Diskussion:Ideal (Ringtheorie)

ist ein Ideal dasselbe wie ein Normalteiler und Rechts/Linksideale sowas wie Rechts/Linksnebenklassen? dann sollte eventuell ein Verweis angebracht werden ob oder ob nicht die ähnlich/gleich sind? (nicht signierter Beitrag von 213.47.65.246 (Diskussion) 21:52, 25. Apr 2006)

Nein. Ideale sind genau wie Normalteiler die potentiellen Kerne von Homomorphismen, aber damit sind die Gemeinsamkeiten auch weitgehend erschöpft.--Gunther 23:17, 25. Apr 2006 (CEST)

Es steht bei den Bemerkungen zur Definition, dass Forderungen 1 und 2 äquivalent zu ... ist. Der darauf folgende Satz Die Umkehrung gilt nicht ... ist aber zumindest irritierend, meiner Meinung nach sogar falsch: Ich denke gemeint war, Diese Forderung ist jedoch nicht hinreichend ... oder so ähnlich --Xlae 12:41, 11. Jul. 2008 (CEST)

Sehe auch ich als sehr problematisch an. Einfach löschen, hierhin verschieben oder erst mal so lassen?

Habe einen problematischen Eintrag zum von einer Menge erzeugten Ideal bearbeitet. Als Beispiel für die Problematik betrachte man etwa den kommutativen Ring der reellen Lebesgue-integrierbaren Funktionen(restklassen) auf \R^n mit der Faltung als Produkt. Dann ist die Standard Gauß-Glocke n ein solches pathologisches Element, denn gäbe es eine Funktion f so daß f gefaltet mit n wieder n ergibt, so wäre die Fourier-Transformierte von n (also n selbst) das Produkt der Fourier-Transformierten von n und f. Da die Fourier-Transformierte von n (also n) nirgends verschwindet, folgt daß die Fourier-Transformierte gleich 1 ist, was nicht sein kann da alle Fourier-Transformierten im Unendlichen verschwinden. --Archont 16:53, 27. Sep 2006 (CEST)

Zitat aus dem Artikel: Wir nehmen durchweg an, dass der betrachtete Ring R ein Einselement besitzt. --Gunther 17:03, 27. Sep 2006 (CEST)

Und um gleich den nächsten Punkt zu beantworten: In Ringen ohne 1 ist die "bottom-up"-Beschreibung des erzeugten Ideals entsprechend komplizierter, also $(a)=\{ra+na\mid r\in R,n\in \mathbb {Z} \}$ im kommutativen Fall.--Gunther 17:05, 27. Sep 2006 (CEST)

Ring mit Einselement

Wir nehmen durchweg an, dass der betrachtete Ring R ein Einselement besitzt. Warum werden nicht auch Ringe ohne Einselement betrachtet? In vielen Büchern wird zwar das Einselement hinzu genommen, allerdings hab ich hier auch zwei Algebra Bücher die Ideale in einem Ring ohne Eins definieren: Bernhard Hornfeck ISBN 3110067846 und Gisbert Wüstholz ISBN 3528072911. Wenn niemenad was dagegen hat werd ich demnächst mal die Definition ändern. Gruß Azrael. 11:58, 3. Sep. 2007 (CEST)

Ideale in einem Artikel

Ich halte es für sinnvoll, den Idealbegriff allgemeiner in einem Artikel zu behandeln, wobei man das exemplarisch am Beispiel der klassischen, ringtheoretischen Ideale machen könnte und noch weitere Beispiele aufführt bzw. darauf hinweist (z.B. Ideale von Verbänden, Halbgruppen, Normalteiler von Gruppen usw.). Hinweise auf sogenannte x-Ideale (allgemeine Ideale für algebraische Strukturen mit einer kommutativen Multiplikation), die abstrakte Idealtheorie und auf die Übertragung des Idealbegriffs auf (teilweise) geordnete Mengen wären auch wünschenswert.--RP 14:24, 16. Nov. 2007

Durch meinen Artikel über Idealoperatoren hat sich das grösstenteils erledigt.--RP 16:00, 03. Mar. 2008

Im Text

"Die Forderungen 1 und 2 sind äquivalent zu der Aussage, dass (I, + ) eine Untergruppe der additiven Gruppe (R, + ) ist. Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist Z oder eine andere zyklische Gruppe eine additive Untergruppe von R, aber nicht immer auch ein Ideal." Ist das nicht unsinnig??

Ja, deshalb habe ich auch den unsinnigen Satz "Die Umkehrung gilt nicht ..." gelöscht. Wer das geschrieben hat, hat wohl nicht verstanden, dass ein Ideal neben den Forderungen 1 und 2 - oder: (I, + ) ist eine Untergruppe der additiven Gruppe (R, + ) - zusätzlich auch Forderung 3L bzw. 3R erfüllen muss.

Zur Idealsumme: Die mengentheoretische Vereinigung von Idealen unterscheidet sich zwar bei den (dedekindschen) Ringidealen von der Idealsumme, bei den üblichen Halbgruppenidealen (s-Ideale) ist dies jedoch nicht so: hier fallen sie zusammen. Im Allgemeinen ist das von der Vereinigung von Idealen erzeugte Ideal das Supremum der an der Vereinigung beteiligten Ideale im Idealverband. In der Ringtheorie fällt das Supremum gerade mit der Idealsumme zusammen. Um die Defintion möglichst allgemein zu halten und auch auf andere Idealsystem anwenden zu können, sollte das deshalb im Artikel bleiben. Gruss --RPI 20:35, 23. Jan. 2009 (CET)

Verknüpfung von Idealen / Homomorphismen

Folgende Anmerkungen sollten im Abschnitt Verknüpfungen von Idealen (Unterabschnitt Ringhomomorphismen) der Form her gemacht werden: $a,b\in R$ und $f(1_{R})=1_{S}$. Danke. -- RIP (nicht signierter Beitrag von 77.189.200.117 (Diskussion | Beiträge) 17:15, 7. Jan. 2010 (CET))

Erledigt. --Tolentino 14:23, 8. Jan. 2010 (CET)

Ich beziehe mich auf die Summe von Idealen. Im Text heißt es: Die Summe von Idealen I + J := {a + b| a  I, b  J} = I vereinigt J. Meiner Meinung nach muss es hier statt "I vereinigt J" (I + J) heißen, denn wie in der Anmerkung darunter erläutert, sind Summe und Vereinigung von Idealen im Allgemeinen etwas Verschiedenes. (nicht signierter Beitrag von Angela-Jack (Diskussion | Beiträge) 10:37, 7. Mai 2014 (CEST))

Historischer Kontext / Darstellung inm Abschnitt "ideale Zahlen"

Der historische Kontext ist m. E. nicht richtig dargestellt. Das Hinzufügen von i und die Division sind im ursprünglichen Ring nicht definiert und führen aus diesem hinaus. Mit der gleichen Begründung wie im vorliegenden Text ist 3 eine gerade Zahl, denn 3/2 =(1/2)3. Deshalb wurde der Text angepasst. Siehe auch die Lehrbücher der Algebra. (nicht signierter Beitrag von 85.216.81.184 (Diskussion) 11:55, 15. Sep. 2010 (CEST))

"führen aus diesm hinaus" - klar, das i wird ja auch hinzugefügt. Wenn man diesen Teil aber entfernt, tauchen im Abschnitt "ideale Zahlen" dummerweise gar keine idealen Zahlen mehr auf. Heutzutage arbeitet man wie selbstverständlich mit Idealen, die nicht unbedingt Hauptideale sind, aber zu Kummers Zeiten war das Hinzufügen von "Scheinlösungen" die gängige Methode - ganz in der Tradition des Hinzufügens von (zufälligerweise ebenfalls) i zu den rellen Zahlen, um Polynomgleichungen lösen zu können (nicht umsonst heißt i "imaginär"). Die Tatsache, dass zu jedem Ideal eine ideale Zahl gefunden werden kann, entspricht der Endlichkeit der Klassengruppe in moderner Sprechweise.--Hagman 14:42, 15. Sep. 2010 (CEST)

Wenn in (1+w)/(1+i) Zähler und Nenner mit 1-i erweitert werden, enthält dadurch nicht automatisch 1+w den Faktor 1+i; danach enthielte z. B. auch jede natürliche Zahl n, beispielsweise 3, den Faktor 1+i oder einen beliebigen anderen Faktor des entsprechenden Ringes, was sinnlos ist. Nicht zu verwechseln damit ist die Multiplikation von 1+w oder n mit dem inversen Element von 1+i im Körper C, was selbstverständlich möglich ist. Im Beispiel enthält lediglich 2=(1+i)(1-i) tatsächlich den Faktor 1+i. Eine ausführliche Darstellung der idealen Zahlen Kummers gibt Paul Bachmann 1905 im 5. Teil seiner Zahlentheorie ab S. 143. Wenn die historische Darstellung zu schwierig und missverständlich ist, sollte sie vielleicht besser nur kurz in Worten beschrieben werden.(nicht signierter Beitrag von 82.216.81.184 (Diskussion) 11:52, 16. September 2010)

(Ich hab der Übersicht halber mal ne richtige Überschrift hier eingefügt) Die ganzen Zahlen in $\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]$ (d.h. die Elemente ganzzahliger Norm) sind $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$, in $\mathbb {Q} [i]$ sind es $\mathbb {Z} [i]$. In $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},i]$ ist aber auch ${\tfrac {1+{\sqrt {-5}}}{1+i}}$ ganz, denn die Norm (das Produkt über alle Konjugierten) ist 9. In $\mathbb {C}$ sprechen wir ohnehin nicht so von Teilbarkeit, natürliches $n$ ist durch $1+i$ genau dann teilbar (im Ring der ganzen algebraischen Zahlen oder einem geeigneten Unterring davon, sprich: im Ring de ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers), wenn $n$ gerade ist. So gesehen fehlt vielleicht doch eine genauere Aussage, was in einem Zahlkörper eine ganze Zahl ist, und das müsste noch eingebaut werden, damit das Beispiel vielleicht verständlicher wird.(Und denke doch bitte demnächst daran, Beiträge mit --~~~~ zu signieren)--Hagman 12:08, 16. Sep. 2010 (CEST)

Was ich hier nicht so ganz verstehe ist, dass wenn man die Argumentation mit der Norm zulässt (also dass ${\tfrac {1+{\sqrt {-5}}}{1+i}}$ in $\mathbb {Z} [{\sqrt {-}}5,i]$ enthalten ist), dann müsste doch auch ${\tfrac {2+i}{1+2i}}={\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {3}{5}}i$ in $\mathbb {Z} [i]$ ganz (Norm 1) sein, oder? Ich meine das kann ja nicht stimmen. --87.152.228.173 19:13, 25. Apr. 2013 (CEST)

Also in einem quadratischen Zahlkörper wie $\mathbb {Q} (i)$ ist ein Element genau dann ganz, wenn seine Norm und seine Spur ganz sind. Darum klappt dein Beispiel ${\tfrac {2+i}{1+2i}}={\tfrac {4}{5}}-{\tfrac {3}{5}}i$ nicht. Wie man in Körpern wie $\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}},i)$ Ganzheit prüft, habe ich gerade nicht so auf dem Schirm, aber die obige Begründung "weil die Norm 9 ist" dürfte wohl nicht reichen, zumindest nicht ohne weitere Erklärung. -- HilberTraum (Diskussion) 17:52, 26. Apr. 2013 (CEST)

Ideale und Nullteiler

Sind Elemente eines Ideals stets Nullteiler? Ich vermute das, ich kenne kein Gegenbeispiel, dafür aber mehrere Beispiele dafür.--Slow Phil (Diskussion) 13:18, 29. Mär. 2012 (CEST)

Vielleicht meinst du ja was anderes, aber wenn der Ring (z.B. die ganzen Zahlen) keine Nullteiler hat, dann haben doch seine Ideale (z.B. die geraden Zahlen) auch keine Nullteiler. -- HilberTraum (Diskussion) 19:09, 29. Mär. 2012 (CEST)

Du hast natürlich völlig Recht. Die Ganzen Zahlen als Ring hatte ich irgendwie nicht auf dem Schirm. Bleibt die Frage, unter welchen Bedingungen ein Ring ein echtes Ideal haben kann, ohne dass dessen Elemente Nullteiler sind.--Slow Phil (Diskussion) 17:36, 2. Apr. 2012 (CEST)

Ich möchte die ursprüngliche Frage präzisieren: Angenommen, bei dem Ring handle es sich um eine (assoziative) Algebra über $\mathbb {R}$, in dem Ideale auch Unteralgebren und damit Unterräume sind. Klar ist natürlich, dass, wenn die Algebra mehrere Ideale hat und diese nur das Nullelement gemeinsam haben (dies haben sie in jedem Fall), die Elemente aller dieser Ideale zwangsläufig Nullteiler sind; das ergibt sich schon aus der Definition. Was aber, wenn die Algebra nur eines hat, und, geht das überhaupt? Und was ist mit Unteralgebren, die sich in ganzen Unterräumen schneiden?--Slow Phil (Diskussion) 02:31, 23. Jan. 2014 (CET)

Bezeichnungen für Ideale

Vielfach werden für Ideale auch kleine Frakturbuchstaben (für "normale" Ideale oft a usw. und für Primideale p) verwendet. Es erscheint mir sinnvoll, im Artikel darauf hinzuweisen (ich habe selbst gerade keine Zeit, dies einzuarbeiten, wollte aber wenigstens darauf hinweisen). (nicht signierter Beitrag von 129.217.132.38 (Diskussion) 16:01, 4. Dez. 2012 (CET))

Summe von Idealen

Ich beziehe mich auf die Summe von Idealen. Im Text heißt es: Die Summe von Idealen I + J := {a + b| a  I, b  J} = I vereinigt J. Meiner Meinung nach muss es hier statt "I vereinigt J" (I + J) heißen, denn wie in der Anmerkung darunter erläutert, sind Summe und Vereinigung von Idealen im Allgemeinen etwas Verschiedenes. (nicht signierter Beitrag von Angela-Jack (Diskussion | Beiträge) 10:37, 7. Mai 2014 (CEST))

Hallo! Das stimmt schon so wie es dasteht, es ist ja noch eine Klammer um die Vereinigung $(I\cup J)$, die für das erzeugte Ideal steht: Die Summe von Idealen ist das von der Vereinigung erzeugte Ideal. -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 7. Mai 2014 (CEST)

Prager Satz

Dedekinds über zwei Polynomen in R[X] (Integritätsring mit Quotientenkörper K) definierter Prager Satz, welcher nach [1] (Satz 4, 3) am Anfang seiner Idealtheorie stand sowie genau in ganz abgeschlossenen Ringen gilt, dient dem Nachweis, dass es zu jedem Ideal a != (0) in einer Maximalordnung eines Zahlkörpers ein Ideal b != (0) gibt derart, dass ab ein Hauptideal ist. Später empfand er diese (anschaulichen) Funktionen von Variablen als unnötig sowie "die Reinheit der Theorie" trübend. --Ralf Preußen (Diskussion) 16:57, 30. Jul. 2020 (CEST)

(mit ganzen algebraischen Zahlen als Koeffizienten)

@Hoegiro Das kann doch hier [2] nicht stimmen. Die Koeffizienten sind entweder in Q oder in Z. --Ralf Preußen (Diskussion) 08:13, 2. Aug. 2020 (CEST)

Seite 182, 2. Absatz:

Ein System von unendlich vielen ganzen algebraischen Zahlen  α1, α2, ... des Körpers k, welches die Eigenschaft besitzt, dass eine jede lineare Combination  λ1α1+λ2α2+...  derselben wiederum dem System angehört, heisst ein Ideal ${\mathfrak {a}}$; dabei bedeuten λ1, λ2 ... ganze algebraische Zahlen des Körpers k.

Es handelt sich also um einen O_k-Modul in k, heute spricht man von einem gebrochenen Ideal.—Hoegiro (Diskussion) (ohne (gültigen) Zeitstempel signierter Beitrag von 회기-로 (Diskussion | Beiträge) 09:00, 2. Aug. 2020 (CEST))

Ja OK - sorry - es geht dort bei Hilbert ja um das Ideal (und nicht um den Ring). --Ralf Preußen (Diskussion) 09:28, 2. Aug. 2020 (CEST)

Definition umstrukturieren?

Die Definition eines Ideals ist umständlich formuliert. Anstatt zu verlangen, dass für die Teilmenge $I$ gilt, dass $(I,+)$ eine Untergruppe ist, verlangt man ein Kriterium, das äquivalent dazu ist, dass es eine Untergruppe ist. Sollte man nicht einfach verlangen, dass $(I,+)$ eine Untergruppe ist und dann entsprechend auf den Artikel zu Untergruppen verweisen, wo ja dann u.a. auch das Kriterium steht? Ich denke, das wäre sinnvoller und ordentlicher (und so wurde es auch im englischen Artikel gemacht).

@Wolny1 In jedem Fall muss in der zweiten Bedingung (wenn man sie beibehält) verlangt werden, dass $a-b\in I$ und nicht $a+b\in I$, da letzteres zwar notwendig, aber nicht hinreichend dafür ist, dass $(I,+)$ eine Untergruppe ist. --Citius11235 (Diskussion) 14:34, 15. Nov. 2020 (CET)

Hallo Citius! Ich muss zurückrudern: Sorry, du hattest natürlich Recht – ich war wohl in Gedanken (noch) zu sehr bei endlichen Gruppen (für die die Abgschlossenheit ja reicht). Ich werde also deine Änderung wiederherstellen. Zu deiner eingangs vorgeschlagenen Änderung warten wir am besten noch andere Meinungen ab, die fragliche Stelle stammt auch nicht von mir. Gruß, Wolny1 (Diskussion) 15:28, 15. Nov. 2020 (CET)

Hallo Wolny, kein Problem :) das ganze spricht aber nochmal für meine eingangs vorgeschlagene Änderung: dann müsste man nämlich gar nicht erst über Untergruppenkriterien nachdenken, um die Definition eines Rings zu prüfen. Nochmal sorry für den versehentlichen Regelverstoß! VG, --Citius11235 (Diskussion) 15:47, 15. Nov. 2020 (CET)

Auch: Kein Problem ;-). Zur geplanten Neufassung der Stelle machst du am besten einen ganz konkreten Änderungsvorschlag hier auf der Diskussionsseite (evtl. in einem neu angelegten Abschnitt, damit die Übersichtlichkeit des eigentlichen Themas gewahrt bleibt). Gruß Wolny1 (Diskussion) 15:57, 15. Nov. 2020 (CET)

Änderungsvorschlag Definition und Bemerkungen

Definition

Um auch für nichtkommutative Ringe geeignete Begriffe zu haben, unterscheidet man zwischen Links-, Rechtsidealen und zweiseitigen Idealen:

Es sei $I$ eine Teilmenge eines Ringes $\mathbf {R} =(R,+,\cdot )$. $I$ heißt dann Linksideal, wenn gilt:

1: $(I,+)$ ist eine Untergruppe von $(R,+)$

2L: Für jedes $a\in I$ und $r\in R$ ist $r\cdot a\in I$.

Entsprechend ist $I$ ein Rechtsideal, wenn Bedingung 1 und

2R: Für jedes $a\in I$ und $r\in R$ ist $a\cdot r\in I$

erfüllt ist.

$I$ nennt man schließlich zweiseitiges Ideal oder nur kurz Ideal, falls $I$ Links- und Rechtsideal ist, also 1, 2L und 2R erfüllt.

Bemerkungen

• Ist der Ring kommutativ, dann fallen alle drei Begriffe zusammen, in einem nichtkommutativen Ring können sie sich aber unterscheiden.
• Als Untergruppe von $(R,+)$ enthält $I$ insbesondere die $0$.
• Bedingung 1 ist äquivalent zu der Forderung, dass mit $a,b\in I$ auch $a-b\in I$ ist. (Untergruppenkriterium)
• Jedes Ideal $I$ in $\mathbf {R}$ bildet auch einen Unterring $(I,+,\cdot )$ von $\mathbf {R}$, im Allgemeinen aber ohne Eins, $1\notin I$. Ist $\mathbf {R}$ ein Ring mit Eins, so ist $(I,+,\cdot )$ genau dann ein Unterring mit Eins, wenn $I=R$.
• Ein Links- ebenso wie ein Rechtsideal $I$ in $\mathbf {R}$ ist nichts anderes als ein $\mathbf {R}$-Untermodul $(I,+)$ von $\mathbf {R}$, $\mathbf {R}$ aufgefasst als $\mathbf {R}$-Links- bzw. $\mathbf {R}$-Rechtsmodul $(R,+)$.

-- Citius11235 (Diskussion) 19:43, 15. Nov. 2020 (CET)

Ich sehe keinen Grund, der gegen diese Änderung sprechen würde und befürworte sie daher. Du kannst nun noch auf weitere Meiningen dazu warten oder auch einfach mal mutig sein ;-). Gruß, Wolny1 (Diskussion) 19:54, 15. Nov. 2020 (CET)

Ok, dann wage ich es einfach mal! Schlimmstenfalls ist es nicht besser als vorher ;) VG, Citius11235 (Diskussion) 20:02, 15. Nov. 2020 (CET)