erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 13:41, 24. Feb. 2021 (CET) Die erforderlichen Korrekturen sind bereits erledigt.Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:05, 24. Feb. 2021 (CET)

Servus Kmhkmh, zu deiner Aussage:

• „Dementsprechend sehe ich auch nicht [...] warum die Wurzelausdrücke in der Gleichung nicht konstruierbar wären [...] ist ohne Beleg und ist soweit ich das auf den ersten Blick auch falsch.“

möchte ich doch Stellung nehmen. Ein einfaches Beispiel:

$R=2$ und $r=1$ ergibt nach dem Satz von Fuss

$d={\sqrt {2^{2}+1^{2}-1{\sqrt {4\cdot 2^{2}+1^{2}}}}}=0.936426384\ldots$

Ich sehe in diesem Beispiel für $d$ keine Konstruierbarkeit. Eine Denksportaufgabe wäre nun, Faktoren für $R$ und/oder $r$ zu finden, deren Produkte $R_{2}$ bzw. $r_{2}$ ein konstrierbares $d$ liefern. Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:11, 25. Feb. 2021 (CET)

Das Beispiel ist konstruierbar (siehe [3]). Allgemein sind solche verschachtelten Wurzelausdrücke immer konstruierbar, da Wurzeln aus konstruierbaren Zahlen konstruierbar sind und die Summe/Differenz oder Produkt/Division zweier konstruierbarer Zahlen ebenfalls konstruierbar ist. Somit erübrigt sich dann auch die Denksportaufgabe.--Kmhkmh (Diskussion) 14:50, 25. Feb. 2021 (CET)

Danke für die Lösung. Ja, genau, Ähnliches habe ich auch schon gemacht, siehe;-) Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 16:41, 25. Feb. 2021 (CET)