Diskussion:Hilbertprogramm

Heißt es nicht Hilbert's Programm oder Hilberts Programm? Viele gruesse --DaTroll 12:55, 21. Nov 2004 (CET)

"Hilbert's Programm" gibt es nicht (Deppenapostroph), wenn dann englisch "Hilbert's program" mit nur einem "m". Hilberts Programm ist ein Redirect auf diesen Artikel, scheint auch laut Google etwas weniger Gebräuchlich zu sein. Man könnte das aber auch tauschen, ist mir wurscht, der Artikel sollte jedenfalls sowohl unter Hilbertprogramm als auch unter Hilberts Programm zu finden sein. -- D. Düsentrieb ⇌ 15:31, 21. Nov 2004 (CET)

OK. Viele Gruesse --DaTroll 17:33, 21. Nov 2004 (CET)

Peano-Axiome

Warum dieser Verweis hier? Ebensogut könnte man alle möglichen anderen Axiomensysteme verlinken. -- HWellmann 16:16, 5. Feb 2005 (CET)

1920

mir scheint die jahreszahl 1920 sehr unplausibel: simon singh schreibt in seinem buch ueber den fermats letzten satz, kapitel "die fundamente des wissens", einiges ueber das hilbertprogramm; die jahreszahlen liegen alle um 1900! der englische wikipedia-artikel nennt ebenfalls 1920 -- wer hat jetzt recht?

Ich denke, man darf das Hilbertprogramm (ein Forschungsprogramm) nicht mit Hilberts_Liste_von_23_mathematischen_Problemen verwechseln. Ersteres wurde um 1920 ausgearbeitet. DIe Liste mit den Problemen stammt aber bereits von einer Rede aus dem Jahr 1900. Vielleicht müsste man das noch klarer herausarbeiten? Weiss da jemand genaueres? 217.162.237.62 20:39, 28. Aug 2005 (CEST)

Das gewünschte Genauere habe ich schon in meinen letzten Korrekturen angegeben und besser plaziert.--Wilfried Neumaier 22:36, 29. Nov. 2006 (CET)

RAA

Die Aussage, die reductio ad absurdum (wenn gilt, dass wenn p, dann nicht p, dann gilt nicht p) setze das tertium non datur voraus, ist falsch.Michael Marquardt 21:21, 15. Mär 2006 (CET)

Doch, die Zweiwertigkeit ist wichtig da vom Widerspruch auf das (eine!) Gegenteil geschlossen wird. (Wenn aus A folgt B und nicht-B, dann gilt nicht-A.) --89.247.47.174 19:53, 10. Jul. 2007 (CEST)

Mengenlehre?

Woher kommt am Schluss des Artikels die Behauptung, die Mengenlehre sei aus dem Hilbertprogamm entstanden? Das ist grob falsch. Was hat der Autor dieser Behauptung wohl gemeint?--Wilfried Neumaier 19:43, 29. Nov. 2006 (CET)

Ist vielleicht die Axiomatisierung der Mengenlehre aus dem Hilbertprogramm entstanden? Zumindest wohl die Axiomatische Mengenlehre, insofern sie untersucht, welche mathematischen Aussagen unabhängig von den Axiomen der Mengenlehre sind. --Digamma 20:02, 14. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den Text vorläufig so korrigiert, dass es die formalisierte axiomatische Mengenlehre meint. Sie gibt es jedenfalls erst seit Skolem 1929, wobei ich nicht weiß, ob er vom Hilbertprogramm inspiriert war. Die heutige Formalisierung ist jedenfalls eine ganz andere als bei Skolem, auch schon bei Ackermann 1937, der mit Hilbert zusammenarbeitete. Die strenge Formalisierung gehört jedenfalls ins Hilbertprogramm, was ich am besten gleich einarbeite.--Wilfried Neumaier 21:50, 14. Jan. 2008 (CET)

2. Zitat?

Kennt jemand die Quelle für das zweite Zitat. Ich konnte sie bisher nicht ermitteln. Es scheint laut Artikel Intuitionismus eine Rückübersetzung aus dem Englischen zu sein; die dortigen Angaben haben mich aber nicht weiter gebracht.--Wilfried Neumaier 18:16, 14. Jan. 2008 (CET)

Hilbert vs. Intuitionismus?

„Hilberts Programm richtete sich auch gegen den Intuitionismus“… – das ist so nicht umstandslos richtig, denn indem Hilbert im Bereich der Methamathematik nur finite Methoden zulässt, erkennt er die Einwände der Intuitionisten ja gerade an. Sein Programm heißt doch im Kern: „Mit den Mitteln der Intuitionisten soll nachgewiesen werden, dass Mathematiker so argumentieren dürfen, wie sie es immer schon getan haben“. -- Peter Steinberg 01:28, 15. Jan. 2008 (CET)

Hilbert wollte die klassische Position bewahren, das ist eben nicht die intuitionistische. Sonst hätte er das anti-intuitionistische Boxer-Zitat nicht ausgesprochen. Zweifellos wollte er aber die klassisch-logische Position mit metalogisch-intuitionistischen Mitteln zeigen, was in der klassischen Logik auch funktioniert hat, laut einer Arbeit seines Mitarbeiters Wilhelm Ackermann. Kurz: Er kämpfte mit den Mitteln des Feindes (Intuitionismus) erfolgreich gegen den Feind. Man müsste die Sache also geschickter formulieren, dass kein Missverständnis entsteht. Ich werde es demnächst versuchen. Die alte Fassung war jedenfalls ganz missverständlich.--Wilfried Neumaier 02:21, 15. Jan. 2008 (CET)

Ich habe eben eine Umformulierung vorgenommen, die den Diskussionspunkt hoffentlich genügend klar stellt. Der Gegensatz zwischen dem Intuitionismus und der Hilbertschule ist an sich bekannt. Ich verweise zur Unterstreichung von Hilberts Anti-Intuitionismus noch auf einen Leitaufsatz zum Hilbert-Programm, wo er ausführlich gegen den Intuitionismus Stellung nimmt: Hilbert: Neubegründung der Mathematik, 1922, S 157-160. Dort nennt er S. 160 die Versuche von Brouwer einen "...Putschversuch mit alten Mitteln, der seinerzeit .... gänzlich mißlang und jetzt ... von vornherein zur Erfolglosikeit verurteilt ist".--Wilfried Neumaier 19:02, 15. Jan. 2008 (CET)

Genau so habe ich's gemeint. Natürlich wendet sich Hilbert scharf gegen die Intuitionisten, das wollte ich nicht bestreiten. Deine neue Formulierung gibt den Sachverhalt sehr deutlich wieder und ist eine große Verbesserung.

Trotzdem: Du meinst: „Er kämpfte mit den Mitteln des Feindes (Intuitionismus) erfolgreich gegen den Feind.“ – „mit den Mitteln des Feindes“: o.k. Aber „erfolgreich“: Wieso denn? In seinen Augen bestimmt nicht, denn das „Paradies, das Cantor uns geschaffen,“ lässt sich mit den Mitteln, die er für zulässig hielt, jedenfalls nicht verteidigen! Dass „die Mathematik“ Möglichkeiten gefunden hat, damit umzugehen – wie du weiter unter andeutest – ist die andere Seite.

Ich meine, dass das Verhältnis von Fehlschlag und Erfolg noch ein bisschen anders formuliert werden sollte. Ich denke weiter drüber nach. -- Peter Steinberg 00:21, 19. Jan. 2008 (CET)

Er kämpfte durchaus erfolgreich. Gerade das tertium non datur und die ganze klassische Aussagenlogik wurde als erstes als widerspruchsfrei nachgewiesen. Dort wurde der Intiuitionismus im Kern getroffen. Das sah Hilbert selbst als Erfolg und das gab seinem Programm starken Auftrieb. Ich bin nicht glücklich über die jetzige Einleitung, die das Negative herausstreicht und das Verhältnis von Fehlschlag zu Erfolg einseitig andersherum betont. Die finiten Methoden stehen bei Hilbert gar nicht so absolut im Vordergrund, so wie es jetzt erscheint. Der Artikel wird so nicht mehr neutral, was er doch sein sollte. Ich werde einen neutralen Vorschlag überlegen, der beides berücksichtigt.--Wilfried Neumaier 10:04, 19. Jan. 2008 (CET)

Ich habe den Einleitungssatz noch mal ein bisschen umformuliert, damit er nicht ganz so apodiktisch klingt; ich hoffe, so kannst du's akzeptieren. Denn auch von einem neutralen Standpunkt aus muss man sagen: Was Hilbert vorhatte, ist nachweislich nicht möglich.

@„Die finiten Methoden stehen bei Hilbert gar nicht so absolut im Vordergrund“ Was soll das heißen? Natürlich beruht sein ganzes Programm darauf, dass metamathematisch mit finiten Methoden gearbeitet werden soll, sonst gibt doch alles gar keinen Sinn!

@„Gerade das tertium non datur und die ganze klassische Aussagenlogik wurde als erstes als widerspruchsfrei nachgewiesen.“ - Nicht die Aussagenlogik und das tertium non datur, sondern als das tertium non datur als Satz der klassischen Aussagenlogik. Damit ist aber der Intuitionismus keineswegs „im Kern getroffen“: Wenn man voraussetzt, dass jede Aussage mit „w“ oder „f“ zu belegen ist, kommt natürlich dabei raus, dass A∨¬A eine wahre Formel ist. Probleme treten erst auf, wenn man unendliche Gegenstandsbereiche betrachtet, sind also nur in der Prädikatenlogik fassbar. (Zum Beispiel bei dem Schluss $\neg \forall x\,A\left(x\right)\,\rightarrow \ \exists x\,\neg A\left(x\right)$). Das Ziel war eine nachweislich widerspruchsfreie Begründung der klassischen Analysis – und die kann es halt nun mal nicht geben.

In diesem Zusammenhang: Was soll Lorenzen 1951 bewiesen haben? – Sicher nicht „die Widerspruchsfreiheit (…) und der klassischen Analysis“! Was er gezeigt hat (allerdings meines Wissens erheblich später) ist, dass sich wesentliche Teile der Analysis konstruktiv (und damit widerspruchsfrei) begründen lassen.

Aus weitere gute Zusammenarbeit. Peter Steinberg 17:33, 20. Jan. 2008 (CET)

Meinerseits steht einer guten Zusammenarbeit nichts im Wege. Wir werden uns sicher einigen. Ich beziehe mich bei dem Satz „Die finiten Methoden stehen bei Hilbert gar nicht so absolut im Vordergrund“ auf die ersten beiden programmatischen Schriften Hilberts: Axiomatische Denken (1918) + Neubegründung der Mathematik (1922). Beide sagen noch gar nichts von finiten Methoden. Daher gehören sie nicht zum "ursprünglichen" Programm. Ich denke gerade in einem neutralen Artikel sollte man auf Hilberts Original-Programm und die Quellen abheben. Die Zuspitzung auf finite Methoden entstand erst in folgendem Aufsatz: Die logischen Grundlagen der Mathematik (1923). Daher ist das ein sekundärer Aspekt, der im Artikel weiter unten zurecht erwähnt wird, aber nicht in die Hauptzeile gehört, sonst müsste man dort schon zu sehr differenzieren. Ich würde dort nur den Zusatz „mit finiten Methoden“ streichen, alles Übrige kann so bleiben.

Zu Lorenzen. Ich kenne ihn nicht näher und wollte nur die Aussagen im Artikel Paul Lorenzen zusammenfassen. Hier habe ich den Punkt Analysis offenbar zu sehr verkürzt. Das kannst Du gerne richtig stellen. Ich hoffe, dass aber das mit der verzweigten Typentheorie stimmt. Das würde auch klar auf Teile der Analysis deuten, weil die Typentheorie eine sehr eingeschränkte Mengenlehre ist, mit der man die ganze Analysis nicht begründen kann.--Wilfried Neumaier 10:52, 21. Jan. 2008 (CET)

Zum tertium non datur. Es gibt keine Probleme mit dem tertium non datur bei unendlichen Mengen. Das ist ein unbewiesenes Vorurteil des Intuitionismus, das man seltsamerweise immer wieder auftischt. Man kann in einer klassischen Prädikatenlogik mit unendlich vielen Individuen oder in der ZF-Mengenlehre mit dem tertium non datur keinen Widerspruch erzeugen. Schon 1921 bildete Emil Leon Post unendliche klassische Modelle. Und es wurde ja nicht nur die Aussagenlogik, sondern auch die klassische Prädikatenlogik erster Stufe, zu der die von Dir zitierte Formel gehört, als widerspruchsfrei nachgewiesen --Wilfried Neumaier 11:40, 21. Jan. 2008 (CET)

Also schön: Ich werde mir die Originaltexte wohl ansehen müssen. Das dauert natürlich ein bisschen. Inzwischen sollten wir uns bemühen, auch die Diskussion sachlich zu halten. „Seltsamerweise immer wieder aufgetischte Vorurteile“ für die Arbeit einer ganzen Wissenschaftsdisziplin finde ich keine angemessene Bezeichnung. Ich will ja nicht behaupten, dass ich wirklich neutral bin - ich habe bei Schütte und Lorenzen studiert - aber Sachlichkeit auf der Diskussionsseite ist m.E. die Voraussetzung dafür, dass auf der Artikelseite eine neutrale Darstellung rauskommt.

Zur Sache: Mit dem tnd in der Prädikatenlogik 1. Stufe ist es genauso wie mit dem in der Aussagenlogik: Man kann eine „klassische“ Logik formulieren, in der dieser Satz wahr ist, und man kann das so tun, dass diese Logik nachweislich widerspruchsfrei ist. Aber man kann in dieser Logik allein keinen einzigen mathematischen Satz formulieren. Dazu braucht man mengentheoretische Axiome. Und wenn die hinreichend stark sind, um die „übliche“ Mathematik darauf aufzubauen (z.B. ZFC oder NBG), hört es mit dem Beweis der Widerspruchsfreiheit auf. Richtig ist, dass es bis jetzt noch nicht gelungen ist, aus ZFC einen Widerspruch abzuleiten. Andererseits weiß man aber, dass sich ein Beweis für die Widerspruchsfreiheit grundsätzlich nicht führen lässt – es sei denn, man verwendet hierzu Schlussweisen die noch „mächtiger“ (und das heißt: noch weniger unmittelbar einleuchtend) sind als ZFC. Wenn ich nun auch polemisch werden wollte, würde ich sagen: „Die ganze ‚klassische‘ Mathematik beruht auf der Hoffnung, dass mit ZFC nichts schief geht“. Dass ist natürlich nicht die Wahrheit, die Lösung ist pragmatischer und komplizierter, und das stellst du ja auch weiter unten ganz gut dar.

Wie das mit Lorenzen und mit der verzweigten Typentheorie nun genau war, muss ist auch erst noch nachforschen.

-- Peter Steinberg 17:56, 22. Jan. 2008 (CET)

Das „aufgetischt“ bezieht sich nur auf das eine, oben konkret genannte Vorurteil des Intuitionismus, nicht auf den ganzen Intuitionismus, der ja ein berechtigtes Teilgebiet der klassischen Logik ist und sich mit dem konstruierbaren Teil der Mathematik befasst. Hilbert hat das Vorurteil übrigens selbst aufgetischt, ich habe es in einem seiner Aufsätze erst vor kurzem gelesen. Ich verstehe nicht, wer oder was ihn davon überzeugt hat, denn ich kenne kein Beispiel für ein Problem, das durch das tertium non datur bei unendlichen Mengen entsteht. Gäbe es eines, dann müsste man es in ZF aufzeigen können, andernfalls bleibt das Argument fiktiv und sticht nicht.--Wilfried Neumaier 21:22, 22. Jan. 2008 (CET)

Petzinger hat das hier in einem Essay S.90 und besonders S.95 sehr schön erläutert: Vergleich von Begriffs- und Urteilslogik. Die intuitinistische Forderung („a“) (Individuum (Element) plus Konstruktionsverfahren), liefert negiert kein Konstruktionsverfahren, der Urteilsschluß von ${\bar {a}}$ auf $o$ ist nicht möglich. Die Voraussetzungen sind aber auch nicht allgemein. --Room 608 14:19, 23. Jan. 2008 (CET)

Finitheit

Der neu angebrachte Link zur Finitheit bringt keinerlei Informationen, was hier im Zusammenhang mit dem Hilbert-Programm unter finit gemeint ist. Es wäre wohl besser, dies hier im Artikel genauer zu klären und auf Hilberts eigene Angaben zu verweisen.--Wilfried Neumaier 14:26, 8. Mai 2008 (CEST)

Artikel Layout

Ich finde das Layout etwas unschoen. Die Einleitung sagt zwar alles wichtige, keine Frage. Aber dass nach der "riesigen" Zusammenfassung ein Inhaltsverzeichnis folgt, das nurnoch auf "Siehe auch, Einzelnachweise, Literatur und Weblinks" verweist finde ich etwas unpassend. Ich habe den ersten Absatz als Einleitungstext stehen lassen und den Rest als "Hintergrund" unter das Inhaltsverzeichnis verschoben. Ich hoffe das ist im Sinne der Autoren und verfälscht nicht den Inhalt des Artikels. --MajorR 00:52, 21. Mai 2008 (CEST)

10. Hilbertsche Problem

Stelle anheim, Folgendes einzubauen etc.:

Das 10. Hilbertsche Problem fragt, ob es einen Algorithmus gibt, mit dessen Hilfe für jede diophantische Gleichung entschieden werden kann, ob diese lösbar ist. Schon Diophantos von Alexandria (2. Hälfte des 3. Jahrhunderts n. Chr.) suchte nach allgemeinen Regeln zur Lösung von Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Matijasevich bewies, dass bei Akzeptierung der Churchschen These dieses Problem unlösbar ist.

Ausführlich: Deutsch, Michael: Einführung in die Grundlagen der Mathematik. Universitätsdruckerei Bremen, Bremen 1999, S. 53-59 --Hans-Jürgen Streicher 21:58, 20. Mär. 2010 (CET)