Diskussion:Hyperkomplexe Zahl

„Die komplexen Zahlen sind natürlich auch ein hyperkomplexes Zahlensystem.“

Meinem Kenntnisstand nach sind die hyperkomplexen Zahlen H den komplexen Zahlen C übergeordnet. Wie also kann dann diese Angabe zutreffen: „Die komplexen Zahlen sind natürlich auch ein hyperkomplexes Zahlensystem.“ Oder handelt es sich bei den ,,hyperkomplexen Zahlen gar nicht um den Zahlenbereich - der vielmehr die ,,Quaternionen darstellt? Entschuldigt - irgendwas ist in meinem Beitrag mit der Formatierung schief gelaufen :-| (nicht signierter Beitrag von 81.169.147.17 (Diskussion) 11:18, 21. Jan. 2005)

BJF: Die Menge der Quaternionen, deren 3. und 4. Komponente den Parameter Null tragen (r + ai + 0j + 0k) ist der Menge der komplexen Zahlen äquivalent; insofern sind die komplexen Zahlen einfach spezielle Quaternionen bzw. hyperkomplexe Zahlen, denn den gleichen Trick kann man natürlich auch bei den Oktonionen etc. anwenden. Ähnlich gelangt man auch von den Sedenionen zu den Oktonionen und weiter zu den Quaternionen etc. Das Verdoppelungsverfahren stellt diese Reduzierbarkeit sicher, so daß der Begriff "hyperkomplex" getrost als eine direkte Erweiterung des Begriffs "komplex" aufgefasst werden kann, ganz gleich, welche miesen Eigenschaften de Träger dieser Bezeichnungen mit sich bringen mögen. (nicht signierter Beitrag von 92.206.85.155 (Diskussion) 21:34, 12. Feb. 2010)

Binäre Zahlen

Sind diese "binären Zahlen" dasselbe wie diese auf der englischen Wikipedia?

http://en.wikipedia.org/wiki/Split-complex_number

Ja.--Gunther 11:51, 10. Okt 2005 (CEST)

Danke für die prompte Antwort. Ist der Begriff binäre Zahlen in dieser Art üblich? Bei einer schnellen Google-Suche konnte ich keine Verwendung des Begriffs in diesen Zusammenhang finden. Ich hab keine Ahnung, aber als Nicht-Mathematiker muss ich dann eher an Binärzahlen denken. Falls es keinen eindeutigeren Begriff gibt, sollte man evtl. die Warnung von duale Zahlen auf diesen Begriff erweitern (oder besteht etwa ein Zusammenhang?). Die englische Seite erwähnt übrigens einige Synonyme, die vielleicht auch in einer deutschen Übersetzung existieren? -- 84.190.154.201 21:45, 11. Okt 2005 (CEST)

Keine Ahnung. Ich sehe keinen Grund, weshalb man $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ überhaupt irgendeinen Namen geben sollte.--Gunther 22:40, 11. Okt 2005 (CEST)

Hab noch weniger Ahnung. Als Nicht-Mathematiker erschließt mir sich leider auch nicht, ob und warum $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ diese "binären Zahlen" vollständig beschreibt. Ist dadurch auch $E^{2}=+1$ impliziert? -- 84.190.154.201 00:48, 12. Okt 2005 (CEST)

Als Ring sind sie isomorph zu $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$, z.B. indem man 1 auf (1,1) und E auf (1,−1) abbildet.--Gunther 12:17, 13. Okt 2005 (CEST)

Es fehlt die Grundmenge: Eine Komplexe Zahl ist eine Zahl a + bi wobei i² = -1 und a und b Element aus IR (nicht signierter Beitrag von 88.67.230.24 (Diskussion) 12:46, 27. Aug. 2014 (CEST))

Dimension?

Der erste Satz im Abschnitt Konjugation scheint anzudeuten, dass jedes System hyperkomplexer Zahlen ein endlichdimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum ist. Dies erschließt sich jedoch nicht aus der Definition, die beispielsweise auch von $\mathbb {R} [X]$ erfüllt wird.--Hagman 16:18, 24. Okt. 2009 (CEST)

Die Definition ist ja so auch nicht richtig:

Als Zahlen bezeichnet man üblicherweise die natürlichen Zahlen und bestimmte Zahlbereichserweiterungen von diesen, bei denen möglichst viele Eigenschaften der natürlichen Zahlen erhalten bleiben sollen und vorteilhafte neue Eigenschaften dazu kommen. Bekanntlich erweitert man den Halbring $\mathbb {N}$ zum Ring $\mathbb {Z}$, diesen wiederum zum Körper $\mathbb {Q}$, diesen zum vollständig angeordneten Körper $\mathbb {R}$ und endet dann meistens bei dessen echten kommutativen algebraischen Erweiterungskörper $\mathbb {C} .$ Einfacher gesagt sind Zahlen alle Elemente aus $\mathbb {R}$ und Elemente bestimmter Erweiterungen von $\mathbb {R} ,$ wobei die komplexen Zahlen wegen ihrer angenehmen Eigenschaften der Kommutativität und der algebraischen Abgeschlossenheit sowie Anwendbarkeit (Funktionentheorie, Physik) als Zahlen akzeptiert sind. Hyperkomplexe Zahlen sind erhält man dann durch Zahlbereichserweiterungen von $\mathbb {C}$, wobei $\mathbb {H}$ und $\mathbb {O}$ sich dadurch auszeichnen, dass sie neben $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ die einzigen endlichdimensionalen (reellen) Divisionsalgebren sind und auch in anderen Beziehungen einzigartig sind (siehe H.-D. Ebbinghaus et. al.: Zahlen). Daneben gibt's noch die $p$-adischen Zahlen, die hyperreellen Zahlen und die Conway-Zahlen (siehe H.-D. Ebbinghaus et. al.: Zahlen). Die Sedenionen werden, anders als im Artikel behauptet, üblicherweise nicht mehr zu den Zahlen gerechnet, weil sie wie viele andere ungünstige Zahlbereichserweiterungen von $\mathbb {R}$ Nullteiler haben und auch sonst keine so besonderen Eigenschaften besitzen.

Und dann gibt's noch die Kardinal- und die Ordinalzahlen. --RPI 19:47, 30. Okt. 2009 (CET)

Das sehe ich anders. Naja, Anwendbarkeit lässt sich natürlich schwer in eine Definition pressen. Zumal dadurch immer noch nichts nichts gegen $\mathbb {R} [X]$ spricht (insb. da $\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}-1)$ als Zahlbereich gilt): $\mathbb {R} [X]$ ist eine Erweiterung von $\mathbb {R}$, hat insb. die angenehmen Eigenschaften der Kommutativität und Anwendbarkeit; (algebraische?) Abgeschlossenheit ergibt sich erst recht nicht aus der im Artikel angegebenen Definition, ja noch nicht einmal Körper (widerspräche ja auch den Beispielen) – aber bei Bedarf könnte ich mein einfaches Bsiepiel $\mathbb {R} [X]$ ja einfach durch ${\overline {\mathbb {R} (X)}}$ ersetzen. Wenn endlichdimensionale Divisionsalgebren gemeint wären, sollte das auch so definiert (oder gar lemmatisiert) werden. Aber dann müsste auch Verdopplungsverfahren entsprechend angepasst werden, denn das erlaubt es, nach Oktaven und sogar Sedenionen noch weiter zu machen. Wenn ich den Ebbinghaus richtig deute (das Sachverzeichnis liste "hyperkomplexe Zahl" viermal auf), finde ich je nach Einzelautor unterschiedliche Interpretationen des Begriffs:

• S. 94: Hier taucht "hyperkomplex" wörtlich nicht auf, dagegen ein Zitat von Hermann Hankel: Ein höheres complexes Zahlensystem, dessen formale Rechenoperationen nach den Bedingungen des § 28 bestimmt sind (…) (= kommutativer Ring mit 1 und zugleich endlich-dimensionaler $\mathbb {R}$-Vektorraum). Auf der folgenden Seite werden lediglich Quaternionen und Oktaven definitionslos als Beispiele hyperkomplexer Zahlensysteme genannt.
• S. 125: Hyperkomplexe Systeme von Zahlen heißen seit Beginn des 20. Jahrhunderts (…) reelle Algebren. Hier also keine Einschränkung der Dimension, stattdessen spräche dieses Zitat für eine bloße Weiterleituing auf reelle Algebra.
• S. 131: Hier wird die von William Rowan Hamilton (vergeblich) gesuchte 3-dimensionale (Divisions-)Algebra als System hyperkomplexer Zahlen bezeichnet; in der Tat wurde der Begriff von ihm möglicherweise nur für dieses eine System und nicht allgemeiner verwendet.
• S. 155: Die Textstellen (…) wurden neben den Quaternionen viele weitere hyperkomplexe Systeme entdeckt und erforscht. und Die Flut neuer hyperkomplexer Systeme (…) sprechen für eine über "reelle endlichdimensionale Divisionsalgebra" hinausgehende Interpretation, da es von letzteren herzlich wenige gibt.

Interessant ist noch, dass die Beziehung "komplexe Zahlen : hyperkomplexe Zahlen" ganz gewiss nicht der Beziehung "reelle Zahlen : hyperreelle Zahlen" entspricht. Den Kantor/Solodownikow habe ich leider nicht, der sollte laut Titel ja hoffentlich eine vernünftige Definition seines Themas bieten. Wer hat das Buch und kann – bitte – eine vernünftige Definition in den Artikel einpflegen?--Hagman 14:57, 31. Okt. 2009 (CET)

Hallo, das Lexikon der Mathematik (Spektrum-Verlag) schreibt: "hyperkomplexe Zahl, ist ein früher gebräuchlicher Ausdruck für ein Element einer assoziativen Algebra." Ende des Eintrags. Dies spricht wohl für einen Redirekt. --Christian1985 01:07, 1. Nov. 2009 (CET)

Das Problem ist, dass man jede Zahlbereichserweiterung, die die komplexen Zahlen umfasst, einen hyperkomplexen Zahlenbereich nennen kann, nur dann gibt's eine unübersichtliche Flut davon. Das steht auch bei Ebbinghaus et. al. in der Einleitung unter „Teil B“, deshalb halte auch ich deren Begrenzung auf endlichdimensionale Divisionsalgebren für angemessen. Die Sedenionen kommen weder in Ebbinghaus et. al. noch in I.L. Kantor/A.S. Solodownikow vor, denn das Verdoppelungsverfahren kann man zwar beliebig weit fortführen, nur kommen dabei keine sehr besonderen Strukturen heraus, auf jeden Fall keine Divisionsalgebren (siehe Ebbinghaus et. al., Kapitel 11, §3., 4. Zusammenfassung). I.L. Kantor/A.S. Solodownikow gehen nicht über Ebbinghaus et. al. hinaus: sie behandeln im Grunde nur endlichdimensionale Divisionsalgebren.

Das Lexikon der Mathematik (Spektrum-Verlag) ist, wie ich schon bei anderer Gelegenheit feststellen musste, ziemlich fehlerhaft: nach der von Christian1985 gegebenen Definition wäre insbesondere auch $\mathbb {R}$ als assoziative Algebra ein hyperkomplexes (= „überkomplexes“) Zahlensystem, also ein Zahlensystem, das die komplexen Zahlen umfasst! --RPI 16:25, 2. Nov. 2009 (CET)

Im Zitat aus Ebbinghaus et. al. von S. 94 (3. Aufl.: S. 97) spricht Hankel von „höheren complexen“ (= höher zusammengesetzten) Zahlensystemen, man nennt diese heute assoziative Algebren. Dass danach lediglich Quaternionen und Oktonionen definitionslos als Beispiele hyperkomplexer Zahlensysteme genannt werden, hat seinen Grund: andere endlichdimensionale Divisionsalgebren – ausser $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ – gibt's nicht! Es werden dabei also – anders als es Hankel noch fordert – nicht die Assoziativität vorausgesetzt, denn sonst würden die nicht mehr assoziativen Oktonionen auch noch herausfallen.

Zitat von S. 125 (3. Aufl.: S. 149) kommt ergänzend im Repertorium bei „5. Divisionsalgebren“ (3. Aufl.: S. 153) hinzu: „Seit Hamilton spielen die (endlich-dimensionalen) Divisionsalgebren eine zentrale Rolle.“

Für das Zitat von S. 131 (3. Aufl.: S. 155) gilt das gleiche wie für das Zitat von S. 94: Hamilton suchte ein 3-dimensionales System von reellen Zahlen, bei dem wie bei den komplexen Zahlen die wesentlichen Eigenschaften von $\mathbb {R}$ erhalten bleiben.

Auch mit dem Zitierten von S. 155 (3. Aufl.: S. 182) verhält es sich so: Hier wird jede Zahlbereichserweiterung, die die komplexen Zahlen umfasst, ein hyperkomplexer Zahlenbereich genannt, denn es ist vom 19. Jahrhundert die Rede. Das ist jedoch nach dem, was auf S. 125 (S. 149) steht, veraltet.

In Kapitel 11. ist eine Divisionsalgebra immer endlichdimensional, entsprechend gilt die oben genannte Zusammenfassung auch nur für endlichdimensionale Divisionsalgebren. Unendlichdimensionale Divisionsalgebren wurden wohl nicht viel untersucht und entsprechend wenig dürfte darüber bekannt sein, es müsste auch noch einiges schwieriger sein, etwas darüber herauszufinden. --RPI 20:18, 2. Nov. 2009 (CET)

Wenn Kantor/Solodownikow nicht über Ebbinghaus et al. hinausgehen, dann sagen die das dochhoffentlich irgendwo? Auf einer der ersten Seiten müssten die doch ihren Untersuchungsgegenstand umreissen, und da müsste sich doch eine Bemerkung wie "Ein System hyperkomplexer Zahlen im Sinne unserer folgenen Untersuchungen ist eine endlichdimensionale reelle Algebra, die die komplexen asl Unteralgebra enthält" oder ähnlich finden lassen? Das wäre dann wenigstens eine Grundlage, von der aus man den Artikel renovieren könnte – angefangen bei der Definition. Die historischen Varianten des Begriffs müssten natürlch zusätzlich in einem Abschnitt erwähnt werden ... --Hagman 17:01, 3. Nov. 2009 (CET)

Kantor/Solodnikow machen das schon so oder so ähnlich, aber das müsste ich noch mal in der Bibliothek nachsehen: ich kenne zwar das Buch, aber nicht auswändig. --RPI 18:55, 4. Nov. 2009 (CET)

Ich hab's nachgelesen: Kantor/Solodnikow definieren allgemein für jedes $n\in \mathbb {N}$ ein hyperkomplexes, $n+1$-dimensionales Zahlensystem als ein System von Ausdrücken der Art

$a_{0}+a_{1}\mathbf {i} _{1}+a_{2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {i} _{n}$

mit $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ und Symbolen – den imaginären Einheiten – $\mathbf {i} _{1},\mathbf {i} _{2},\ldots ,\mathbf {i} _{n},$

so dass diese Ausdrücke – hyperkomplexe Zahlen – komponentenweise addiert und subtrahiert werden können. Außerdem soll eine distributive Multiplikation gegeben sein, bei der alle Produkte $\mathbf {i} _{l}\mathbf {i} _{m}$ mit $l,m\in \{1,2,\ldots ,n\}$ gleich und wieder eine hyperkomplexe Zahl sind, d.h. sie erfüllen die Gleichung

$\mathbf {i} _{l}\mathbf {i} _{m}=b_{lm,0}+b_{lm,1}\mathbf {i} _{1}+b_{lm,2}\mathbf {i} _{2}+\cdots +b_{lm,n}\mathbf {i} _{n}$ mit Koeffizienten $b_{lm,0},b_{lm,1},b_{lm,2},\ldots ,b_{lm,n}\in \mathbb {R} .$

Kurz gesagt: Ein hyperkomplexes Zahlensystem ist eine endlichdimensionale reelle Algebra $\neq \mathbb {R}$ mit Einselement, die Multiplikation mit reellen Zahlen wird dabei auf die Multiplikation mit hyperkomplexen Zahlen mit Koeffizienten $a_{m}=0$ für alle $m\in \mathbb {N}$ zurückgeführt (die englische Übersetzung von 1989 hat dem entsprechend den Untertitel „An Elementary Introduction to Algebras“). --RPI 11:49, 6. Nov. 2009 (CET)

Für Hankel (und Gauß) bedeutet ein hyperkomplexes Zahlensystem eine endlichdimensionale Zahlbereichserweiterung von $\mathbb {R}$, die – und da muss ich mich korrigieren – nicht $\mathbb {C}$ umfasst, sondern die mindestens $3$-dimensional ist und bei denen die grundlegenden Eigenschaften von $\mathbb {C}$ erhalten bleiben (Ebbinghaus et al. S. 94 bzw. S. 97, 3. Aufl.). Für Ebbinghaus et al. (S. 125/3. Aufl.: S. 149) ist deshalb – ich muss mich erneut korrigieren – nach historischem Vorbild ein hyperkomplexes Zahlensystem eine (jedoch auch $1$- oder $2$-dimensionale) endlichdimensionale reelle Divisionsalgebra. Nullteiler wurden erst in den 1880er Jahren zulässig (Weierstraß, Dedekind; S. 125/3. Aufl.: S. 149) und in diesem Sinn ist die „Flut“ neuer hyperkomplexer Systeme zu verstehen (S. 155/3. Aufl.: S. 182), nämlich von hyperkomplexen Systemen im weiteren Sinn, d.h. von endlichdimensionalen reellen Algebren (S. 125/3. Aufl.: S. 149). --RPI 21:23, 6. Nov. 2009 (CET)

BJF: Müsste es im vorletzten Absatz ("kurz gesagt ...") nicht heißen: "für alle m aus N mit m>0" (statt nur "für alle m aus N")? (nicht signierter Beitrag von 92.206.108.64 (Diskussion | Beiträge) 09:37, 14. Feb. 2010 (CET))

"hypercomplex" und "quaternion" bei Fractint

Bei Fractint gibt/gab es 2 verschiedene Algebren für "verallgemeinerte komplexe Zahlen", die "quaternion" und "hypercomplex" genannt wurden. Mal unabhängig von den etwas unglücklich gewählten Namen (wohl historisch gewachsen?), haben die dort verwendeten Algebren auch einen offiziellen Namen?
Leider scheint die Originaldoku nicht mehr online zu sein, aber archive.org hat sie noch: [1] bzw. [2] --RokerHRO 16:44, 21. Nov. 2009 (CET)

Verallgemeinerung der komplexen Zahlen

Kantor/Solodownikow gibt für die Zuordnung von Dimensionen zu gemischten Gliedern aus zwei verschiedenen imaginären Einheiten, die ja bei der hyperkomplexen Multiplikation der Knackpunkt sind, Linearkombinationen aus den imaginären Einheiten e1, ..., en der hyperkomplexen n-dimensionalen Algebra an: ei*ej = a1*e1 + ... + an*en für geeignete a1, ..., an aus R (i ungleich j, i, j Elemente aus 1 bis n); und natürlich ei*ei = -1 für alle i aus 1 bis n. Für mein Laien-Auge ist dies ein sehr viel allgemeinerer Ansatz als jener in der Definition der 4-, 8- und 16-nionen, der jedoch in der Diskussion hier nicht zum Tragen kommt. Auch das Verdoppelungsverfahren scheint mir anders zu funktionieren. In diesem Zusammenhang würde mich vor allem interessieren, ob man auf diesem Wege an Dimensionen herankommt, die das Verdoppelungsverfahren nicht erreicht, oder an höhere 2^n-Strukturen mit etwas freundlicheren Eigenschaften. Oder gibt es umgekehrt einen Beweis, der hyperkomplexe Zahlen anderer Dimensionen als 2^n als ohnehin nicht widerspruchsfrei definierbar erweist? Dabei fällt mir der Beweis ein, daß R, C, H und O die einzigen normierten Divisionsalgebren sind; das sollte man wohl erwähnen und die Relevanz einer solchen Normierung erörtern.

- Bei den Oktonionen würde mich noch interessieren, ob sie wirklich so völlig nutzlos sind; schließlich haben Matrizen ja auch ein störrisches Wesen und sind dennoch äußerst beliebt. Wie sieht es zum Beispiel mit Drehungen im 7- oder 8-dimensionalen Raum aus, in Parallele zu den Eigenschaften der Quaternionen? Soviel ich weiß, spielen die Dinger in der String-Theorie durchaus eine Rolle.

- Bei den Quaternionen sollte man m. E. ruhig auch die schon Hamilton beunruhigende Eigenschaft diskutieren, daß sie 4-dimensional sind, aber nur für Drehungen im 3-dimensionalen taugen, während sich umgekehrt "Trinionen" allem Anschein nach (oder bewiesenermaßen?) nicht widerspruchsfrei definieren lassen. Gibt es da wissenschafts- bzw. erkenntnistheoretische Fortschritte? Wie sieht die Dimensionsbeziehung denn bei den Oktonionen aus?

Ganz generell habe ich bei den mathematisch-naturwissenschaftlichen Seiten der Wikipedia oft den Eindruck, daß sie zwar von Spezialisten, aber auch nur für Spezialisten verfaßt werden, also für nur einen Bruchteil des von der Wiki angepeilten Publikums. Ein Nicht-Mathematiker, der was über hyperkomplexe Zahlen erfahren möchte, weil er mal was hat läuten hören, wird die Info, daß sie eine schiefe oder auch alternative Algebra bilden, eher wenig erhellend finden. Feb. 2010 (BJF)

"Trionen", also eine Algebra mit einer reellen und zwei 'imaginären' Einheiten, lassen sich schon widerspruchsfrei definieren, aber eben nicht als Divisionsalgebra. Eine Trionenalgebra hat immer Nullteiler.--Slow Phil (Diskussion) 12:58, 29. Mär. 2012 (CEST)

Zum Punkt „Dimensionsbeziehungen“: Ich würde diese hyperkomplexen Zahlen nicht als Konzept von größter Tragweite überschätzen. Leute haben halt ihren Spaß daran, die komplexen Zahlen ein wenig zu erweitern und es gibt sicherlich einige interessante Eigenschaften, aber als Konzept von größter Allgemeinheit für die Geometrie oder dergleichen sind sie wohl eher nicht anzutreffen. --Chricho ¹ ² 14:58, 29. Mär. 2012 (CEST)

Forderung der Assoziativität

Ich poste mal meine Äußerung in der QS Mathematik hier: Da der Ausdruck offensichtlich veraltet ist, sollte man schon auch auf andere Literatur als Kantor/Solodownikow zurückgreifen und ein bisschen weiter in der Mathematikgeschichte zurückgehen. Bei Griffiths/Hilton Klassische Mathematik in zeitgenössischer Darstellung, Bd.3, S.49 steht dass dies (dort hyperkomplexes System genannt) synonym zu endlichdimensionalen assoziativen Algebren über den reellen Zahlen ist. Ebenso wird bei Emmy Noether Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie, Math. Z. 1929, Assoziativität gefordert (sie knüpft an Molien und Frobenius an). Also keine Oktonionen (nur die assoziativen Divisionsalgebren R, C, H), dafür aber auch Algebra der reellen n x n Matrizen über R. Auch in van der Waerdens Algebra Bd.2, Kapitel 13 (die auf Noethers Vorlesungen beruht), wird hyperkomplexes System synonym mit assoziative Algebra gebraucht (sie sollte auch endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper sein, der Körper ist dort nicht spezifiziert). Schließlich ist bei Kantor/Solodovnikov Hyperkomplex Numbers - an elementary introduction to algebras, Springer, S.39, bei der Definition explizit angegeben, dass sie abweichend vom üblichen Gebrauch Assoziativität bei der Multiplikation nicht postulieren. Normalerweise gehört das bei der Definition also dazu.--Claude J 07:44, 15. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht kannst du einige dieser Buchtitel als Einzelnachweis einarbeiten? Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 13:32, 12. Apr. 2011 (CEST)

Nochmal Assoziativität

In der Definition steht, dass manche Autoren auch noch die Assoziativität fordern. Daher verstehe ich es als Widerspruch wenn im Folgenden geschrieben wird, dass die Multiplikation im Allgemeinen nicht assoziativ ist. Es kommt eben auf die konkrete Definition an, die der Autor wählt! Man kann schlecht in Abschnitt 1 sagen, dass manchmal Objekt A gefordert ist und im Abschnitt 2 dann schreiben, dass auf Objekt A gänzlich verzichtet wird. --Christian1985 (Diskussion) 23:12, 11. Jun. 2011 (CEST)

assoziativitaet ist nicht bestandteil der definition in diesem artikel. der hinweis, dass es manchmal auch anders gemacht wird, aendert daran nichts. sonst muesste man im folgenden ja bei jeder aussage diskutieren, nach welcher definition die nun gilt und nach welcher nicht. -- Peter Grabs 01:53, 14. Jun. 2011 (CEST)

Assoziativität wird aber von manchen Autoren gefordert. Es gibt halt verschiedene Definitionen von hyperkomplexer Zahl, und die sollten auch alle wiedergegeben werden, sonst ist es TF.--Claude J 08:18, 14. Jun. 2011 (CEST)

Richtig, wenn es einen Abschnitt im Artikel zu einem Thema gäbe, bei dem das Resultat mit Assoziativität anders aussähe als ohne, müsste dies durchdiskutiert werden. --Christian1985 (Diskussion) 08:55, 14. Jun. 2011 (CEST)

Potenz-Assoziativität gefordert?

Muss die Multiplikation in einer Algebra, die hyperkomplex heißen will, potenz-assoziativ sein? Das würde in jedem Fall die Zahl der möglichen Multiplikationstafeln erheblich reduzieren.--Slow Phil (Diskussion) 12:58, 4. Jun. 2012 (CEST)

Jeder kann so Dinger in dem Stil definieren und die Bezeichnung „hyperkomplex“ ist passend, auch wenn Potenzassoziativität nicht erfüllt wird. Für manche systematischen Betrachtungen mag diese Einschränkung sinnvoll sein, jedoch solte nicht irgendwo der Satz stehen „[…]ist eine potenzassoziative Algebra“. --Chricho ¹ ² ³ 14:06, 4. Jun. 2012 (CEST)

Hyperkomplexe Zahlen im engeren Sinne

--GerdW62 (Diskussion) 22:26, 27. Sep. 2020 (CEST)

Abgrenzung des Gegenstands

Um Missverständnisse aufgrund unterschiedlicher Auffassungen des Begriffs "hyperkomplexe Zahl" zu vermeiden, möchte ich klarstellen, dass ich im Folgenden von "hyperkomplexen Zahlen im engeren Sinne" spreche.

Definition

Ein Element x einer Algebra heißt hyperkomplexe Zahl im engeren Sinne, wenn es sich in dieser Form darstellen lässt:

x = x0·e0 + x1·e1 + … + xn-1·en-1

Wobei:
– für die Anzahl der Komponenten gilt n = 2^m mit m $\in \mathbb {N}$
– alle Komponenten reelle Zahlen sind, also x_k $\in \mathbb {R}$ (0 ≤ k < n)
– e₀ = 1 das neutrale Element der Multiplikation ist
– alle e_k mit k > 0 imaginäre Einheiten sind, also e_k² = −1
Diese letzte Forderung ist notwendig (aber nicht hinreichend), um eine nullteilerfreie Algebra zu erhalten. Siehe Beispiel unter "Vorzeichenregel".

Multiplikation der Basiseinheiten

für beliebige i und j (0 ≤ i < n, 0 ≤ j < n) gilt:

ei·ej = sij·ek

mit 0 ≤ k < n
s_ij ist das Vorzeichen des Produkts, also s_ij $\in$ {−1; 1}
Da e₀ = 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, ergibt sich durch Einsetzen von i = 0 und j = 0  s_0j = 1 bzw. s_i0 = 1.

Indexregel

Für den Index des Produktes gilt:

k = i $\oplus$ j

("$\oplus$" ist der bitweise Exklusiv-oder-Operator [entweder… oder…], also die bitweise Addition/Subtraktion Modulo 2; die Indizes i, j und k können als Bitvektoren aufgefasst werden.)

Vorzeichenregel

Soll die Algebra frei von Nullteilern sein, muss für die Vorzeichen folgende Regel erfüllt sein:

sij·si$\oplus$k,j·si,j$\oplus$k·si$\oplus$k,j$\oplus$k = −1

(0 ≤ i < n, 0 ≤ j < n; 0 < k < n)
Setzt man beispielsweise i = j = 0, ergibt sich (wegen s_i0 = s_0j = 1) s_kk = −1 für alle k > 0.

Boole'sche Linearkombination

Als Boole'sche Linearkombination der Bitvektoren i₁, i₂ u.s.w. (also von natürlichen Zahlen im Binärcode) bezeichne ich folgenden Term:

a1·i1 $\oplus$ a2·i2 $\oplus$ …

wobei die Koeffizienten Binärziffern sind: a₁, a₂, … $\in$ {0; 1}.  Die Linearkombination heißt trivial, wenn a₁ = a₂ = … = 0

(Anti-)Kommutativität der Basiseinheiten

Das Produkt zweier Basiseinheiten ist kommutativ genau dann, wenn es eine nicht-triviale Boole'sche Linearkombination der Indizes der beteiligten Basiseinheiten gibt, deren Ergebnis 0 ist. Anderenfalls ist dieses Produkt anti-kommutativ.

wenn a·i $\oplus$ b·j = 0 mit a = 1 oder b = 1, dann ei·ej = ej·ei;
sonst ei·ej = −ej·ei

(Anti-)Assoziativität der Basiseinheiten

Das Produkt dreier Basiseinheiten einer nullteilerfreien hyperkomplexen Algebra ist assoziativ genau dann, wenn es eine nicht-triviale Boole'sche Linearkombination der Indizes der beteiligten Basiseinheiten gibt, deren Ergebnis 0 ist. Anderenfalls ist dieses Produkt anti-assoziativ.

wenn a·i $\oplus$ b·j $\oplus$ c·k = 0 mit a = 1 oder b = 1 oder c = 1, dann (ei·ej)·ek = ei·(ej·ek);
sonst (ei·ej)·ek = −ei·(ej·ek)