Diskussion:Hauptachsentransformation

30.08.2006

Wäre es im Sinne der Lesbarkeit nicht sinnvoll, auf Frakturschrift zu verzichten und Vektoren bzw. Matrix als solche zu kennzeichnen? In modernen Büchern sieht man diese Schreibweise nur noch selten. Bin mir nicht ganz sicher, aber war das vielleicht eine deutsche Spezialität, die zu Gunsten einer international einheitlichen Schreibweise aufgegeben wurde?

Ich meine du hast recht. Die Frakturschrift wird heutzutage bei Vektoren und Matrizen kaum noch verwendet und ist auch in der Wikipedia nicht unbedingt üblich. Ich denke es spricht nichts dagegen das zu ändern.--Falk 20:16, 26. Jun. 2007 (CEST)

Ist ebenfalls meine Meinung, dass man keine Frakturschrift mehr verwenden sollte. --M.enderess 15:08, 4. Aug. 2007 (CEST)

Ja, sieht gut aus! --M.enderess 01:36, 16. Aug. 2007 (CEST)

Englische Bezeichnung?

Könnte jemand, der sich damit auskennt, bitte einen passenden en:-Verweis einbauen? --85.180.167.226 09:58, 19. Sep. 2007 (CEST)

Die englische Uebersetzung ist 'principal axis transformation', aber den Artikel scheint es noch nicht zu geben. --Prolineserver 11:45, 19. Sep. 2007 (CEST)

Habe noch en:Principal axis theorem gefunden, aber das ist nicht 100%-ig das gleiche, also besser kein Interwikilink. --Prolineserver 11:56, 19. Sep. 2007 (CEST)

Principal component analysis heisst auf deutsch doch "Hauptkomponentenanalyse", und der Artikel gibt es. http://de.wikipedia.org/wiki/Karhunen-Lo%C3%A8ve-Transformation --MrNightLifeLover 17:40, 7. Okt. 2008 (CEST)

Der Link auf die PCA ist total unsinnig. Das ist nicht dasselbe 77.2.152.232 23:38, 19. Sep. 2012 (CEST)

Herkunft des Names

Ich vermute, dass der Name aus der Mechnik kommt, halt von den Hauptachsen (Hauptträgheitsachse) des Trägheitsellipsoids. Kann das jemand belegen?

--Marc van Woerkom 14:32, 21. Sep. 2007 (CEST)

Es hängt auf jeden Fall damit zusammen, belegen kann man das aber wohl kaum. Die Trägheitstensoren werden durch HAT berechnet (bzw. können berechnet werden). Der Abschnitt dazu kommt noch morgen oder übermorgen. --rdb? 00:45, 29. Sep. 2007 (CEST)

Noch einiges zu überarbeiten

Liebe Autoren,

da ich nicht daran schuld sein möchte, wenn der Artikel infolge meiner Einmischung im Schreibwettbewerb unter den Erwartungen bleiben sollte, gebe ich meine Hinweise nur hier, auf der Diskussionsseite.

• Wo wird $m$ definiert, was bedeutet es?
• Wenn Vektoren mit Pfeilen gekennzeichnet werden, dann sollte das konsequent geschehen, also auch beim Vektor $b$.
• Unter Teile einer Formel geschweifte Klammern zu setzen, ist in einem Vortrag an der Tafel sicher sinnvoll. Bei einem Fachartikel jedoch, an dem ich beteiligt war, hatten die Gutachter ihr Mißfallen geäußert.
• In den Formeln (1)–(3) gab es keine Minuszeichen, und die Koeffizienten sollten reell sein. Wie paßt das zum Rest?
• Daß die Elemente der Matrix $A$ mit $a_{ij}$ bezeichnet werden, wird üblicherweise kürzer mit $A=(a_{ij})$ ausgedrückt. Dann könnte die Zeile mit Gleichung (5) schöner aussehen.
• Wenn $O$ eine beliebige reguläre Matrix ist, wird die Aussage $O^{T}AO=D\iff A=ODO^{T}$ i. allg. falsch sein, selbst wenn $D$ als Diagonalmatrix vorausgesetzt wurde. Statt des Transponiert-Zeichens müßte "-1" stehen.
• Eine allgemeine Geraden- oder Ebenenformel liegt bei $\alpha x+\beta y+\gamma z=0$ nicht vor, wenn $\alpha ,\beta ,\gamma >0$ gefordert wird.
• Der Verweis auf "Eigenvektor" wird weiter zu "Eigenwertproblem" umgeleitet. Das finde ich nicht gut.

Trotz allem wünsche ich viel Erfolg. Herzliche Grüße von Gandalf Mithrandir 15:15, 21. Sep. 2007 (CEST)

• µ wird in Gl. 4 als reelle Zahl definiert. Die Bedeutung kommt auf die Fläche an, im Extremfall einer Geraden (z.B. x+3=0) ist µ der y-Achsen-Abschnitt. Ob es eine allgemeine Bedeutung gibt, kann ich grad nicht sagen.
• Vektorpfeile sind vollständig rausgenommen
• Klammern sind überall beseitigt, waren entbehrlich
• Wo genau ist das Problem? Evtl. mit der "Umformulierung" des Abschnitts "Verschiebung" geklärt?
• a_ij: übernommen. Den ganzen Artikel OMA-tauglich zu schreiben ist wohl hoffnungs- (und sinn-)los
• richtig, für Q^T=Q^-1 braucht es eine orthonormale Matrix, wurde aber schon von P. Birken korrigiert
• auch richtig, außerdem war γ nicht definiert -> korrigiert
• allerdings beginnt der Artikel zu Eigenwertproblemen gleich mit der Definition des Eigenvektors. Der andere Artikel könnte sicher überarbeitet werden, aber es dürfte schwer werden, EW und EV sowie EW-/EV-Probleme in jeweils separaten, unabhängigen Artikeln zu beschreiben. Das wäre aber auf jeden Fall eine sehr zeitaufwändige Aktion, die eher weniger mit diesem Artikel hier zu tun hat. --rdb? 02:06, 28. Sep. 2007 (CEST)

Hiho, die weitere Anmerkungen auf Wikipedia:Review/Schreibwettbewerb/Sektion1#Hauptachsentransformation hast du gesehen? --P. Birken 16:36, 28. Sep. 2007 (CEST)

Ja, hatte ich schon gesehen, werd mich heut abend drum kümmern. Danke, rdb? 16:54, 28. Sep. 2007 (CEST)

Trotz der hübschen Bilder und der Überarbeitung bin ich noch nicht zufrieden:

• Das Problem in den Gln. (1)–(3) besteht darin, daß alle Summanden Quadrate reeller Größen und damit positiv sind. Somit werden z. B. Hyperbelgleichnungen ausgeschlossen. Meine Frage nach $m$ zielte nicht auf µ ab.
• Vor Gleichung (6): $y:=O^{T}x$ – Hier mußte $O$ durch $Q$ ersetzt werden. (Habe ich selbst erledigt.)
• Vorgehen, Verschiebung: Der Term ${\frac {z_{i}^{2}}{({\frac {1}{\sqrt {\lambda _{i}}}})^{2}}}$ ist nur für $\lambda _{i}>0$ definiert.
• Vorgehen, Drehung: Die Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert brauchen nicht orthogonal zu sein, müssen also noch orthogonalisiert werden. Vgl. dazu das Beispiel!
• Klassifizierung: Eine allgemeine Geraden- oder Ebenengleichung muß auch Fälle wie $x=const$ gestatten, d. h. hier muß auch der Vorfaktor 0 erlaubt werden. Nur wenn alle Koeffizienten vor $x,y,z$ verschwinden, wird es trivial.
• Beispiel: Die Eigenvektoren $v_{2}$ und $v_{3}$ sind nicht orthogonal. Deshalb ergibt $QQ^{\top }$ auch keine Einheitsmatrix.

Frohes Schaffen, Gandalf Mithrandir 09:00, 30. Sep. 2007 (CEST)

Schreibwettbewerb-Review (Archivierung)

Hauptachsentransformation

nominiert von rdb

Zumindest vom unverständlichen und unvollständigen Zustand von vor dem 1.9. sollte der Artikel wegkommen. Zu Geschichte und Anwendung werde ich demnächst mal die Kataloge der mir zugänglichen Bibliotheken durchsehen, ein paar Bilder für die Flächen wird es auch noch geben. Weitere Anregungen? --rdb? 21:07, 14. Sep. 2007 (CEST) dann gibts auch nen matheartikel in der naturwissenschaften-und-mathe-kategorie...

Vielleicht gehts nicht einfacher, aber schon die Einleitung ist für jemanden ohne Grundstudium Mathematik unverständlich. --Uwe G. ¿⇔? ^RM 23:00, 15. Sep. 2007 (CEST)

Dachte ich mir schon. Bin auch erst noch am Zusammentragen, dann schau ich mal, ob man das noch allgemeinverständlicher ausdrücken kann. Wenn das nicht geht, gehts halt nicht, wäre auch nicht so dramatisch, die Aktion war ohnehin nur ein Zufallsprodukt beim Klausurlernen ;) --rdb? 23:39, 15. Sep. 2007 (CEST)

Kleine Anmerkung: Ich würd die Pfeile über den Vektoren weglassen, die machen das Ganze nur unnötig schwierig zu lesen. Es ist auch ohne klar, dass etwa in $x^{T}Ax+b^{T}x+\mu =0$ keine Skalare transponiert werden. Nebenbei: weshalb beschränkt sich der Artikel auf euklidische Räume? Mit hermiteschen Matrizen ist das Ganze ja afaict auch in unitären Räumen durchführbar. Viele Grüße, —mnh·∇· 10:23, 19. Sep. 2007 (CEST)

Zu den Pfeilen siehe Mnh. Die Bezeichnung O fuer eine orthogonale Matrix ist IMHO eher unueblich, auch wegen Verwechslungsgefahr mit 0. Diese Matrix der Eigenvektoren ist uebrigens nicht selbstverstaendlich orthogonal, die Eigenvektoren muessen erst normiert werden, das habe ich mal korrigiert. Ansonsten ist die Bezeichnung Drehmatrix fuer D eher unueblich. Es ist eine Diagonalmatrix und die dreht ja erstmal nichts. Eine Drehmatrix in diesem Sinne ist sie also schonmal nicht. Dann noch einige Anmerkungen:

i) Den Satz mit der Physik in der Einleitung finde ich komisch. Der wesentliche mathematische Schritt an der Trafo ist die Aehnlichkeitstransformation auf Diagonalform. Wenn Physiker also das synonym setzen (Quelle?) dann tuen Mathematiker das tendenziell erst recht. ii) Diese Nummerierung der Gleichungen sollte rausgenommen werden. Das laesst sich auch anders loesen und erschwert eigentlich nur das Lesen, bzw. ist ein Zeichen von Autorenfaulheit ;-) iii) Ich denke der Artikel lebt von den Anwendungen, erwaehnenswert ist vielleicht noch die Mechanik, wo die Trafo zur Berechnung der Hauptspannungen verwendet wird. Wobei das vielleicht doch eher dort erwaehnt werden koennte.

Ansonsten noch viel Spass! --P. Birken 16:41, 21. Sep. 2007 (CEST)

Zum Physikerkommentar (ich hatte darauf bestanden, dass irgendein Hinweis drin bleibt, früher war es ein BKL-Kasten): Der Begriff wird vor allem im Zusammenhang mit der Diagonalisierung des Trägheitstensors verwendet, genügend Quellen finden sich bei Google-Suche nach diesen zwei Wörtern, Beispiel: „Nun stellt der Trägheitstensor, wie bereits oben festgestellt, eine positiv definite quadratische Form im Raum der Winkelgeschwindigkeiten dar. Wie jeden Tensor können wir ihn durch eine Hauptachsentransformation, also durch geeignete Wahl des körperfesten Bezugssystems in Diagonalform bringen.“ von dieser Seite. Und nun will der Physikstudent im Grundstudium dieses Wort nachschlagen und wird schon im ersten Satz mit Hyperflächen und Karhunen-Sonstwas, von denen er je nach Mathevorlesung nie gehört hat, erschlagen, obwohl es ihm doch nur um triviale Umformungen in der Mechanik geht. Deshalb denke ich weiterhin, dass ein BKL-Kasten sogar die bessere Wahl wäre, aber auf jeden Fall irgendein Verweis erhalten bleiben muss. Traitor 18:07, 28. Sep. 2007 (CEST)

• Die Vektorpfeile sind raus, haben sich ohnehin nicht mit den hochgestellten transponiert-Zeichen vertragen. Ja, das Ganze ginge wohl auch in unitären Räumen, nur ist mir das bisher nicht untergekommen. Mal sehen, vielleicht kommt das noch rein, wenn die Zeit reicht.
• "O" hatte ich aus dem Uni-Skript und einigen Lehrbüchern übernommen, gegen "Q" hab ich aber auch nichts ;)
• Zum "Physikerkommentar": Ich hatte den zwischendurch auch schon rausgenommen, weil ich ihn für entbehrlich hielt, und der Meinung bin ich immer noch, auch wenn ich keine Zeit hatte, mich darum zu kümmern. Die von Traitor angegebene Quelle zeigt gerade, dass der Begriff "HAT" eben nicht identisch ist mit einer Matrixdiagonalisierung: "Wie jeden Tensor können wir ihn durch eine Hauptachsentransformation, also durch geeignete Wahl des körperfesten Bezugssystems in Diagonalform bringen" (Hervorhebung durch mich). Es wird also eine HAT durchgeführt. Die hat nunmal den Nebeneffekt, dass dadurch eine Diagonalmatrix entsteht, der in dem Fall (wie auch anderen, s. Anwendungen->Minkowski-Raum) eben ausgenutzt wird. Das wird aber nur deshalb ausgenutzt, weil man im neuen Koordinatensystem weiterarbeiten will; zum Diagonalisieren braucht man keine HAT. Ein diagonaler TT bringt mir nichts ohne ein passendes Koordinatensystem - oder habe ich mich gerade irgendwo verknotet? Mal sehen, vielleicht fällt mir eine passende Formulierung ein. Ich bin Physikstudent im Grundstudium ;)
• Zum Ersetzen der Gleichungsnummerierung bin ich heut zu faul, vielleicht noch moregn.
• Hauptspannungen sind im Rahmen der theor. Physik jetzt auch drin.

Danke auf jeden Fall schonmal, rdb? 00:01, 30. Sep. 2007 (CEST)

Die Wahl eines neuen, passenden Koordinatensystems entspricht doch gerade der Umformung von Matrix/Tensor auf Diagonalform, Basiswechsel halt.

Jetzt habe ich auch die ausführlichen Physikbezüge im Anwendungs-Abschnitt gesehen. Aber alles, was davor steht, muss man doch überhaupt nicht wissen, um einen Trägheitstensor zu diagonalisieren. Also müsste man entweder die ganze Artikelstruktur umbauen, oder es bei einem Verweis am Anfang belassen. Traitor 01:56, 30. Sep. 2007 (CEST)

lineare Algebra?

Ich kenne die Hauptachsentransformation auch aus der linearen Algebra. Aber schon der erste Satz des Artikels scheint ein Widerspruch in sich zu sein, denn er spricht sofort von der zweiten Ordnung, was dann natürlich nicht mehr linear ist (oder irre ich mich?). Linear ist die Hauptachsentransformation vor allem im Zusammenhang mit der Hauptkomponentenanalyse. Dieser Artikel sollte meiner Meinung nach auch bereits vor dem Inhaltverzeichnis referenziert werden, das halte ich sogar für wichtiger als die Definition der Hyperfläche zweiter Ordnung (welche sogar auf den Artikel Hyperfläche ausgelagert werden könnte) --195.227.10.66 18:06, 29. Sep. 2008 (CEST)

Ja, die Grundlage bildet der Satz aus der linearen Algebra. Und dieser fehlt offenbar bislang in der WP, bzw. ist als Spektralsatz gleich auf Hilberträume ausgerichtet. Der "quadr. Teil" einer Quadrik liefert übrigens genau die symmetrische Matrix: $4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}={\vec {x}}^{\,T}\!\cdot \left({\begin{smallmatrix}4&3\\3&1\end{smallmatrix}}\right)\cdot {\vec {x}}$ Grüsse --Boobarkee 16:28, 29. Aug. 2009 (CEST)

Merkwürdige Vorgehensweise im Beispiel

Hallo,

da bei symmetrischen Matrizen, die Koeffizientenmatrix des Polynoms symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren immer orthogonal. Dass das hier nicht der Fall ist scheint daran zu liegen, dass ein Eigenwert die Vielfachheit 2 besitzt. Es seien $\lambda$ Eigenwerte und ${\vec {x}}$ Eigenvektoren. Denn $A({\vec {x}}_{\mu }+{\vec {x}}_{\nu })=A{\vec {x}}_{\mu }+A{\vec {x}}_{\nu }=\lambda _{\mu }{\vec {x}}_{\mu }+\lambda _{\nu }{\vec {x}}_{\nu }$ nur bei $\lambda :=\lambda _{\nu }=\lambda _{\mu }$ ergibt sich $A({\vec {x}}_{\mu }+{\vec {x}}_{\nu })=\lambda ({\vec {x}}_{\mu }+{\vec {x}}_{\nu })$. Denn $A({\vec {x}}_{\mu }+{\vec {x}}_{\nu })=\lambda ({\vec {x}}_{\mu }+{\vec {x}}_{\nu })$ funktioniert nur wenn zwei Eigenwerte identisch sind. Es ist ansonsten nicht erklärbar, dass nach dem 3 linear unabhängige Eigenvektoren gefunden wurden, durch das gram schmidtsche orthogonalisierungsverfahren ein vierter Vektor gefunden wird der auch Eigenvektor sein soll. Das funktioniert nur so, dass bei der Eigenwertbestimmung $\det(A-\lambda E)=0$ die zugehörige $\mathbb {R}$-lineare Abbildung von $A-\lambda E$ für bestimmte $\lambda$ einen Kern größer 1 aufweist, sodass Linearkombinationen von Eigenvektoren wieder Eigenvektoren sind. Dies ist aber nicht der allgemeine Fall, deshalb finde ich die Vorgehensweise im Beispiel unangebracht. Zumindest ein Hinweis sollte hin, dass die normierten Eigenvektoren normalerweise orthonormal sind. --Snake707 20:31, 3. Jan. 2010 (CET)

PS: Syntax fehler aus Diskussionsbeitrag entfernt --Snake707 20:34, 3. Jan. 2010 (CET)

Bin gerade über die gleiche Stelle gestolpert. Mich hat stutzig gemacht, dass aus einer nicht-orthogonalen Basis von Eigenvektoren mittels Gram-Schmidt wiederum eine Basis von Eigenvektoren zu Stande kommt, diesmal sollen die Eigenvektoren aber orthogonal sein. Mein Problem bei der Sache: Meines Wissens nach kann man sich nur dann sicher sein, aus einem Eigenvektor wieder einen Eigenvektor zu erhalten, wenn man ihn mit einem Skalar multipliziert. Dann aber ändern sich die Orthogonalitätseigenschaften nicht. Also entweder haben beide Basen die gleiche Orthogonalitätseigenschaft, oder eine der beiden Basen ist keine Basis aus Eigenvektoren. Wenn ich den Beitrag von Snake707 richtig verstanden habe, liegt hier ein Spezialfall vor, so dass hier das geht, was im allgemeinen Fall falsch ist. Meiner Meinung nach sollte das Beispiel so umgeschrieben werden, dass man nicht in diesen seltsamen Spezialfall rutscht, sondern gleich (ohne Gram-Schmidt) eine orthogonale Basis von Eigenvektoren erhält (siehe Beitrag von Snake707) und diese nur noch normieren muss.--KMic 09:18, 3. Sep. 2010 (CEST)

Habe nach einem Blick in den Artikel Eigenwertproblem meinen Denkfehler entdeckt: Nur Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Werde diese Begründung noch in das Beispiel einbauen und dann sollte es ok sein.--KMic 09:52, 3. Sep. 2010 (CEST)

Bilder

Hallo zusammen,

ich habe gerade die Funktion, die als Text unter File:Hauptachsentransformation1.png (rechts) als 3D-Bild erstellt (links). Ich weiß nicht, ob das 2D-Bild mehr informationen hat oder ob die 2D-Darstellung vorteile für den Artikel bringt, dir mir gerade entgehen. Falls das nicht so ist, bitte ich jemanden, der sich damit auskennt, mein neues 3D-Bild (File:Hypersurface-order-2.svg) in den Artikel einzubinden. Grüße, --Martin Thoma 12:11, 30. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin mir gerade gar nicht mehr sicher, ob das die gleichen Graphen sind.

In der Beschreibung von File:Hauptachsentransformation1.png steht:

Graph zu $f(x,y):x^{2}-4*x*y+y^{2}+10*x+y+12=0$

Als Bildunterschrift steht:

Graph zu $f(x,y)=x^{2}-4xy+y^{2}+1$

Wenn das zweite stimmt, dann ist es das gleiche, da ich von der zweiten Gleichung ausgegangen bin.

Grüße, --Martin Thoma 12:18, 30. Aug. 2012 (CEST)

Gerade habe ich auch die restlichen Bilder als 3D-Bilder erstellt:

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Grüße, --Martin Thoma 12:34, 30. Aug. 2012 (CEST)

Fehler Beispiel: Hyperboloid

Muesste in Schritt 5 lhs. = 0 und nicht 1 stehen?

Danke für den Hinweis. In der Ausgangsgleichung muss es schon ...=1 heißen, damit die Fläche ein Hyperboloid ist. --Ag2gaeh (Diskussion) 09:59, 1. Feb. 2016 (CET)

Fehler in Formel?

Es heisst bei "Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix"

$D=S^{T}AS$

müsste es nicht

$D=S^{-1}AS$

heissen? --89.150.30.82 17:56, 29. Sep. 2017 (CEST)

Bei der Hauptachsentransformation geht es nicht darum, eine Matrix zu finden, die bezüglich einer anderen Basis dieselbe lineare Abbildung beschreibt, sondern eine, die dieselbe Bilinearform beschreibt. Beim Basiswechsel von Bilinearformen treten aber nicht die Inversen, sondern die Transponierten der Basiswechselmatrix auf. --Digamma (Diskussion) 19:25, 29. Sep. 2017 (CEST)

Ergänzung: Die Basiswechselmatrix S ist hier orthogonal. Bei orthogonalen Matrizen ist die Inverse gleich der Transponierten ($S^{-1}=S^{T}$), deshalb macht es keinen Unterschied, ob hier $S^{-1}$ oder $S^{T}$ steht. Das wird im Text auch erläutert. --Digamma (Diskussion) 09:32, 30. Sep. 2017 (CEST)