Diskussion:Kartesisches Produkt

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Abzählbar und überabzählbar viele Mengen

Hallo Quartl,

warum behandelst du die beiden Fälle getrennt? Für mich ist eine Folge nichts anderes als eine Funktion mit Definitionsbereich $\mathbb {N}$, so dass die Definition für den abzählbaren Fall einfach ein Spezialfall des allgemeinen Falls ist. Ich würde deshalb die beiden Fälle zusammenzulegen und nur als Spezialfall nennen, dass man im Fall $I=\mathbb {N}$ die Menge aller Folgen mit $a_{i}\in A_{i}$ erhält.

Man sollte außerdem dazusagen, dass man den Fall von endlich vielen Mengen auch als Spezialfall auffassen kann, indem man Tupel mit endlichen Folgen identifiziert. --Digamma (Diskussion) 21:42, 29. Okt. 2012 (CET)

Ja, so war es vorher auch. Meiner Erfahrung nach lohnt es sich aus didaktischen Gründen den abzählbaren Fall separat zu behandeln. Für unsereins ist der Zugang über allgemeine Indexmengen natürlich, (Studien-)Anfänger haben da aber noch Schwierigkeiten und über das kartesische Produkt kann man sich gut den verschiedenen Unendlichkeiten nähern. Zu den Mächtigkeiten wollte ich evtl. auch noch was ergänzen. Aber vielleicht hast du recht, ich werde nochmal drüber schlafen. Der Hinweis auf die Spezialfälle ist übrigens im Abschnitt zu den überabzählbaren Produkten drin (evtl. etwas knapp). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:03, 29. Okt. 2012 (CET)

Das "endlich" habe ich übersehen. --Digamma (Diskussion) 23:06, 29. Okt. 2012 (CET)

Ich habe die Reihenfolge nun wieder umgedreht, letztendlich weil man auch schon für den abzählbaren Fall die Existenz einer Auswahlfunktion braucht, um nichttriviale Eigenschaften zu zeigen. Besser so? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:25, 30. Okt. 2012 (CET)

Gefällt mir sehr gut. --Digamma (Diskussion) 22:26, 30. Okt. 2012 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Sigma^2 (Diskussion)

Widerspruch

Die Definitionen in den Abschnitten 1.1 und 2.1 widersprechen sich: Geordnete Paare sind keine 2-Tupel. --Hersilie (Diskussion) 11:35, 3. Nov. 2018 (CET)

Definitionen können sich nicht widersprechen. Es kann höchstens sein, dass verschiedene Definitionen eines Konzepts, die zugleich angenommen werden, bewirken, dass es kein Objekt gibt, das allen genügt.

Wer denkt, geordnete Paare seien keine 2-Tupel, hat irgendetwas wichtiges nicht verstanden und verwechselt wahrscheinlich ungenügende Kodierungen mit relevanten Dingen. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:58, 3. Nov. 2018 (CET)

Sicher können sich Definitionen widersprechen: "A ist x" und "A ist nicht x" widerprechen sich. TiHa (Diskussion) 00:30, 4. Nov. 2018 (CET)

Richtig. Ich sprach (bzw.: wollte sprechen; war wohl zu unklar) nur von Definitionen der Form: "ein x ist ein Y, gdw. [blabla]" . --Daniel5Ko (Diskussion) 01:17, 4. Nov. 2018 (CET)

In der mathematischen Fachliteratur wird der genannte Widerspruch vermieden durch Zugrundelegung des bourbakischen Tupel-Begriffs. --Hersilie (Diskussion) 07:35, 4. Nov. 2018 (CET)

Was ist denn der bourbakische Tupel-Begriff und auf welche mathematische Fachkliteratur berufst du dich?

Ich habe mal nachgeschaut, was in dem Mengenlehrebuch von Kunen steht (Kenneth Kunen: Set Theory, North Holland 1980). Dort steht auf Seite 21:

7.22 Definition. For each $n$, $\langle x_{0},\ldots ,x_{n-1}\rangle$ is the function $s$ with domain $n$ such that $s(0)=x_{0},s(1)=x_{1},\dotsc ,s(n-1)=x_{n-1}$.

In the case $n=2$, this definition of $\langle x,y\rangle$ is inconsistent with the definition of ordered pair in §6. The more elementary definition, $\langle x,y\rangle =\{\{x\},\{x,y\}\}$ is convenient while developing basi properties of functions and relations, while Definition 7.22 becomes more useful when we wish to handle finite swquences of various finite length. In those few cases when it makes a difference which definition of $\langle x,y\rangle$ is intended, we shall say so explicitly.

Meine Schlussfolgerung: Im Allgemeinen kümmert es Mathematiker überhaupt nicht, dass es hier einander widersprechende Definitionen gibt. --Digamma (Diskussion) 19:14, 6. Nov. 2018 (CET)

@Digamma

Zu deiner Frage.

• Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre.

Deine Schlußfolgerung halte ich für bedenklich --Hersilie (Diskussion) 10:59, 7. Nov. 2018 (CET)

Hersilie, ich habe selbst bei Herrn Ebbinghaus Vorlesungen gehört. Ich bin mir sicher, dass er nicht deiner Meinung ist. Die mengentheoretische Definition mathematischer Objekte dient nur dazu, zu zeigen, dass es solche Objekte (mit den gewünschten Eigenschaften) gibt. Sie dient aber nicht dazu, zu definieren, was diese Objekte wirklich sind. --Digamma (Diskussion) 18:31, 7. Nov. 2018 (CET)

Digamma, habe ich eine Meinung geäußert? Der Name Ebbinghaus wurde von mir auf deine Frage nach dem bourbakische Tupel-Begriff genannt. --Hersilie (Diskussion) 09:14, 8. Nov. 2018 (CET)

Was sind denn die zwei Aussagen, die sich deiner Meinung nach widersprechen? TiHa (Diskussion) 08:45, 4. Nov. 2018 (CET)

Allgemeine Definition des Kartesischen Produktes

Ist $f$ eine Funktion, deren Elemente im Wertebereich Klassen sind, dann ist $f^{\times }:=\{t\mid {\text{Fkt}}(t)\land {\text{D}}_{t}={\text{D}}\!_{f}\land \forall x\in {\text{D}}\!_{f}:t(x)\in f(x)\}$ ein Kartesiches Produkt. Ist z.B. ${\text{D}}_{f}=\{i\}_{i=1}^{n}$, $n>1$, dann schreibt man üblicherweise $f^{\times }$ so: $f(1)\!\times \cdots f(n)$. --Hersilie (Diskussion) 09:08, 6. Nov. 2018 (CET)

Nochmals Widerspruch

Innerhalb einer mathematischen Abhandlung sich widersprechende Definitionen zuzulassen ist m.E. mehr als nur bedenklich.
Dem oben genannten Widerspruch entgeht man z.B. durch Benutzung der hier gegebenen Definition oder der alternativen Tupeldefinition. --Hersilie (Diskussion) 17:01, 25. Dez. 2018 (CET)

Verwendung es Begriffs "Klasse"

Im letzten Satz der Definition ist die Rede von "Klassen" und "echten Klassen". Wo sind diese Begriffe erklärt? (nicht signierter Beitrag von Hellerim (Diskussion | Beiträge) 00:19, 13. Jan. 2020 (CET))

Ich habe den Begriff jetzt wenigstens mal verlinkt. Danke für den Hinweis! -- HilberTraum (d, m) 19:42, 13. Jan. 2020 (CET)

Anfrage

Gilt die Aussage "$A_{1}\times \dotsb \times A_{n}=\{(a_{1},\dotsc ,a_{n})\mid a_{1}\in A_{1}\land \cdots a_{n}\in A_{n}\}$" für alle Terme $A_{i}$ die Mengen bezeichnen? --Hersilie (Diskussion) 17:26, 19. Jul. 2020 (CEST)

PS: Sind die Elemente von $\mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{2}$ 2-Tupel oder 3-Tupel? --Hersilie (Diskussion) 12:19, 23. Jul. 2020 (CEST)

Ich beantworte die Frage selbst: Es sind 2-Tupel, sonst hätte man $\mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{2\times }$ geschrieben. --Hersilie (Diskussion) 10:46, 23. Aug. 2020 (CEST)