Diskussion:Kontinuumshypothese

Non-Standard

Es ist auch möglich, eine Mathematik zu betreiben, die die Negation der Kontinuumshypothese beinhaltet. Arturo Sangalli hat letztere nicht-standard Mathematik untersucht. habe ich gelöscht. Erstens bedeutet "non-standard" etwas ganz anderes in der Mathematik, zweitens gibt es dutzende (wenn nicht Hunderte) von mathematischen Arbeiten über die Kontinuumshypothese und ihre Negation, und die von Arturo Sangalli sind sicher nicht die besten, bekanntesten oder repräsentativsten. Wuzel 18:31, 30. Apr 2004 (CEST)

Mal ne Frage. Ich bin hier eigentlich ganz fremd, und nur zufällig über Google auf diese Seite gekommen. Aber ich hätte trotzdem ne Frage. Es gibt doch zwei Kontinuumshypothesen. Sie werden meistens in die Kleine und die Große Kontinuumshypothese unterteilt. Die kleine KH sagt (etwas salopper ausgedrückt als im Artikel) dass es keine Mächtigkeiten zwischen aleph 0 und aleph 1 gibt (zu den transfiniten Kardinalzahlen aleph n wird hier überhauptnichts gesagt, auch nicht lobenswert), also zwischen |N| und |R| bzw. |N| und |P(N)|. Die Große Cantor'sche Kontinuumshypothese besagt, dass es außer den "ganzzahligen alephs" ebenfalls keine Mächtigkeiten gibt, also z.B. zwischen |PPP(N)| und |PPPP(N)| u.s.w. Aber ich lasse mich gerne eines Besseren belehren.

Danke für den Hinweis, hab das mal nachgetragen, ist in Kardinalzahl gestanden. Wenn du mehr dazu weisst, schreib was dazu. Unyxos 19:31, 27. Aug 2004 (CEST)

Zwischen Aleph 0 und Aleph 1 gibt es keine Mächtigkeit. Nur ist je nachdem ob die Kontinuumshypothese gilt oder nicht, die Mächtigkeit von R gleich Aleph 1 oder nicht. --88.217.19.242 17:39, 3. Mai 2007 (CEST)

Notation

Gibt es für $\left|\mathbb {R} \right|$ vielleicht doch noch andere Zeichen als ${\mathfrak {c}}$? http://www.fh-friedberg.de/users/boergens/marken/beispiele/cantor.htm -- Peter Steinberg 01:21, 19. Mai 2006 (CEST)

Es gibt natürlich $2^{\aleph _{0}}$, aber das ist für diesen Artikel ungeeignet.--Gunther 01:52, 19. Mai 2006 (CEST)

Warum wird im letzten Satz des Abschnitts "Aussage" die Bezeichnung $\aleph _{0}$ eingeführt und dann nicht verwendet? --79.195.237.242 14:14, 25. Nov. 2011 (CET)

Ich habe nun die Aleph-Notation auch für die verallgemeinerte Kontinuumshypothese verwendet.--FerdiBf (Diskussion) 23:00, 13. Nov. 2012 (CET)

Herleitung

Kann sein, dass ich einfach nicht drauf komme, aber im Artikel wird wie selbstverständlich davon ausgegangen, dass ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$, also dass $\left|\mathbb {R} \right|=\left|P(\mathbb {N} )\right|$, was ich nicht für trivial halte. Mir ist nur klar, dass $\left|\mathbb {R} \right|\leq \left|P(\mathbb {N} )\right|$ (Jede reelle Zahl kann z.B. mittels ihrer binären Darstellung eindeutig einer Untermenge der Natürlichen Zahlen zugeordnet werden. Allerdings werden hierbei nicht alle Untermengen getroffen.) Wenn die andere Richtung trivial ist, wäre ich für einen Hinweis dankbar, ansonsten sollte es vielleicht in den Artikel.

S.: O. Deiser: Einführung in die Mengenlehre. I.9. Springer, Berlin 2004, S.134-136. ISBN 3-540-20401-6 --Alexandar.R. 07:53, 17. Jul. 2007 (CEST)

Anwendungsbeispiel

Kann es sein, daß das Anwendungsbeispiel Fehler enthält? Das "insbesondere eine Lebesgue-Nullmenge" zum Beispiel steht nicht an der richtigen Stelle (wieso ist eine überabzählbare Menge insbesondere Lebesgue-Nullmenge, zumal wenn das Komplement auch noch abzählbar ist?). Außerdem sollte man sagen, was das Anwendungsbeispiel soll (schließlich kann man nicht-meßbare Funktionen auch ohne Kontinuumshypothese konstruieren). --129.132.170.228 14:29, 10. Jan. 2008 (CET)

Das Beispiel verwendet doch nur, dass abzählbare Mengen das Lebsegue-Maß 0 haben. Wahrscheinlich sind die hier geäußerten Bedenken hinfällig, wenn nicht, dann bitte melden.--FerdiBf (Diskussion) 23:11, 13. Nov. 2012 (CET)

Die hier geäußerten Bedenken stammen von Januar 2008 und sind inzwischen in der Tat hinfällig, weil ebenfalls 2008 der Fehler mit "abzählbar" und "überabzählbar" behoben wurde und seit 2009 darauf hingewiesen wird, dass man die Kontinuumshypothese nicht benötigt, um die Existenz von nicht-Lebesgue-messbaren Mengen zu konstruieren. Insofern ist dieser Beitrag hinfällig. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:58, 14. Nov. 2012 (CET)

Wahrheitswert

Ich habe etwas mit diesem Satz hier zu kämpfen: "Daher kann der Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre kein Wahrheitswert zugewiesen werden."

Meiner Meinung nach müsste da eher sowas stehen wie: "ZFC sagt weder aus, dass die CH in jedem Modell gilt, noch dass sie nicht gilt. Mit anderen Worten: es gibt Modelle von ZFC, in denen die CH gilt und welche, in denen sie nicht gilt."

Es ist lediglich nicht bekannt, ob die CH in der Standard-Mengenlehre gilt oder nicht - einen Wahrheitswert hat sie aber trotzdem.

Korrigiert mich, wenn ich da was falsch verstanden habe... --MBleichner 00:09, 22. Dez. 2009 (CET)

Gemeint waren die Standardaxiome (ZFC). Entsprechend eingeschränkt.--Claude J 10:56, 22. Dez. 2009 (CET)

Da der Artikel nicht genauer auf Modelltheorie eingeht, habe ich den Wahrheitswert aus dem Text entfernt.--FerdiBf (Diskussion) 23:04, 13. Nov. 2012 (CET)

Doch nochmal Anwendungsbeispiel

Jetzt, beim nochmaligen Drüberschauen, bin ich doch wieder etwas irritiert von dem Anwendungsbeispiel... Sollte dann in der Einleitung nicht vielleicht besser stehen, dass eine nichtmessbare Teilmenge des R^2 konstruiert wird, statt eine Teilmenge der reellen Zahlen? Denn die Menge A lebt ja im R^2 und nicht in R. Die Mengen A_x und A^y, die in R leben sind ja alle messbar. Oder übersehe ich etwas? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:20, 15. Nov. 2012 (CET)

Stimmt! Ich habe den Text entsprechend geändert.--FerdiBf (Diskussion) 21:34, 17. Nov. 2012 (CET)

Merci. :) --Cosine (Diskussion) 09:25, 19. Nov. 2012 (CET)

Wo ist das Problem gelöst?

Im Artikel steht das das Problem gelöst sei. Das stimmt aber gar nicht. Das Problem ist weiterhin offen. Also weg damit.--178.7.45.35 15:32, 17. Okt. 2015 (CEST)

Da die Mathematiker üblicher Weise das Axiomensystem ZFC verwenden (Mathematik ist damit alles, was aus ZFC folgt), ist das Problem der Kontinuumshypothese in dem Sinne gelöst, dass mittels ZFC bewiesen ist, dass weder die Kontinuumshypothese noch ihr Gegenteil aus ZFC gefolgert werden kann. Vor dem Hintergrund des allgemein akzeptierten Axiomensytems ZFC ist die Frage nach der Gültigkeit der Kontinuumshypothese damit erschöpfend beantwortet, man kann weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden. Das ist die Lösung. Verwenden Mathematiker über ZFC hinausgehende Axiome, zum Beispiel die Kontinuumshypothese selbst, so wird das stets angegeben.

Da Mathematiker den Anspruch erheben, die Wirklichkeit zu beschreiben, und da die reellen Zahlen eine zentrale Rolle in der Beschreibung der Wirklichkeit spielen (Koordinatensysteme in der Physik), könnte man die reellen Zahlen als Teil dieser Wirklichkeit ansehen und dann die Frage stellen, wie es "wirklich" um die Kontinuumshypothese steht, denn diese beschreibt ja eine Eigenschaft der reellen Zahlen. Diese Frage muss offen bleiben. Mathematisch wird hier natürlich auch geforscht. So kennt man viele andere von ZFC unabhängige Aussagen, die man als zusätzliche Axiome zu ZFC hinzufügen könnte, die Kontinuumshypothese ist nur eines von vielen Beispielen. Manche dieser Aussagen sind mit der Kontinuumshypothese verträglich, andere hingegen nicht. So könnte man in Zukunft vielleicht ein gegenüber ZFC erweitertes Axiomensystem verwenden, das einserseits plausibel (wirklichkeitsnah ?) ist und andererseits eine Entscheidung über die Kontinuumshypothese trifft. Aber auch dann bleibt es bei der oben gefundenen Lösung, dass mittels ZFC gezeigt werden kann, dass die Kontinuumshypothese von ZFC unabhängig ist.

Literatur zu diesen Themen ist im Artikel angegeben. "Set Theory" von Thomas Jech könnte für Unerschrockene noch empfohlen werden.--FerdiBf (Diskussion) 16:43, 17. Okt. 2015 (CEST)

Die Formulierung, wonach das Problem gelöst ist, finde ich irreführend. Die Suche nach geeigneten Axiomen, durch die sich CH entscheiden lässt, geht ja weiter. Kaum jemand gibt sich damit zufrieden, CH oder das Gegenteil einfach als weiteres Axiom hinzuzufügen oder es bei ZFC zu belassen. Das Problem ist innerhalb von ZFC gelöst, nicht mehr und nicht weniger. Dann ist da auch noch die Frage einer allgemein akzeptierten Konstruktion der reellen Zahlen aus ZFC, die hier noch gar nicht angesprochen wurde. (nicht signierter Beitrag von Jkluge (Diskussion | Beiträge) 10:55, 27. Dez. 2019 (CET))

Das Problem, einen Beweis oder ein Gegenbeispiel innerhalb von ZFC zu finden, ist dahingehend gelöst, dass in ZFC bewiesen ist, dass beides nicht möglich ist (alles unter der Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit von ZFC). Die üblichen und allgemein akzeptierten Konstruktionen der reellen Zahlen (Dedekindsche Schnitte oder Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen) funktionieren innerhalb von ZFC und führen zum selben Ergebnis, insbesondere erhält man EINE Mächtigkeit der reellen Zahlen. Von dieser lässt sich nicht entscheiden (in ZFC), ob es die kleinste überabzählbare Mächtigkeit ist. Das ist die Lösung und ich kann nichts Irreführendes daran finden. Sie ist für Dich sicher deshalb nicht zufriedenstellend, weil Du ganz offenbar die Frage stellst, wie es sich denn WIRKLICH verhält, was denn allgemein akzeptiert ist. Im Abschnitt "Bedeutung" findest Du zumindest Ansätze einer Diskussion und Literaturhinweise zu diesen Fragen.--FerdiBf (Diskussion) 12:26, 27. Dez. 2019 (CET)

Innerhalb der Gemeinschaft von Mengentheoretiker*innen ist die Meinung, dass das Kontinuumsproblem "gelöst" ist, nicht die allgemein akzeptierte Position, auch wenn durch Gödel und Cohen die Unabhängigkeit von ZFC bewiesen ist. Die Forschung, die stark von CH getrieben ist, hat aber in der neusten Zeit viele Fortschritte gemacht, da die Proposition "wahr ist, was in ZFC als wahr bewiesen ist" nun eben nicht konsensuell ist, sondern sich vielmehr bezüglich der mathematikphilosophischen Hintergrundtheorie als formalistisch reflektieren lässt (wir befinden uns hier nicht auf ontologisch neutralem Terrain). Es gibt zwar auch in der Forschungsgemeinschaft die Position, dass eine weitere Beschäftigung mit CH nicht lohnend ist, aber bei einem Wikipediaartikel halte ich es für irreführend, dies als "Lösung" des Problems darzustellen, da es nun eben eine Forschungslandschaft gibt, in der es zahlreiche Ansätze zu modernen Lösungen des Problems über ZFC hinaus gibt. --Bioschokokuchen (Diskussion) 09:38, 20. Sep. 2023 (CEST)

Wenn man auf die Wikipedia Seite zu den Hilbertschen Problemen schaut, sieht man, dass das erste Problem (die Kontinuumshypothese) hier als nur teilweise gelöst markiert wird. Deshalb finde ich es doch sehr verwirrend, dass in diesem Artikel das Problem als gelöst beschrieben wird. Vielmehr scheint es mir an dieser Stelle neutraler das Problem nicht als gelöst zu markieren und auf den aktuellen Forschungsstand zu verweisen, der sich intensiv mit neuen Axiomen beschäftigt, die die Kontinuumshypothese doch entscheiden. --ProfDrDrKai (Diskussion) 09:51, 20. Sep. 2023 (CEST)

Eine Formulierung wie "wird in der mengentheoretischen Community aufs Emphatischste diskutiert" halte ich nicht für enzyklopädisch. @ProfDrDrKai: Wir können hier gerne erwähnen, dass das Problem der Kontinuumshypothese auf Basis von ZFC nicht lösbar und daher ungelöst ist und dass die Untersuchungen weiterer Axiome, mit deren Hilfe eine Entscheidung für oder gegen die Kontinuumshypothese möglich wäre, aktueller Forschungsgegenstand ist. Ich mache jetzt keinen Revert, sondern bitte um eine Diskussion über eine geeignete Formulierung.--FerdiBf (Diskussion) 11:42, 20. Sep. 2023 (CEST)

Mit der aktuellen Version bin ich immer noch nicht einverstanden. Dass die Kontinuumshypothese nicht in ZFC entschieden werden kann, findet sich wenige Zeilen später. Dass man in der Mengenlehre versucht, neue mögliche Axiome zu finden, für oder gegen die Kontinuumshypothese, findet sich bereits im Abschnitt "Bedeutung". Die von Dir vorgenommene Einfügung passt an dieser Stelle nicht zum Rest des Textes. Ich werde diese Einfügung daher wieder entfernen, aber nicht die alte Version wieder herstellen, die den von Dir beanstandeten Satz, die Kontinuumshypothese sei gelöst, enthält. Ich würde vorschlagen, den Abschnitt "Bedeutung" weiter auszubauen. Das werde ich dann gerne konstruktiv verfolgen.--FerdiBf (Diskussion) 09:13, 22. Sep. 2023 (CEST)

Ich möchte dennoch anmerken, dass der Abschnitt unter dem Titel "Lösung" steht. Ohne einen weiteren Disclaimer wird suggeriert, dass das Problem bereits vollständig gelöst sei. Deshalb fehlt in diesem Abschnitt ein ein Text, der dies klar stellt. Auch wenn dadurch Dopplungen zum Abschnitt "Bedeutung" entstehen könnten, so ist dies an dieser Stelle, wie ich finde, durchaus sinnvoll. --ProfDrDrKai (Diskussion) 11:19, 22. Sep. 2023 (CEST)

Vielleicht könnte man auch die Überschrift zu "Unabhängigkeit von ZFC" ändern? --Bioschokokuchen (Diskussion) 11:34, 22. Sep. 2023 (CEST)

Gute Idee! --FerdiBf (Diskussion) 14:28, 22. Sep. 2023 (CEST)

Neue Entwicklung

Die Kontinuumshypothese scheint bestätigt worden zu sein. Siehe http://www.spektrum.de/news/von-unendlichkeit-zu-unendlichkeit/1507787 oder auch https://www.quantamagazine.org/mathematicians-measure-infinities-find-theyre-equal-20170912/.(nicht signierter Beitrag von 2a02:810c:c740:1991:2863:e5e:fea7:31b3 (Diskussion) )

Es handelt sich um ein anderes Problem (siehe Maryanthe Malliaris), die Frage betrifft nur indirekt die Kontinuumshypothese.--Claude J (Diskussion) 17:24, 29. Dez. 2017 (CET)

Sowohl p als auch t sind Unendlichkeiten, die der minimalen Größe einer Sammlung von Teilmengen der natürlichen Zahlen mit bestimmten Eigenschaften entsprechen. Die genaue Definition beider Größen ist sehr kompliziert und für das Verständnis des Problems nicht zwingend notwendig.

Das ist ja mal'n toller Artikel, nichts für ungut :-) --2001:A61:260C:C01:E1A4:2090:989D:D1EC 08:41, 23. Mai 2018 (CEST)

Ist aber ein schönes Beispiel - nicht unbedingt der Spektrum-Artikel, wobei der auch in die Richtung geht, aber auch was man neulich darüber hörte - für Mißverständnisse durch den Berichterstatter. Wenn man hier hört, was man leider tatsächlich tut, die Kontinuumshypothese sei gelöst, so ist das in etwa auf dem Niveau, wie wenn einer behauptet, der AKS-Primzahltest habe das P-NP-Problem gelöst (nur weil unerwarteterweise PRIMES in P ist).--2001:A61:260C:C01:E1A4:2090:989D:D1EC 08:48, 23. Mai 2018 (CEST)

Laienfrage

Mir als nicht Mathematiker stellt sich die Frage: Könnte nicht zufällig jemand eine entsprechende Menge "finden", die die Kontinuumshypothese widerlegt, oder ist das auch ausgeschlossen? Geht vielleicht auch anderen Lesern so.--80.139.142.133 22:26, 28. Jul. 2022 (CEST)

Das ist eine durchaus intelligente Frage. Wenn man eine Menge gefunden hätte, die die Kontinuumshypothese widerlegen soll, dann müsste man beweisen, dass diese Menge weder abzählbar noch gleichmächtig zu $\mathbb {R}$ ist. Gödels Konsistenzaussage zeigt, dass man einen solchen Beweis mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre (ZFC-Axiome) nicht führen kann, denn derselbe Beweis würde dann auch in Gödels Universum $L$ der konstruierbaren Mengen funktionieren und die "gefundene Menge" ließe sich auch in $L$ definieren, denn auch $L$ erfüllt die ZFC-Axiome, aber in $L$ gibt es so etwas nicht. Das heißt man kann zeigen, dass man so ein Beispiel nicht finden kann. Dennoch ist die aufgeworfene Frage nicht abwegig und meine Antwort nicht ganz aufrichtig, denn mein Argument setzt die Widerspruchsfreiheit der Mathematik (genauer der ZFC-Axiome) voraus, von der man ebenfalls beweisen kann, dass man sie nicht beweisen kann. Die richtige Antwort lautet: Ja, Du könntest mittels der ZFC-Axiome mit einer unendlichen Teilmenge von $\mathbb {R}$ um die Ecke kommen, die weder abzählbar noch gleichmächtig zu $\mathbb {R}$ ist. Aber dann hast Du nicht die Kontinuumshypothese widerlegt, sondern die Widerspruchsfreiheit der ZFC-Axiome. --FerdiBf (Diskussion) 18:52, 31. Jul. 2022 (CEST)

Danke für die ausführliche Antwort. Vielleicht könnte man das auch kurz im Artikel erwähnen ("Zufallsfund auch ausgeschlossen"), ich selbst kann das aber nicht abschätzen. --2003:EE:E719:D532:1974:3C30:9576:1D62 11:01, 5. Aug. 2022 (CEST)