Diskussion:Lie-Algebra

warum übersetzt Du den engl Text offline und liest ihn dann hier ein ?? pm 80.133.122.9 21:20, 6. Mär 2004 (CET)

Schreibweise

Frage an Gunther

Woher hast Du die folgenden Schreibweisen her uebernommen?

${\mathcal {C}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\;\;\;{\mathcal {C}}^{1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],\;\;\;{\mathcal {C}}^{2}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathcal {C}}{\mathfrak {g}}],\;\;\;\mathrm {allgemein} \ {\mathcal {C}}^{n+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathcal {C}}^{n}{\mathfrak {g}}].$

${\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\;\;\;{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],\;\;\;{\mathcal {D}}^{2}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}}],\;\;\;\mathrm {allgemein} \ {\mathcal {D}}^{n+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}].$

--Matthy 14:19, 17. Mär 2005 (CET)

Keine Ahnung, mir würden spontan als Möglichkeiten Helgason, Borel oder Bourbaki einfallen. Kann ich gerne mal nachschauen. Sie ist jedenfalls nicht auf meinem Mist gewachsen ;-) und hat den unschätzbaren Vorteil, dass die beiden nicht zu verwechseln sind.--Gunther 14:28, 17. Mär 2005 (CET)

Ist eine Schreibeweise die im Bourbaki verwendet wird. --Matthy 15:34, 17. Mär 2005 (CET)

Lie-Gruppen

Zu jeder Lie-Gruppe gibt es eine zugehörige Lie-Algebra. Umgekehrt auch? Ich weiß, dass es keine 1:1-Zuordnung gibt, also zu einer Lie-Algebra kann es viele Lie-Gruppen geben. Aber gilt der Satz Zu jeder Lie-Algebra lässt sich mindestens eine Lie-Gruppe finden, deren Tangentialraum (im neutralen Element) sie ist.? --88.76.249.184 00:40, 13. Jan. 2007 (CET)

Natürlich gilt auch die Umkehrung: Zu jeder endlichen Liealgebra läßt sich mindestens eine Liegruppe finden, deren Liealgebra isomorph zu dieser Liealgebra ist: Nämlich - da die Liealgebra eine Matrixdarstellung hat (Satz von Ado-Iwasawa), erzeugt über die (konvergente) Exponentialreihe der Matrizen diese Darstellung eine zusammenhängende Liegruppe von Matrizen. Diese ist aber nicht notwendig einfach zusammenhängend. Sie ist auch nicht notwendig exponentiell, das heißt, nicht jedes Element der Zusammenhangskomponente des neutralen Elementes ist von der Form exp(x) mit x einer Matrix der Darstellung der Liealgebra. Vielmehr ist jedes Element dieser Matrixgruppe, genauer der Zuammenhangskomponente des neutralen Elementes, von der Form exp(x)exp(y)... mit endlich vielen Matrizen x,y,... aus dieser Darstellung der Liealgebra. Gruppen, wo jedes Element von der Form exp(x) ist, nennt man exponentiell. Für meine Kosmologie (innerhalb der allg. Relativitätstheorie) brauchte ich eine Antwort auf die Frage: Ist die Gruppe SU(2), bekanntlich die dreiSphäre, exponentiell? Hans Tilgner 18. Jan. 09

Die Antwort ist: Ja, weil SU(2) kompakt ist. Jede kompakte lineare Lie-Gruppe ist exponentiell. (Cornwell Bd. II, p. 390; dort wird Price zitiert) --Stefan Neumeier 11:33, 15. Dez. 2010 (CET)

Links

Kann man bei

Ein Ideal in \mathfrak{gl}(V) wird von den Endomorphismen mit Spur 0 gebildet. Es heißt "spezielle lineare Liealgebra" und wird mit \mathfrak{sl}(V) bzw. \mathfrak{sl}_n(K) bezeichnet.

einen Link auf "Ideal" setzen? (weiß grad nicht wie das geht)

bilinear

Waere statt $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]\,$ und $[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]\,$ für alle $a,b\in K\,$ und alle $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$

nicht

$[ax+y,z]=a[x,z]+[y,z]\,$ und $[z,ax+y]=a[z,x]+[z,y]\,$ für alle $a\in K\,$ und alle $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$

die bessere Variante? Die Formulierungen scheinen auf den ersten Blick aequivalent, jedenfalls solange K eine 1 und altdeutsch g die 0 enthaelt, dafuer kommt man weniger in Versuchung, etwa a und b fuer die beiden Argumente zu halten. Plus es waere konsistent mit dem Vorgehen bei lineare Abbildung. Yaan 17:46, 17. Jan. 2008 (CET)

Beitrag von 87.123.75.39 im Artikel

In diese schöne Darstellung haben sich zwei Unebenheiten eingeschlichen: Gemeint ist, daß die Liealgebren su(2) und so(3,R) isomorph sind, nicht gleich. Als Mengen sind sie nämlich verschieden, einmal komplexe 2x2 Matrizen und einmal reelle 3x3-Matrizen. Also sollte man hier ein Zeichen für isomorph einsetzen, am besten eine Doppeltilde. Zweite Unebenheit: Was ist so(3,1)? Gemeint ist die halbeinfache Lorentzalgebra, also die Liealgebra der Lorentzgruppe SO(1,3,R). Den Physikern zu liebe sollte man erst die Zeit und dann den Ort abzählen. Hans Tilgner 18.Jan.09 Da es sich bei dieser Äußerung von 87.123.75.39 um einen Kommentar handelt, der nicht in den Artikel gehört, habe ich ihn dort revertiert. Da er aber evtl. trotzdem beachtet werden sollte, kopiere ich ihn hiermit auf die Diskussionsseite: Gruß --Meister-Lampe (Diskussion)

Aus der Physik

Hallo. Ja, ich bin neu in der Wikipedia. Und ja, das hier war mein erster Edit. Und ja, von der tieferen Mathematik hinter Lie-Gruppen habe ich keine Ahnung. Aber ich studiere Physik und bin genügend mit der SO(3) vertraut, um zu sagen, dass, als ich den Abschnitt "aus der Physik" hier gelesen habe, mir beinahe die Augen ausgefallen sind und ich mich kurzerhand entschlossen habe, ein paar Fehlerchen zu korrigieren.

Heute Abend schaue ich also wieder auf den Artikel, um zu überprüfen, ob meine ungesichteten Änderungen übernommen worden sind. Und da fielen mir nicht mehr die Augen aus, sondern da kommt mir grad die Galle hoch, wenn meine (korrekten) Rechnungen als "Hokuspokus" bezeichnet werden und statt dessen vollkommen falsche Aussagen wieder eingefügt werden.

Ich will keinen Editwar beginnen, aber ... die Gemeinschaft urteile selbst.
--Blaues-Monsterle (Diskussion) 21:24, 17. Jun. 2015 (CEST)

Das gute an der Wikipedia ist ja das man auch Artikel schreiben kann die Sachverhalte wirklich an echten Beispielen und explizit erklären, man braucht keine vom Himmel gefallenen abstrakten "Hokus Pokus" Formeln, man kann jeden Schritt deutlich erklären. Wikipedia Artikel sind auch nicht auf Effizienz ausgerichtet, deswegen muss man auch nicht jede Formel auf ein Maximum an Abstraktheit und Minimum an Notation aufschreiben, so was hilft keinem der etwas über das Thema lernen will. Es stimmt das das Beispiel nicht ganz korrekt ist, weil es ein Fehler mit dem i irgendwo gibt, das tut mir leid und ich werde es auch korrigieren. Aber von der expliziten Form des Beispieles komme ich nicht weg. Über Lie Gruppe und Differenzialgeometrie kannst du z.B. im Nakahara lesen.--Lexikon-Duff (Diskussion) 22:36, 17. Jun. 2015 (CEST)

Das schlechte an der Wikipedia ist, dass auch Leute Artikel bearbeiten können, die grundlegende Formeln als Hokuspokus bezeichnen; eigentlich disqualifiziert dich das schon von jeglicher weiteren Diskussion. Wikipedia ist jedenfalls nicht zu dem Zweck da, die "keine Ahnung, wie ich das noch richtig hinkriege, aber solange steht das noch falsch da"-Attitüde eines Wikipedianers unter die Öffentlichkeit zu bringen. Ich empfehle dazu ganz klassisch ein Blatt Papier und einen Stift, bis du deine Rechnungen richtig hinbekommen hast. Und so lange, wie sie noch falsch sind, haben sie in einem Artikel nichts zu suchen. Aber ich möchte dir ja helfen ... 1. Bei der Kommutatorrelation ist die imaginäre Einheit zu viel. 2. Taylorreihe des Sinus: "theta" statt "phi", ebenso in der Exponentialabbildung, die eigentlich Matrixexponential heißt. 3. Matrixexponential: "+" statt "-", ebenso wie in der darauffolgenden Berechnung der ersten Terme des Matrixexponentials. In der zweiten Zeile dann sind die Vorzeichen des Terms erster Ordnung falsch; im Ergebnis entsprechend die Vorzeichen der Einträge (1,3) und (3,1) auch. Ebenso ist die 1 auf (2,2) untergegangen. Und das zeigt sich auch in der "Kurzfassungs"-Matrix. Wie schon gesagt: Stift und Papier und nicht Wikipedia.
--Blaues-Monsterle (Diskussion) 11:08, 18. Jun. 2015 (CEST)

Dann korrigiere das Beispiel halt wenn du willst. Aber lass es in dieser expliziten Form. *gähn*--Lexikon-Duff (Diskussion) 13:22, 18. Jun. 2015 (CEST)

Ich diskutiere nicht mit Leuten, die mich beleidigen, Kompromisslösungen ausschlagen und wahre Angaben aufgrund persönlicher Befindlichkeiten in falsche abändern. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 23:12, 18. Jun. 2015 (CEST)

Alright, dann ist es ja geklärt und nun sind alle zufrieden. Danke--Lexikon-Duff (Diskussion) 00:50, 19. Jun. 2015 (CEST)

Es wird immer "fälscher" ... :'(
Die Generatoren waren leider so ziemlich das einzige, was am Beispiel korrekt war - in der QM führen wir die Drehmatrizen als $\exp {\left(-{\frac {i}{\hbar }}J_{i}\theta \right)}$ ein, was die imaginäre Einheit (mit $\hbar =1$ im Generator und der Kommutatorrelation erklärt; hier ist sie jedoch völlig fehl am Platze. Aber mir wurde ja von oben die Handfessel angelegt. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:13, 19. Jun. 2015 (CEST)

Dann änders halt. Ich hab leider keine Zeit mehr, meine Freundin will Sex. Also gute Nacht.--Lexikon-Duff (Diskussion) 01:16, 19. Jun. 2015 (CEST)

Ach komm, Lie-Algebren gehen da ja wohl vor … Vorlage:Smiley/Wartung/:p  -- HilberTraum (d, m) 15:03, 19. Jun. 2015 (CEST)

Da sich das Niveau derartig gesenkt habe und ich nicht einsehe, als dein Handlanger zu fungieren, der dir hinterherkehrt aber sonst ruhig zu sein hat, verabschiede ich mich resigniert aus dem Artikel und hoffe, irgendwann fällts noch wem anderen als mir auf. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 16:19, 19. Jun. 2015 (CEST)

Hallo, die Aussage, dass eine Drehung aus unendlichen vielen infinitisimalen drehungen besteht halte ich für sehr schwammig. Die daraus resultierende Formel glaube ich zwar, jedoch frage ich mich , ob dieser Aspekt dringend notwendig ist oder ob man ihn verbessern kann. Den Rest der Änderung finde ich gut. --Christian1985 (Disk) 16:36, 19. Jun. 2015 (CEST) @Christian1985: http://www.jstor.org/stable/2274891 .--Lexikon-Duff (Diskussion) 16:56, 19. Jun. 2015 (CEST)

Der Link funktioniert bei mir nicht. --Christian1985 (Disk) 17:32, 19. Jun. 2015 (CEST)

Ich stimme da Christian ganz zu. Diese infinitesimale Zusammensetzung ist nicht notwendig, um sich die Reihenentwicklung anzuschauen. --Chricho ¹ ² ³ 10:51, 22. Jun. 2015 (CEST)

Ich finde es ja spannend, wie Leute/Mathematiker diskutieren können, ob man jetzt erwähnen muss, inwiefern infinitesimale Drehungen mit endlichen Drehungen zu schaffen haben, es aber immer noch keiner gemerkt hat, dass die Ableitung von cos nicht +sin ist ... --Blaues-Monsterle (Diskussion) 19:19, 22. Jun. 2015 (CEST)

Puh, ja in dem Abschnitt sind wirklich viele Rechen- und Schreibfehler. Ich würd’s schon versuchen auszubessern, aber ich weiß nicht, wie die Konventionen sein sollen: In welche Richtung drehen die Drehmatrizen? Wann wird mit i oder mit -i multipliziert? -- HilberTraum (d, m) 20:55, 25. Jun. 2015 (CEST)

Hab’s ein bisschen korrigiert, aber immer noch ohne Gewähr ;-) -- HilberTraum (d, m) 21:10, 27. Jun. 2015 (CEST)

Hm man kann halt schwer nachvollziehen warum mit -i multipliziert wird, was ja nur konvention ist weil in der Berechnung ein Fehler von mir gemacht wurde.--Lexikon-Duff (Diskussion) 20:55, 28. Jun. 2015 (CEST)

Ja, wie gesagt bin ich hierbei mit den Konventionen in der Physik nicht sehr vertraut. Aus mathematischer Sicht könnte man das ±i auch ganz rausnehmen wie in der Version von Benutzer:Blaues-Monsterle und rein reell rechnen. -- HilberTraum (d, m) 21:17, 28. Jun. 2015 (CEST)

Also so wie das jetzt drin ist geht es ja. Aber reell sollte es nicht sein, weil eben in der QM im komplexen gerechnet wird. Aber klar, aus mathematischer Sich könnte man auch reell rechnen.--Lexikon-Duff (Diskussion) 18:36, 3. Jul. 2015 (CEST)

Es fehlt eine Erklärung oder Verlinkung von Basiselementen einer Lie-Gruppe. In Lie-Gruppe findet sich nix dazu.--2003:EE:E3D4:AC54:8FF:732B:830B:8CD3 19:25, 2. Nov. 2018 (CET)

Darstellung

Das Thema Darstellungen von Liealgebren ist nicht deutlich genug herausgearbeitet. Das fängt damit an, dass der Satz von Ado unter "Unteralgebra" aufgeführt ist, gehört aber eigentlich zum Thema Darstellungen. "ad" wird im Satz von Engel erwähnt, aber nicht dass es die adjungierte Darstellung einer Liealgebra definiert. Ebenso wird der Zusammenhang mit Liegruppen und ihren infinitesimalen Generatoren nur in Beispiel aus der Physik angedeutet (siehe Lie-Gruppe). Das Thema Klassifikation ist auch nicht genügend behandelt (da gibts sogar den Artikel Wurzelsystem).--Claude J (Diskussion) 15:19, 13. Jul. 2016 (CEST)