Diskussion:Idealoperator

Ein schöner Artikel, aber mir fehlt die allgemeine Einleitung und die Erklärung des Lemmas in dem Artikel, also "Ein Idealoperator ist ein" xyz (z.B. Begriff aus der Gruppentheorie der ...) am Anfang. Ausserdem scheint hier nicht nur der Idealoperator sondern auch die Idealtheorie als Ganzes mit erklärt zu werden. Rjh 08:22, 14. Jan. 2008 (CET)

Ich hoffe, jetzt ist die Einleitung in Ordnung. --RP 12:04, 14. Jan. 2008

Spitzensache. Da gibts nichts mehr zu meckern. Rjh 12:17, 14. Jan. 2008 (CET)

Ideale für Algebren

Hallo! Es gibt aber auch Ideale in algebraischen Strukturen, die eine nicht assoziative zweistellige Operation haben - zum Beispiel in Liealgebren. Auch dort kann man sinnvoll über Quotientenalgebren reden. Das fehlt hier im Artikel noch bzw. kommt nicht raus. Ich werde es demnächst ergänzen. --EyeShape 22:20, 21. Apr. 2008 (CEST)

Ich glaube, das würde etwas zu weit führen - es seid denn du kannst mit einer allgemeinen, nicht assoziativen Idealtheorie aufwarten. Ich habe aber entsprechende Bemerkungen in den Artikel eingefügt, so dass dein berechtigter Einwand berücksichtigt ist. Gruss --RP/RPI 17:06, 27. Jun. 2008 (CEST)

Allgemeine Idealoperatoren

Müsste man nicht sagen, was das x in $(\;)_{x^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x^{*}},$ für ein Ding ist? Vielleicht auch, warum man einen * dabei braucht? Dann gibt es noch in === Algebraische Idealoperatoren === ein $x_{s}^{*}$ und später noch $x_{s}$ und $(\;)_{r}$. Sind das alles Variable oder Konstante oder Akronyme ? Und wenn, für was ? Es soll auch einen Hüllenoperator $(\;)_{d}$ geben, darf man wissen, was der macht?
Dann gibt es noch in == $r$-Idealoperatoren == die === Bemerkung === "$r$-Idealsysteme weisen alle wesentlichen Eigenschaften der $d$-Idealsysteme von Ringen auf, weshalb sie eine gute Untersuchung der Teilbarkeitsverhältnisse in $(S,\cdot )$ erlauben." Wenn das stimmt, könnte man noch einmal einen Verweis auf die Ideal (Ringtheorie) geben. -- Nomen4Omen 10:13, 22. Apr. 2011 (CEST)

$x^{*}$-Operatoren sind eine Verallgemeinerung von $x$-Operatoren, daher der *. $x$-Operatoren sind als allgemeine Idealoperatoren auf Halbgruppen gedacht, wobei für $x$ die Bezeichnung von jedem anderen Idealoperator mit den entsprechenden Eigenschaften eingesetzt werden kann (z.B. $r$ oder $d$). Der $d$-Operator ist, wie es im Artikel steht, der übliche Idealoperator auf Ringen. Der $r$-Operator ist zwar dem $d$-Operator nachempfunden, es muss aber kein Ring sein, auf dem er angewendet wird. Außerdem können verschiedene Idealoperatoren auf der gleichen Struktur – z.B. einem Ring – angewendet werden, so dass es verschiedene Idealsysteme auf dieser Struktur geben kann und zu deren Unterscheidung werden dann die Bezeichnungen gebraucht. Nicht jeder $r$-Operator auf einem Ring nimmt Rücksicht auf die Addition des Ringes, d.h. nicht bei jedem $r$-Operator müssen die zugehörigen $r$-Ideale – wie $d$-Ideale – Unterringe des Ringes sein. $x_{s}^{*}$ sowie $x_{s}$ steht für den jeweiligen algebraischen Idealoperator, der aus dem $x^{*}$- bzw. $x$-Operator in der beschriebenen Weise erzeugt wird (das macht natürlich nur dann Sinn, wenn der ursprüngliche Idealoperator nicht algebraisch ist). --RPI 20:17, 12. Mai 2011 (CEST)

Vielen Dank natürlich!
Die Frage bleibt aber, warum das nicht im Artikel gesagt wird. Vielleicht, indem man die Auswahl jeweils vorausschickt, bevor man mit den Definitionen beginnt. (So kann halt nur einer was mit anfangen, der eh schon alles weiß.) -- Nomen4Omen 16:23, 13. Mai 2011 (CEST)

Ich gebe ja zu, dass das sehr knapp gehalten ist, aber im Artikel werden zuerst die „klassischen“ (dedekindschen) Ringideale bzw. der zugehörige $d$-Idealoperator behandelt und dann allgemein die Idealoperatoren auf Halbgruppen. Es werden dann systematisch solche mit weiteren Eigenschaften betrachtet, wobei es sich von selbst versteht, dass der $d$-Idealoperator nur ein Spezialfall der Idealoperatoren auf Halbgruppen sein kann, weil bei diesen ja kein Ring, der eine viel stärkere algebraische Struktur ist als eine bloße Halbgruppe, zu Grunde gelegt wird. Unter den „klassischen“ Ringidealen werden außerdem als Beispiele für weitere Ideale u.a. die von Verbänden angemerkt, weshalb ein Ring nicht immer gegeben sein kann. Es ist also nicht so, dass das nicht im Artikel stehen würde, es wird nur nicht ausdrücklich betont. Bei den Bezeichnungen habe ich mich an die in der Literatur gehalten und bisher hatte auch niemand ein Problem damit, denn es gab keine diesbezügliche Diskussion und auch keine nennenswerte inhaltliche Überarbeitung des Artikels durch andere. Für Nicht-Mathematiker wird das alles allerdings etwas zu abstrakt sein. --RPI 23:53, 13. Mai 2011 (CEST)

Tipp: Versuche doch mal, die hauptsächlichen Aussagen mit Hilfe eines Beweisassistenten ehrlich zu formalisieren. Unbeholfene Ausflüchte wie "für Nicht-Mathematiker [...] zu abstrakt" erledigen sich dadurch vielleicht. Für einen Beweisassistenten ist nichts zu abstrakt (außer vielleicht zweifelhafte Beweismethoden). Er zwingt einen aber zu idiotensicherer Formulierung. --Daniel5Ko 00:45, 14. Mai 2011 (CEST)

Bevor man gut gemeinte Ratschläge gibt sollte man zuerst den Artikel gelesen haben: die hauptsächlichen Aussagen stehen dort nämlich formal korrekt drin. Nicht-Mathematiker tun sich nicht mit zu wenig Formalisierung schwer, sondern eher mit zu viel, weil's dann nämlich zu abstrakt bzw. unanschaulich wird. Sie neigen dann dazu, zu viel hineinzudeuten: Ein $x^{*}$-Operator ist nichts weiter als die in der Literatur zu findende Bezeichnung für einen der Definition entsprechenden Hüllenoperator, von einem „Ding“ $x$ ist keine Rede. Natürlich kann man auf alles Mögliche hinweisen und noch erläutern, ich habe mich aber im Artikel auf das Wesentliche beschränkt. Anstatt zu kritisieren kannst ja auch du den Artikel so umformulieren, dass er idiotensicher wird – vielleicht hilft dir ein Beweisassistent dabei. --RPI 03:13, 15. Mai 2011 (CEST)

Es geht nicht um Korrektheit. Ob die gegeben ist, vermag ich bisher überhaupt nicht zu erkennen, weil gar nicht klar ist, was die Aussage des Artikels sein soll. Der Hinweis zur Benutzung eines Beweisassistenten ist durchaus ernst und als möglicherweise hilfreich gemeint.

Man kann Zeug natürlich auch sinnlos überformalisieren, und sowas sieht man leider viel zu häufig in WP-Artikeln. *Aber*: ein solches Problem sehe ich hier nicht.

Und nein, ich kann den Artikel nicht entsprechend umformulieren, weil ich kaum erkennen kann worum's überhaupt geht.

Ich denke, die Wahrscheinlichkeit ist groß, dass eine explizite Formalisierung Hinweise darauf liefert, was betont werden sollte. --Daniel5Ko 03:57, 15. Mai 2011 (CEST)

Es geht offensichtlich um Idealoperatoren bzw. Idealsysteme und damit auch darum, was Ideale sind: Elemente eines Idealsystems. Hier werden die grundlegenden Begriffe für eine abstrakte Idealtheorie gegeben. --RPI 16:22, 15. Mai 2011 (CEST)

Vom Namen des Artikels her sollte man das glauben, ja. Die Essenz geht jedoch unter in einer Flut von langweiligen Technikalitäten, die eigentlich vor allem eher Monadenoperationen wiederkäuen. --Daniel5Ko 16:57, 15. Mai 2011 (CEST)

Verdammt! Jetzt hab' ich den Artikel so oft gelesen, dass er doch einigermaßen Sinn ergibt. :) Aber trotzdem mal ein paar konkretere Kritikpunkte; nummeriert zwecks einfacherer Antwort:

1. Der Abschnitt "Allgemeine Idealoperatoren" enthält zu ca. einem Drittel für den eigentlichen Begriff eher unerhebliche Notationsdefinitionen.
2. Links von $\mapsto$ steht oft etwas anderes als einfache Variablen oder Tupel solcher. Das ist nicht notwendig und wahrscheinlich verwirrend und schlecht.
3. Plan unklar. Ich denke, man kann das Vorhaben ungefähr zusammenfassen als geeignete (und sinnvolle und interessante und funktionierende) Erweiterung des Idealbegriffs von Ringelementen (oder halt allgemeiner) zu Mengen solcher. Das sollte man in einer möglichst korrekten Version auch irgendwo hinschreiben.
4. (Der o.g. Monadenteil ist wahrscheinlich nicht so einfach herausoperierbar (im Sinne von Modularität); dies wäre zwar wünschenswert, geht aber in Richtung TF, weil aufgrund fehlender Notwendigkeit es bisher offenbar niemand für nützlich hielt.)

--Daniel5Ko 01:30, 16. Mai 2011 (CEST)

Was meinst du mit „Monadenoperationen“ (ich bin kein Kategorientheoretiker)?

1. Die Notationsdefinitionen sind nicht unerheblich, weil sie anschließend noch benutzt werden. Außerdem sind das nur ein paar Grundlegende Notationen und Begriffe – unter einer „Flut“ verstehe ich etwas anderes!
2. $\mapsto$ gehört jeweils zu einer einfachen Abbildungsvorschrift, die einem Element oder einem geordneten Paar von Elementen (je nach Operation) des jeweiligen Definitionsbereichs ein Bild aus dem Wertebereich zuordnet. Ich habe dabei bewusst eine ausführliche, vollkommen übliche Notation gewählt, damit auch klar ist, was da auf was abgebildet wird. Was verwirrt dich daran?
3. Es geht um eine Erweiterung des Idealbegriffs von (abstrakten) Ringen und steht auch so im Artikel. Dass Ringideale wiederum eine Abstraktion von Idealen in (konkreten) Zahlenbereichen darstellen, die in der Regel Ringe sind, habe ich nicht thematisiert, weil das in die entsprechenden Artikel zur Ringtheorie gehört.
4. ?

--RPI 11:24, 16. Mai 2011 (CEST)

(Entrückt) Mit Monadenoperationen meinte ich vor allem das Liften von $\cdot$, sodass es nicht auf $S$-Elementen arbeitet, sondern auf S-Teilmengen. Inzwischen habe ich aber bemerkt, dass mindestens zwei Monaden im Spiel sind, deren Interaktion ich gerade nicht so einfach überblicken kann. (Einmal die, die sich aus einem konstruktiven Beweis des Erfüllt-seins der Hüllenoperatoraxiome ergibt (Hüllenoperator H als Endofunktor), und eine mit ${\mathcal {P}}$ als Endofunktor) Ich halte die Erwähnung nicht mehr für sinnvoll.

1. Jupp, das ist ja durchaus sinnvoll. Aber eben nicht für die Begriffe, sondern nur für die Darstellung durch den vorliegenden Artikel.
2. Es steht doch jeweils wenige Zeichen weiter links, aus welchen Mengen die Operanden stammen. Das sollte reichen. Links vom $\mapsto$ stehen Muster, die unter anderem Variablen enthalten, die dann im Ausdruck rechts davon den entsprechenden Wert haben. Was sonst noch vorkommen kann, sind (mal im FP-Jargon) Wertkonstruktoren wie $(.,.)$ bei denen dann ausgenutzt wird, dass sie injektiv sind, und die gewissermaßen rückwärts angewendet werden (im (.,.)-Beispiel: die beiden Werte aus dem Paar werden extrahiert und an die im Muster verwendeten Variablen gebunden). $()_{x}$ etc. ist daher völlig fehl am Platz, weil im gleichen Artikel die selbe Syntax für die Anwendung einer i.A. nicht injektiven Funktion verwendet wird. Man könnte natürlich sagen: Ist doch egal, an dieser Stelle ist es einfach ein bedeutungsloser Bestandteil des Namens, der an etwas erinnern soll. Gut ist das aber nicht. Es kann nämlich sein, dass sich jemand die Frage stellt, warum das an diesen Stellen gemacht wird, und an anderen nicht — steckt vielleicht doch etwas inhaltliches dahinter?
3. Hmmmm. K.
4. Inzwischen Unfug, siehe Punkt 0. Ich hegte die Vermutung, dass man besser separieren können müsste. So wie halt $441z+9y^{2}z+81y^{2}+126yz+1134y+49x^{2}z+x^{2}y^{2}z+9x^{2}y^{2}+14x^{2}yz+126x^{2}y+441x^{2}+294xz+6xy^{2}z+54xy^{2}+84xyz+756xy+2646x+3969$ in der Form $(z+9)(x+3)^{2}(y+7)^{2}$ übersichtlicher sein kann, kann man ähnliches mit Programmen und Theorien anstellen, wenn man nur die richtigen Faktoren findet .

Gruß, --Daniel5Ko 21:45, 16. Mai 2011 (CEST)

Wie schon gesagt: ich bin kein Kategorientheoretiker (was ist ein „Endofunktor“?).

1. Das sind nur wenige grundlegende Begriffe, die allgemeingültig definiert werden, daran hat sich bisher noch niemand gestört – außer dir. Wenn's dir also nicht gefällt, dann kannst du's ja auch überlesen. Ich finde, dass diese Begriffe dazu gehören und deshalb drin bleiben sollten, auch wenn's vielleicht stilistisch nicht so schön sein sollte.
2. Wo stehen links vom $\mapsto$ Muster? Es stehen dort die Bezeichnung der Abbildung, ein Doppelpunkt gefolgt vom Defintionsbereich, $\to$ und dem Wertebereich, Komma und schließlich beginnt die Abbildungsvorschrift mit einem Element aus dem Defintionsbereich, dann kommt $\mapsto$ und der Rest der Abbildungsvorschrift. Welche Variable bekommt denn da einen Wert – oder meinst du damit das Element aus dem Defintionsbereich in der Abbildungsvorschrift? Ich kenne außerdem keinen „FP-Jargon“, drücke dich also bitte allgemeinverständlich aus! Injektive Funktionen tauchen im ganzen Artikel nicht auf, was willst du also damit?
3. .
4. Was willst du „separieren“?

Gruß --RPI 13:01, 19. Mai 2011 (CEST)

4) Wie gesagt, ich hegte die Vermutung, dass da eine nette Monade schlummert, die man vielleicht herausholen könnte. Hat sich inzwischen zerschlagen, weil es wenn, dann mehrere sind, die sich nicht straight-forward kombinieren lassen. Vielleicht geht's auch überhaupt nicht oder lohnt sich nicht. Entsprechende Literatur habe ich bisher jedenfalls nicht gefunden.

0) Zum EndoFunktor: Einfaches Beispiel in Set: jedem Objekt (in dem Beispiel: Menge) wird ihre Potenzmenge zugeordnet; jedem Morphismus $f\colon A\to B$ (in dem Beispiel: Funktion) ein Morphismus $f'\colon {\mathcal {P}}(A)\to {\mathcal {P}}(B),M\mapsto \{f(a)|a\in M\}$. Dieses Endofunktorbeispiel wird mit $\mu _{X}\colon {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))\to {\mathcal {P}}(X),M\mapsto \bigcup M$ und $\eta _{X}\colon X\to {\mathcal {P}}(X),x\mapsto \{x\}$ zu 'ner Monade (Kategorientheorie). Die andere erwähnte Monade (also die, die sich aus den Hüllenoperatoraxiomen ergibt), funktioniert scheinbar erstmal nur für eine ziemlich armselige Kategorie, wo nur Morphismen existieren, die lediglich $\subseteq$ repräsentieren.

1) Gut und schön, ich kann's überlesen. Es kann aber in die Irre führen (Gefahr jedoch gering, und Irrweg schnell erkennbar), und steht zudem vollausgeprägtem destructuring assignment im Weg. Letzteres ist schade, stört hier aber nicht.

Gruß, --Daniel5Ko 14:51, 19. Mai 2011 (CEST)

4) Wie du meinst.

0) Gut und schön, aber höchstens für Kategorientheoretiker interessant.

1) Um da nicht in die Irre geführt zu werden, muss man nur richtig lesen können. --RPI 23:57, 19. Mai 2011 (CEST)

Deine Änderungen waren keine Verbesserung, insbesondere ist es überflüssig Hauptideale extra zu definieren, wenn das schon durch die Definition der endlich erzeugten Ideale erledigt ist. --RPI 13:26, 19. Mai 2011 (CEST)

Was heißt denn "extra"? Die Hauptideale sind jetzt genauso "extra" definiert wie vorher. Das war lediglich temporär ohne die Benutzung der wahrscheinlich nichts bringenden Notation für endlich erzeugte Ideale formuliert. (Ich tippe mal, wenn man die weglässt, und den Rest des Artikels entsprechend anpasst, wird der Artikel kleiner, nicht größer.) Es mag sein, dass die Notation gebräuchlich ist; von großer Bedeutung oder notwendig ist sie aber nicht.

Gruß, --Daniel5Ko 14:51, 19. Mai 2011 (CEST)

Nein, die Hauptideale sind nicht extra definiert! Du siehst wohl nicht, dass nur noch der Begriff des Hauptideals erwähnt wird, während du extra $(a)_{x^{*}}:=(\{a\})_{x^{*}}$ definierst. Die Notation $(a_{1},\cdots ,a_{n})$ für endlich erzeugte Ideale ist schon lang allgemein üblich (kommutative Algebra) und muss selbstverständlich definiert werden! Ist die Kategorientheorie etwa von großer Bedeutung oder notwendig? Gruß --RPI 23:57, 19. Mai 2011 (CEST)

"Hauptideal" ist ein Begriff mit einem Namen. Den Begriff kann man ohne Rückgriff auf eine Notation mit zweifelhafter Nützlichkeit definieren. Ich sehe nichts schlechtes daran, die beiden auseinanderzuhalten. Genauso kann man auch endlich erzeugte Ideale ohne Rückgriff auf die Notation definieren. Bitte auch mal erklären, was die Notation bringt, außer dass sie schon in vielen Büchern u.ä. steht, und man sich damit zuhause fühlen kann. Wo ist das Problem, Notation als relativ egale Nebensächlichkeit zu erkennen? Wenn man erstmal verstanden hat, worum's geht, ist sie nützlich und ermöglicht (bei guter Wahl) konzise und schöne Ausdrucksweisen. Vorher lenkt sie nur ab. --Daniel5Ko 00:26, 20. Mai 2011 (CEST)

Es könnte ja einen Grund geben, dass eine bestimmte Notation in vielen Büchern u.ä. steht! Es ist gar nichts zweifelhaft an der Nützlichkeit, endliche Ideale so zu notieren: man erspart es sich nämlich, ständig die Mengenklammern zusätzlich schreiben zu müssen. Es ist also zweckmäßig und konzise für jeden Algebraiker, der viel mit endlichen Idealen zu tun hat und solche oft schreiben muss: Definitionen haben auch den Zweck, sich das Leben leichter zu machen. Ich sehe auch nicht, was daran unschön sein sollte. Außerdem ist es in der Mathematik mit Begriffen und Notationen nicht anders als in anderen Wissenschaften: sie wachsen historisch. Selbst wenn sie deshalb vielleicht nicht immer optimal sein sollten, so dienen sie trotzdem dem Verständnis: es gäbe ein verwirrendes Durcheinander, wenn jeder seine Privatnotation gebrauchen würde. Eine Notation sollte außerdem das Beweisen erleichtern: Jeder der schon einmal mit einer unzweckmäßigen Definition versuchte, Beweise zu führen, kennt den Wert einer guten, intuitiven Definition (das gilt sowohl für Begriffe als auch für Notationen). Eine Stärke der Mathematik ist es aber gerade, dass man auf der ganzen Welt eine mehr oder weniger einheitliche Symbolik hat, so dass man sogar einen entsprechenden Beweis in einer anderen Sprache, die man selbst nicht beherrscht, u.U. verstehen kann. Wenn du dich an Standardnotationen störst, dann ist das dein Privatproblem, für Wikipedia ist das aber nicht von Bedeutung! --RPI 11:15, 20. Mai 2011 (CEST)

(Entrückt) Mir geht es nicht darum, Notation zu ändern, abzuschaffen, oder einzuführen, sondern darum, dass der Fokus etwas mehr auf die wichtigen Dinge gelegt wird. Das hatte ich mit meiner Änderung angestrebt. Mal ein anderes Beispiel: Es hilft bei der Definition dessen, was eine Funktion ist, überhaupt nicht, zu wissen, dass Funktionsanwendungen meistens so $f(x)$ geschrieben werden. Auch kommt in Definitionen von z.B. Ringen selten vor, dass $x+y\cdot z$ als $x+(y\cdot z)$ zu lesen ist. (Naja, letzteres eher weil's Quatsch wäre...) Wie dem auch sei, lassen wir's dabei bewenden. --Daniel5Ko 16:20, 20. Mai 2011 (CEST)

Die wichtigen Dinge dieses Artikels sind – wie es am Anfang des Artikels steht – Idealoperatoren, Idealsysteme und Ideale. Idealoperatoren und -systeme werden, ebenso wie im Artikel über Hüllenoperatoren die Hüllenoperatoren und -systeme, gleichermaßen behandelt, weil sie gleichwertig sind und zu beiden mehr oder weniger das gleiche geschrieben werden müsste, was in einem Artikel zusammengefasst wurde. Der Begriff des Ideals ergibt sich dann sofort und endliche Ideale, insbesondere Hauptideale, spielen eine fundamentale Rolle u.a. in der kommutativen Algebra und der algebraischen Zahlentheorie (noethersche Ringe und Hauptidealringe). Andere spezielle Ideale werden nicht behandelt, so dass hier der Artikel auf das wesentliche beschränkt bleibt.

Das mit der Klammerung in Definitionen von Ringen meinst du doch nicht etwa ernst? Ersteres ist nämlich nur eine Konvention zur Klammerersparnis und hat die Bedeutung von Letzterem. --RPI 20:52, 20. Mai 2011 (CEST)

Ich verstehe den ersten Teil der Antwort nicht (d.h. ich weiß nicht, worauf du antwortest). Mein vorhergehender Beitrag war nur nochmal eine Begründung für meine letzte Änderung am Artikel, also die, wo ich ein bisschen ge-inline-t und herumpermutiert habe. Da kam unmöglich etwas unwesentliches dazu. Vielmehr ist etwas, was ich für nicht so wesentlich hielt, weniger betont und an den Rand gedrängt worden: Notation halt ganz ans Ende der dortigen Definitionskollektion.

Die Hüllenoperatoren kamen auf dieser Diskussionsseite nur ins Gespräch, weil ich meine Monadenvermutung damit begründet habe. (Idealoperatoren sind ja auf jeden Fall erstmal Hüllenoperatoren mit weiteren Bedingungen) Ich hielte auf keinen Fall etwas davon, deren Definition hier im Artikel zu wiederholen. Die ist ja verlinkt.

Antwort auf die letzte Frage: Doch, ich meine das schon irgendwie ernst. Der Sinn war, ein Beispiel anzugeben, wo eindeutig klar ist, dass es nur ein Notationsding ist, und nicht etwa eine Eigenschaft von Ringen.

Gruß, --Daniel5Ko 21:37, 20. Mai 2011 (CEST)

Du bist aber wirklich ein schwieriger Fall! Du hattest geschrieben, dass es dir darum ging, dass der Fokus mehr auf die wichtigen Dinge gelegt wird. Draufhin habe ich dir noch einmal aufgezeigt, was die wichtigen Dinge dieses Artikels sind und dass der Fokus darauf liegt. Mit deiner Meinung, Notationen seien unwichtig, liegst du einfach falsch, denn durch geeignete Notationen kann man erst bestimmte Zusammenhänge erkennen. Die Entwicklung der Formelsprache hat zu einen „Quantensprung“ in der Entwicklung der Mathematik und anderer Wissenschaften geführt und erst eine gute Notation erlaubt es, die Wirksamkeit dieses Werkzeugs voll zu entfalten.

Ich habe nicht geschrieben, dass die Definition von Hüllenoperatoren hier im Artikel wiederholt werden soll, sondern lediglich auf den entsprechenden Artikel hingewiesen, der genauso Hüllensysteme behandelt, d.h. ein Artikel mit dem Thema „Hüllenoperator“ kann tatsächlich ein Artikel über Hüllenoperatoren und Hüllensysteme sein. Das gilt entsprechend auch hier für den Artikel „Idealoperator“.

„Punktrechnung vor Strichrechnung“ ist nur eine Verabredung und hat zur Folge, dass $x+y\cdot z$ die Bedeutung von $x+(y\cdot z)$ hat. Bevor man diese Verabredung benutzt, muss sie streng genommen angeführt werden, denn sonst ist der Ausdruck $x+y\cdot z$ nicht eindeutig. Aus Schreibfaulheit spart man sich das oft und solche Ausdrücke werden in der Regel von Lesern auch richtig interpretiert, aber nur, weil sie diese Verabredung vom Rechnen mit Zahlen so stark verinnerlicht haben, dass sie sie auch bei Ringen automatisch anwenden. Formal korrekt ist das aber nur, wenn im Anschluss an die Definition des Ringes diese Verabredung ausdrücklich allgemein für Ringe getroffen wird. Was wäre denn eigentlich an $x+(y\cdot z)$ Quatsch – oder wie soll ich deine eingeklammerte Anmerkung oben verstehen? --RPI 13:45, 21. Mai 2011 (CEST)

Ich meinte das mit dem "Quatsch" oben so: Die Präzedenz hängt einzig an den Symbolen. Man kann sie unmöglich in einem Axiom für Ringe unterbringen, ohne eine Seltsamkeit zu erhalten, die definitiv keine Ringdefinition mehr ist. --Daniel5Ko 14:29, 21. Mai 2011 (CEST)

In der Regel gibt es keine Rangordnung der Operationen (außer in Programmiersprachen), sie muss deshalb extra für die jeweiligen Operationen festgelegt werden. Das gilt selbstverständlich auch für Ringe, denn deren Definition enthält keine Rangordnung für die Ringoperationen. --RPI 01:38, 22. Mai 2011 (CEST)

Genau darauf wollte ich mit dem Beispiel hinaus. (Zum Sinn: Beachte, dass dies Teil einer Argumentation rund um Notation und Trennung von "echten" Begriffen war.)

Noch was am Rande: Natürlich kann man auch in einigen Programmiersprachen Präzedenzen und Assoziativitäten definieren, und ist nicht auf vorgegebenes eingeschränkt. --Daniel5Ko 03:36, 22. Mai 2011 (CEST)