Diskussion:Kanonische Transformation

Meiner Meinung sollte hier geschrieben werden, dass die Koordinaten und Impulse transformiert werden. Außerdem sollte noch ein bisschen über die Erzegenden gesagt werden. Seht ihr das genau so? Sinned 20:09, 8. Jul 2006 (CEST)

Sehe ich auch so. Vielleicht findet sich jemand, der sich auskennt und eine Ergänzung vornimmt. -- 84.151.237.198 12:28, 16. Jul 2006 (CEST)

Ich setze mich mal hin kuemmere mich darum.....

Der Artikel wurde ueberarbeitet. Die Definition einer kan.Transf. hat im uebrigen auch gefehlt. Vielleicht kann mal jemand gegenlesen und ein paar Beispiele hinzufuegen. Dann waere das eine runde Sache.

Hi, bin gerade etwas verwundert. Da steht das p nach Q und q nach P transformiert wird. Sollte das nicht eigentlich p nach P und q nach Q, also nicht Impuls alt auf Ort neu sondern Impuls alt auf Impuls neu? bis später (nicht signierter Beitrag von P91 (Diskussion | Beiträge) 20:32, 3. Feb. 2010 (CET))

• Ist $\left\{f,g\right\}_{q,p}$ das selbe, wie $\left\{g,f\right\}_{p,q}$ und die Indizes an der Klammer hinten geben an, nach was die erste und zweite Ableitung ist?

Antwort: Der erste Ausdruck gibt ausgeschrieben ${\frac {\partial f}{\partial q}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial p}}-{\frac {\partial g}{\partial q}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial p}}$, der zweite gibt dasselbe "in Grün"(nach Multiplikation mit (-1)x(-1)). - MfG,Meier99 18:46, 3. Feb. 2010 (CET)

Kanonische Formen

Hallo!

In dem jetzigen Zustand ist der Artikel kaum brauchbar. Die Behauptung, kanonische Transformationen seien genau die Transformationen, die die hamiltonsche Struktur erhalten, ist schlichtweg falsch. Zwar erhalten kanonische Transformationen die hamiltonsche Struktur, aber die Umkehrung ist nicht richtig (keine Ahnung, was im Goldstein steht; im Landau/Lifschitz wird wenigstens darauf hingewiesen und bei Arnol'd und Thirring wird dieser Versuch einer Definition überhaupt nicht verfolgt). Zum Beispiel ist die Transformation $\Psi :(q,p)\mapsto ({\bar {q}},{\bar {p}}):=(\alpha q,p)$ nicht kanonisch, obwohl die Hamiltonfunktion ${\bar {H}}({\bar {q}},{\bar {p}})=H({\frac {\bar {q}}{\alpha }},{\bar {p}})$ die korrekten Bewegungsgleichungen liefert. Korrekt ist: Kanonische Transformationen sind die Transformationen, die die kanonische Form $\omega =dq^{i}\wedge dp_{i}$ erhalten. Nun kann man das sicher unterschiedlich definieren. Fakt ist aber, dass nur die so definierten kanonischen Transformationen aus einer erzeugenden Funktion hergeleitet werden können (das ist dann sehr einfach zu beweisen, weil ja $\omega =-d\Theta =:-d(p_{i}dq^{i})$ ist und nach dem Poincaré-Lemma $\Psi _{*}\omega ={\bar {\omega }}\,\Rightarrow \,\Psi _{*}\Theta ={\bar {\Theta }}+dF$ gelten muss, also $p_{i}dq^{i}={\bar {p}}_{i}d{\bar {q}}^{i}+dF=-q^{i}dp_{i}+dF^{*}$ mit $F^{*}=F+p_{i}q^{i}$, woraus sich sowohl die Formeln für die Transformationen als auch die Bedingungen für ihre Gültigkeit ergeben, die hier gar nicht erwähnt werden). Fakt ist auch, dass nur für so definierte kanonische Transformationen der Satz von Liouville anwendbar ist (es ist nämlich $dq^{1}\wedge \dots \wedge dq^{n}\wedge dp_{1}\wedge \dots \wedge dp_{n}=\omega \wedge \dots \wedge \omega$). Über die kanonische Form wird eine Beziehung zwischen Koordinaten und Impulsen gegeben, die auf dem Kotangentialbündel des Konfigurationsraums kanonisch gegeben ist (und es somit zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit machen). Sie gestattet es auch, 1-Formen in Vektorfelder umzuwandeln und umgekehrt, und es gibt einen direkten Zusammenhang zur Poissonklammer. Die Erhaltung der kanonischen Form ist somit äquivalent zur Erhaltung der Poisson-Klammer. Diese muss man dann aber auch fordern und sie folgt nicht, wie in diesem Artikel behauptet, aus der Erhaltung der hamiltonschen Form. Mir ist bewusst, dass viele Physiker nicht wissen, was eine Differentialform ist, und somit der Artikel nicht im Cartanschen Kalkül formuliert werden kann (aus diesem Grund gibt es in der englischsprachigen Wikipedia die zwei Artikel Canonical Transformation und Symplectomorphism). Trotzdem sollte auf die Einschränkung bzw. die Unterscheidung hingewiesen werden.2A02:810A:640:2424:A420:8548:20A7:D456 19:07, 24. Mär. 2015 (CET)

Die obige Transformation $\Psi :(q,p)\mapsto ({\bar {q}},{\bar {p}}):=(\alpha q,p)$ erhält nicht die Struktur der Hamiltongleichungen. Die beiden Definitionen ("Erhält Struktur der Hamiltongleichung" und "erhält die kanonische Form") sind meines Wissens nach äquivalent. Besonders der zeitinvariante Fall (und die obige Transformation ist zeitinvariant) ist einfach zu beweisen.In diesem Sinne ist die Kritik hier nicht gerechtfertigt. --LennartFalter 14:07, 29. Jan. 2019 (CET)

Die Kritik ist gerechtfertigt (dass der Artikel "kaum brauchbar" wäre, kann ich aus dieser Kritik allein allerdings nicht folgern). Tatsächlich sollte man schreiben, dass die symplektische Struktur erhalten bleibt o.ä., nicht die "hamiltonsche Struktur". Diese Formulierung ist ja ohnehin etwas schwammig. Aber richtig: die Begriffe sollten präzisiert werden, damit die Folgerungen auch mathematisch wasserdicht sind. Ich stimme also zu: auf die Einschränkung muss hingewiesen werden. Umformulierungsvorschlag? Ich halte den Artikel übrigens auch für problematisch, weil er weder allgemeinverständlich (kein Beispiel, keine Erklärung von irgendetwas) noch exakt ist. So ein Zwischending hilft dann natürlich beiden Seiten nicht. --CWitte (Diskussion) 23:51, 24. Mär. 2015 (CET)

Na ja, "kaum brauchbar" bezog sich auf den Nutzen, den ein Leser daraus zieht, nicht auf sein Potential, verbessert zu werden. Er ist nicht in sich stimmig: Der Kritikpunkt meinerseits ist nicht, dass kanonische Transformationen hier anders als üblich definiert werden (denn diese Definition findet man leider in vielen Lehrbüchern – ich weiß nicht, was sich die Autoren dabei denken bzw. wozu das gut sein soll), sondern dass die verwendeten Sätze nicht im allgemeinen Rahmen der hier gebrachten Definitionen gültig sind. Ich weiß auch nicht, inwiefern ein Artikel über ein so abstraktes Thema allgemein verständlich sein kann. Jedenfalls Physiker/Physikstudenten sollten aber in der Lage sein, ihn zu verstehen, da kanonische Transformation meiner Meinung nach zum Allgemeinwissen eines Physikers gehören. Und ich kann mir nicht vorstellen, dass der Artikel für jemanden verständlich ist, der vorher noch nichts von kanonischen Transformationen gehört hat. Ich schaue mal im Goldstein nach, wie es dort steht, aber ich habe auch keine Schwierigkeiten, mir vorzustellen, dass es dort haargenau so steht wie hier. Meine Hoffnung war, im Scheck eine gut verständliche Erklärung zu finden, aber ich wurde enttäuscht. Am besten geeignet finde ich die Definition in "Theoretische Physik" von Peter Hertel: Transformationen des Phasenraums auf sich selber, die die kanonischen Regeln für die Poisson-Klammern $\lbrace Q_{j},Q_{k}\rbrace =\lbrace P_{j},P_{k}\rbrace =0,\lbrace Q_{j},P_{k}\rbrace =\delta _{jk}$ erhalten, heißen kanonische Transformationen.

Fürs erste wäre es wohl damit getan, der Definition diese Zusatzbedingung hinzuzufügen oder wenigstens darauf hinzuweisen, dass für einige Aspekte diese Zusatzbedingung wichtig ist. Ich würde mir allerdings auch einen Abschnitt über die differentialgeometrische Behandlung wünschen oder einen Link auf einen Artikel, in dem sie dargestellt wird (falls es in der deutschen Wikipedia einen gibt, habe ich ihn noch nicht gefunden). Ich kann auch versuchen, diese Teile selbst zu schreiben. Nur weiß ich nicht, wie hier in der Wikipedia das übliche Vorgehen ist: Sollte der Artikel einfach so geändert werden und auf eine Bestätigung gewartet werden? --2A02:810A:640:2424:A420:8548:20A7:D456 01:33, 25. Mär. 2015 (CET)

Ich nochmal. Zur Quellenlage: Den Goldstein findet man hier als PDF: www.cmi.ac.in/~souvik/books/mech/Goldstein.pdf. Auf Seite 379f wird dort auch die etwaige Notwendigkeit einer Skalentransformation diskutiert. Den Arnold gibt es hier: http://debian.fmi.uni-sofia.bg/~horozov/HamiltonianSystems/Arnold%20V%20I%20Mathematical%20Methods%20Of%20Classical%20Mechanics%20(2Ed,%20Springer,%201989)(536S).pdf. Dort wird auf PDF-Seite 258 in einer Fußnote auf die Unstimmigkeit hingewiesen. --2A02:810A:640:2424:A420:8548:20A7:D456 02:14, 25. Mär. 2015 (CET)

Vorgehen so wie gerade jetzt: Problem auf der Diskussionsseite schildern, Meinungen einholen, ändern. Ich würde folgende Änderung vorschlagen:

In der klassischen Mechanik bezeichnet man Koordinatentransformation im Phasenraum als kanonisch, die die kanonischen Regeln für die Poisson-Klammern $\lbrace Q_{j},Q_{k}\rbrace =\lbrace P_{j},P_{k}\rbrace =0,\lbrace Q_{j},P_{k}\rbrace =\delta _{jk}$erhalten. Solche Transformationen zeichnen sich dadurch aus, dass sie die hamiltonschen Gleichungen invariant lassen.

Weiteren Ausbau des Artikels insbesondere mit differentialgeometrischer Behandlung würde ich begrüßen. Übrigens: bei Abraham/Marsden "Foundations of Mechanics" findet sich auf S.194/195 (3.3.18 ff) der Sachverhalt ganz gut dargestellt. Ach ja: an der Verständlichkeit der Einleitung sollte man aber auch mal arbeiten... (also, Verständlichkeit kann sich bei einem solchen Thema natürlich nur auf Leser beziehen, die zumindest die kanonische Mechanik kennen).--CWitte (Diskussion) 09:04, 25. Mär. 2015 (CET)

Ich habe jetzt erstmal einen Vorschlag fertiggestellt. Ich habe ursprünglich versucht, so wenig wie möglich zu verändern, habe aber schnell festgestellt, dass das nicht so einfach sein würde, weil der Artikel an vielen Stellen entweder unpräzise oder in sich unstimmig war (problematisch war auch, dass es überhaupt keine Belege gab, aber ich habe mich an allen Stellen bemüht, welche zu finden). Ich habe nochmal darüber nachgedacht: Die Poisson-Klammern zur Definition heranzuziehen, ist zwar möglich (wird beispielsweise bei Hertel "Theoretische Physik" auch so gemacht), aber vielleicht nicht am besten, weil man dann den Zusammenhang zu den erzeugenden Funktionen herstellen muss (oder zumindest sollte). Andererseits gehören Differential-1-Formen meiner Ansicht nach durchaus zum mathematischen Gemeingut in der Physik (Differentialformen höherer Ordnung nicht unbedingt). Also kann man sie auch zur Definition heranziehen, denn das ist wohl am direktesten. Im Abschnitt über die Poisson-Klammern waren die Aussagen etwas zu schwach dargestellt (einige Äquivalenzen waren dort bloß als Implikationen aufgeführt). Die Herleitung der erzeugenden Funktionen aus dem Extremalprinzip wäre sehr elegant, wäre sie richtig. Leider ist die Aussage zwar hinreichend, aber anscheinend nicht notwendig (also wieso aus der Gleichheit der Extrema die Gleichheit der Integranden bis auf ein totales Differential und Skalentransformation folgen soll). Jedenfalls habe ich außer diesem Artikel keine Quelle gefunden, die das behauptet, und mir ist auch nicht klar, wieso sie notwendig sein sollte. Daher hielt ich es für besser, diesen Teil in den Abschnitt "Definition" wenigstens zur Motivation aufzunehmen. Der Artikel war etwas unpräzise, was die Rolle der Zeitabhängigkeit angeht. Auf die durchaus relevanten Besonderheiten im zeitunabhängigen Fall ging er überhaupt nicht ein (in diesem Fall transformiert sich nämlich die Hamilton-Funktion natürlich). Daher habe ich den Einbezug der Zeitabhängigkeit in einem eigenen Abschnitt dargestellt. Beim Formalismus bin ich nicht Arnold (erweiterter Phasenraum = Phasenraum × {t}), sondern Thirring (erweiterter Konfigurationsraum = Konfigurationsraum × {t}, erweiterter Phasenraum = T*(erweiterter Konfigurationsraum)) gefolgt, weil die Vorgehensweise dort zum Einen einfacher (obwohl nicht unbedingt anschaulicher) ist und zum Anderen den Bezug zur Relativitätstheorie besser herstellt. Das erste Speichern war etwas voreilig, ich hatte dort noch kleinere Fehler drin (Schreibweise bei alten und neuen Koordinaten war uneinheitlich, außerdem waren die Formeln zu den erzeugenden Funktionen fehlerhaft, die Reihenfolge zudem unlogisch, mindestens ein Typo). Ich habe diese noch ausgebessert und zudem die Tabelle zu den erzeugenden Transformationen wieder integriert (ich hatte nach dem Umstrukturieren vergessen, sie wieder einzubinden). --95.90.210.153 00:09, 31. Mär. 2015 (CEST)

Determinanten

Im Abschnitt "Erzeugende Funktion" steht:

"Von den vier Teilmatrizen können einige singulär sein. Unter ihnen sind jedoch mindestens zwei reguläre, da für die Determinante einer Blockmatrix

$\det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C$

gilt."

Das ist im Allgemeinen schlicht falsch. Normalerweise liefert der laplacesche Entwicklungssatz nach Unterdeterminanten neben den beiden Termen der rechten Seite eine ganze Menge zusätzlicher Determinantenprodukte (im Fall von 2x2-Untermatrizen vier weitere). Allgemeines zur Berechnung der Determinante aus den Untermatrizen findet man im Wikipedia-Artikel "Determinante". Dem obigen Ausdruck am nächsten kommt dabei noch der Fall kommutierender Matrizen A,B,C,D, bei dem auf der rechten Seite steht:

$\det(AD-BC)$

Aber der ist hier ja nicht notwendigerweise gegeben.

Am besten ist es wahrscheinlich, diesen Satz einfach zu streichen und nichts über die Regularität der Blockmatrizen zu sagen oder aber, diese anders zu begründen, wenn es dafür ein Theorem gibt.

Krenska (Diskussion) 11:31, 12. Jan. 2016 (CET)

Völlig richtig. Wer's nicht glaubt:

$1=\det {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}\neq \det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C=0$

Daher: mach' es so, Krenska!--CWitte (Diskussion) 20:19, 12. Jan. 2016 (CET)