Diskussion:Knotentheorie

Hab' mich mal mit 2 Grafiken aus meiner Diplomarbeit beteiligt. Soll hier noch mehr rein? z.B.

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--Monty 11:18, 1. Nov 2004 (CET)

Mathematische Definition

Hallo. Ich verstehe das Beispiel nicht so ganz. Soll es

$(radius,\;winkel,\;winkel)=\left({\frac {\frac {1}{\frac {a\cdot \pi }{180\cdot t}}}{\frac {b\cdot \pi }{180\cdot t}}}\right),\quad t=[0,360],\quad a=\pi ,\quad b=\pi$

heißen oder

${\begin{bmatrix}r\\\alpha \\\beta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\{\frac {a\cdot \pi }{180\cdot t}}\\{\frac {b\cdot \pi }{180\cdot t}}\end{bmatrix}},\quad t=[0,360],\quad a=\pi ,\quad b=\pi$

Wenn jemand weiß, wie es richtig sein soll, kann er/sie ja die entsprechende TeX-Zeile einfügen. Gruß, --^Stse _Plan? 13:57, 22. Jun 2006 (CEST)

Hab jetzt mal Formel ausgemistet und halbwegs verständliche Erklärung dazugeschrieben. Allerdings stimmt da noch immer irgendetwas nicht, denn bei den Kugelkoordinaten ist $\theta \in [-\pi ,\pi ]$, oder? Wer will, bitte ausplotten lassen und entsprechend korrigieren (hab die techn. Mittel dazu leider nicht ;) --Summentier 17:12, 15. Sep 2006 (CEST)

Also, falls sich noch wer für die Formel interessiert: ich bin eben über die grundlegende Idee gestoßen, sie herzuleiten: Das Ding lebt nicht auf einer Kugel, sondern auf einem Torus (wie eine ganze Klasse von ähnlichen Knoten). Der Rest ergibt sich dann. Wer sich das ganze in Maple anschauen möchte:

Phi := (r, R, phi, theta) -> [(r*cos(theta) + R)*cos(phi), (r*cos(theta) + R)*sin(phi), r*sin(theta)];
f := t -> [2*t, 3*t];
plot3d(Phi(1/3, 1, f(t)[1], f(t)[2]+s), t = 0 .. 2*Pi, s = -.5 .. .5, axes = frame, style = patch, grid = [100, 5]);

Die allgemeine Formel wäre dann [(r*cos(3*t)+R)*cos(2*t), (r*cos(3*t)+R)*sin(2*t), r*sin(3*t)]. -- Xorg 22:05, 21. Apr. 2007 (CEST)

Wissenschaftliche Studie / Knotenforschung

Sollte man den Inhalt dieser Quelle nicht in den Artikle einfließen lassen?--Tankwart 02:58, 6. Okt. 2007 (CEST)

Der Ansatz von Felix R. Paturi

Sollte man in dem Artikel nicht auch den Ansatz von Felix R. Paturi wiedergeben welcher dieser in seinem Buch "Mathematische Leckerbissen" beschreibt? (nicht signierter Beitrag von 79.240.26.96 (Diskussion) 10:46, 25. Aug. 2011 (CEST))

Man könnte die Dowker-Notation beschreiben, siehe englischer Artikel. Paturis Methode, die Notation matrixartig darzustellen, ist aber nicht Standard, sondern seine persönliche Vorliebe. Daher passt es vorerst nicht in die WP. -- KurtSchwitters 11:59, 25. Aug. 2011 (CEST)

Ambiente Isotopie

(Insbesondere @GroupCohomologist:) Ich denke, man sollte im Artikel erklären, warum man für die Äquivalenz von Knoten fordert, dass eine ambiente Isotopie existiert, und nicht nur, dass eine Isotopie (also eine Homotopie von Einbettungen) existiert. Steht dazu etwas in der zitierten Literatur? Gruß, --Digamma (Diskussion) 10:43, 25. Aug. 2014 (CEST)

Burde und Zieschang geben den Grund am Anfang ihres Buches an (Seiten 1-2; mir liegt die 2. Auflage vor): Wenn man nur den Knoten betrachten und nicht den umliegenden Raum, so kann man jeden Knoten durch eine stetige Isotopie wegmachen, indem man die Schnur so stramm zieht, dass der Knoten verschwindet. Als neue Benutzer bin ich aber noch nicht in der Lage, das passende Bild (Fig 1.1 auf Seite 2) nachzuzeichnen.

In etwas mehr Detail: Es gibt zwei Fallstricke bei der Mathematisierung des Knotenbegriffs, auch nachdem man beide Enden der Schnur zusammengebunden hat: man will wilde Knoten vermeiden, und den anschaulichen Äquivalenzbegriff präzise beschreiben. Es gibt zwei Wege, diese Fallstricke zu umschiffen: Erstens kann man sich auf stückweise linearen Knoten und ambiente Isotopie beschränken, diesen Weg wählen die meisten Autoren (Burde-Zieschang, Crowell-Fox, Lickorish, Reidemeister). Zweitens kann man sich auf glatten Knoten und glatte Isotopien beschränken: Crowell und Fox zeigen (2.1 auf Seite 5), dass jeder stetig differenzierbare Knoten zahm ist; und eine gute Quelle für die glatten Isotopien ist Florian Deloup: The fundamental group of the circle is trivial. In: The American Mathematical Monthly. Band 112, Nr. 5, Mai 2005, S. 417–425, doi:10.2307/30037492.  Da die meisten Bücher ambiente Isotopie benutzen, sollte der WP-Artikel dies auch tun. GroupCohomologist (Diskussion) 23:41, 25. Aug. 2014 (CEST)

Vielen Dank für deine Erklärung. Meinst du, dass es möglich wäre, etwas davon in den Artikel einzubauen? Falls du Unterstützung brauchst beim Erstellen von Bildern: Benutzer:MartinThoma ist immer gerne dazu bereit, siehe Benutzer:MartinThoma/Visualisierungen. --Digamma (Diskussion) 17:54, 29. Aug. 2014 (CEST)

Im Grunde ja, aber Bilder von Knoten sind schon wirklich extrem schwer gut zu machen... --Martin Thoma 21:23, 29. Aug. 2014 (CEST)

Ich habe jetzt einen Anfang gemacht, die restlichen Quellen füge ich in den nächsten Tagen hinzu. Es ginge um ein Bild: Fig 1.1 auf Seite 2 von Burde-Zieschang. Übrigens: Deutsch ist nicht meine Muttersprache, daher bin ich für sprachliche Ausbesserungen stets dankbar.GroupCohomologist (Diskussion) 17:09, 30. Aug. 2014 (CEST)

Sehr schön. Ich habe ein bisschen die Grammatik korrigiert. --Digamma (Diskussion) 23:03, 30. Aug. 2014 (CEST)

Meridian und Longitude

Die BKS Meridian verweist auf diesen Artikel, der Meridian eines Knotens wird hier aber gar nicht erklärt.--Pugo (Diskussion) 15:47, 16. Jun. 2016 (CEST)

Scheibenknoten

Der Abschnitt hat keine Belege. Es ist nicht klar, was mit einer "Scheibe im Halbraum $\mathbb {R} _{+}^{4}$" gemeint ist. Ich vermute, dass gemeint ist, dass die Scheibe eingebettet sein soll, sonst wäre die Eigenschaft wohl trivialerweise erfüllt. Im englischsprachen Artikel en:slice knot wird noch zwischen "smoothly embedded" und "locally flat" unterschieden. --Digamma (Diskussion) 19:57, 17. Jun. 2020 (CEST)

Der Punkt ist, dass die Scheibe nicht nur stetig eingebettet sein soll (das ginge immer), sondern differenzierbar (oder in einer schwächeren Definition zumindest lokal flach, was heißt, dass die Einbettung zu einer Einbettung einer Umgebung fortgesetzt werden kann).—Hoegiro (Diskussion) 06:10, 27. Aug. 2020 (CEST)

Meinst du mit "das ginge immer", dass wirklich immer eine stetige Einbettung existiert oder nur eine stetige Abbildung. Eine stetige Einbettung muss immerhin ein Homöomorphismus auf ihr Bild sein. --Digamma (Diskussion) 10:32, 27. Aug. 2020 (CEST)

Es gibt immer eine stetige Einbettung, indem man den Nullpunkt des R^4 jeweils durch eine Strecke mit jedem der Punkte auf dem Knoten im S^3 verbindet. Die Vereinigung dieser Strecken ist eine Scheibe (der Rand ist der Knoten, also ein eingebetteter Kreis) und es gibt keine Überschneidungen zwischen den Strecken.—Hoegiro (Diskussion) 12:24, 27. Aug. 2020 (CEST)

Ah, alles klar. Danke. --Digamma (Diskussion) 21:04, 27. Aug. 2020 (CEST)

Ich habe jetzt einen Artikel Scheibenknoten angelegt und vom hiesigen Abschnitt dorthin als Hauptartikel verlinkt. Ich bin aber nicht überzeugt, dass ein solch ausführlicher Abschnitt in diesem Übersichtsartikel überhaupt angebracht ist. Ich fände es sinnvoller, einen Abschnitt “Knotentypen” anzulegen, wo stichpunkthaft verschiedene Knotentypen erwähnt werden und auf die Hauptartikel verlinkt wird.—Hoegiro (Diskussion) 11:02, 12. Sep. 2020 (CEST)

Einen besonderen Gewinn sehe ich in den Einzelartikeln zu Scheibenknoten und Bandknoten nicht und würde vorschlagen, sie innerhalb des Artikels Knotentheorie zu belassen/abzuhandeln.

Nebenbei: wenn man mehr über Scheibenknoten berichten will, dann ist es auch sinnvoll, die Knoten-Konkordanzgruppe einzuführen. Aber selbst das ist, mit passenden Grafiken, hier in „Knotentheorie“ möglich. -- KurtSchwitters (Diskussion) 13:40, 14. Sep. 2020 (CEST)

Sorry, ich habe die Antwort jetzt erst gesehen. Ein Artikel über Knoten-Konkordanz sollte auf jeden Fall angelegt werden. Ansonsten enthalten die Artikel über Scheibenknoten und Bandknoten bereits jetzt viel mehr Informationen als sie hier im Artikel standen und mit einem Artikel über Knotenkonkordanz würde das entsprechend noch umfangreicher. Ich sehe auch nicht, warum man gerade diese Knotentypen hier so ausführlich behandeln sollte. Genausogut könnte man alle anderen Artikel über Knotentypen oder einzelne Knoten (siehe Kategorie:Knoten und Verschlingungen, und da könnten ja noch viele weitere dazukommen) hier im Artikel einbauen, damit ginge dann aber jedenfalls die Übersichtlichkeit verloren.—Hoegiro (Diskussion) 11:29, 16. Sep. 2020 (CEST)