Diskussion:Meromorphe Funktion

Von meiner Disk hierher kopiert:

Polstelle vs Definitionslücke

Die "Begriffe" nicht definiert und Definitionslücke sind unpräzise und sollten besser weitgehend vermieden werden. nicht definiert geht überhaupt nicht, weil wer legt fest ob etwas nicht definiert ist oder nicht? Es kann jedenfalls nicht vom Wissensstand des Schreibers abhängig sein. Ein krasses Gegenbeispiel ist die Argumentation, wenn beim Auflösen einer quadratischen Gleichung mittels Lösungsformel eine negative Zahl unter der Quadratwurzel steht und daraus geschlossen wird, dass die Gleichung dann keine reelle Lösung hat. Das geht nicht, weil aus etwas was man nicht defiert hat oder nicht definieren möchte, darf absolut nichts gefolgert werden. Beim casus irreducibilis einer kubischen Gleichung wird man eines besseren belehrt: hier kommen trotz negativer Zahl unter der Quadratwurzel sogar drei verschiedene reelle Werte heraus. Der Begriff nicht definiert macht also überhaupt keinen Sinn. Das gute: er ist vollkommen überflüssig. Solche "Begriffe" werden in der guten Fachliteratur auch konsequent vermieden.

Betrag der komplexen Gammafunktion

Der Kehrwert einer holomorphen Funktion f hat ein klar definiertes Verhalten an den Nullstellen von f. Man muß dies klar Abgrenzen von echten Definitionslücken, wie z.B. bei der Funktion

$f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}}$

die bei x=0 eine Definitionslücke hat.

Ich glaube der Begriff "nicht definiert" stammt aus der Grundschule im Sinne eines didaktischen Hilfsmittels, wo man den Schülern mit viel Mühe beibringt, "das es verboten ist durch 0 zu teilen". Vom Sandpunkt der komplexen Funktionentheorie sind solche rudimentären Überlegungen nicht hilfreich. Ein berühmter Funktionentheoretiker sagte damals in der Vorlesung mit erhobenem Finger: "die Polstellen dürfen Sie nicht meiden, da stecken reichhaltige Informationen drinnen". In der Tat lehrt dies auch der Residuensatz. Also, die Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ hat keine Definitionslücke, sondern bei z=0 eine Polstelle.--Skraemer 00:17, 2. Jul. 2008 (CEST)

Öhh, so viel hatte ich gar nicht überlegt, aber Definitionslücke bed. schlicht "liegt nicht im Def.-Bereich der Funktion" (ohne jetzt Verhalten in der Nähe einzugehen.) Innerhalb eines Zahlenbereichs kann passender Funktionswert für einen Pol eben "nicht definiert" werden - erst wenn man zur Kompaktifizierung übergeht (Riemannsche Zahlenkugel). Das ist auch toll und wichtig! Nichtsdestotrotz ist es erstmal eine Definitionslücke.

Deine Unterscheidungen betreffen alle nur das Verhalten in der Nähe, trotzdem sind stetig behebbare Definitionslücken, Polstellen und wesentliche Singularitäten alles Definitionslücken der Funktion. Klar kann dein Signum-Beispiel in Null fortgesetzt werden - nur halt nicht stetig. Wie man mit der Lücke umgeht ist ne ganz andere (und sehr interessante) Frage, die eben genau vom Umgebungsverhalten abhängt.

Die Formulierung im Artikel "dort auch nicht holomorph" hat einen Grund: Im reellen sagt man lasch: "1/x ist differenzierbar" und jeder weiß, außer in 0. Bei der komplexen Funktion 1/z führt die gleiche Formulierung zu gravierenden Gedankenfehlern, dadurch dass sie an einem Punkt eben nicht holomorph ist, gelten viele Sachen nicht mehr oder anders. --χario 00:54, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Du, der Satz im Artikel meromorph

Dies liegt daran, dass der Kehrwert ${\tfrac {1}{f}}$ einer holomorphen Funktion $f$ an einer Nullstelle von $f$ eine Definitionslücke hat und somit ${\tfrac {1}{f}}$ dort auch nicht holomorph ist.

geht wirklich nicht, weil du mit dem Wort somit eine Folgerung ausdrücken möchtest. Aber wie ich oben anhand des casus irreducibilis gezeigt habe, darf aus einem "nicht definiert" überhaupt nichts gefolgert werden. In der Mathematik darf nur aus wahren Aussagen etwas gefolgert werden. Aus dem Vorhandensein einer Polstelle folgt dagegen vollkommen klar, daß die Funktion dort nicht holomorph ist. Vielleicht kannst du das wieder ändern. Polstellen müssen über entsprechende Kriterien nachgewiesen werden, der Nachweis kann nicht aus einem "nicht definiert" erbracht werden. Schau bitte mal in die Lehrbücher der Funktionentheorie z.B. Remmert, er vermeidet konsequent dieses blöde "nicht definiert". Aus diesem Grunde wurden ja die entsprechenden Fachbegriffe eingeführt. Das f(z)=1/z bei z=0 keinen Funktionswert hat, folgt aus der dortigen Polstelle.
Die Funktion $f(z)={\frac {\sin z}{z}}$ ist bei z=0 holomorph, da $\lim _{z\to 0}f(z)=1$. Ob der Betrachter bei z=0 eine "Definitionslücke" sieht oder nicht, hängt nur von seinem Wissenstand ab. Die Funktion interessiert das aber überhaupt nicht, für sie gilt f(0)=1.

Mir scheint das Wort auch überflüssig zu sein, oder was willst Du damit ausdrücken?

Und nun wollen wir noch den Hasen mit der Nase in den Pfeffer tauchen: Was machen wir bei der Funktion   $f(x)={\sqrt {3+2{\sqrt {x}}}}-{\sqrt {3-2{\sqrt {x}}}}$   im Bereich der rationalen Zahlen? Hat die bei x=2 eine "Definitionslücke", nur weil der Betrachter Schwierigkeiten hat die Wurzeln auszuziehen? Es gilt nämlich f(2)=2   (jetzt aber nicht in den Taschenrechner eintippen, weil aus der Display-Anzeige kann nicht f(2)=2 gefolgert werden ;-)

Du siehst: der Begriff der "Definitionslücke" ist mathematisch völliger Unsinn!--Skraemer 02:22, 2. Jul. 2008 (CEST)

Ich finde du betreibst hier ein bissi Theoriefindung. Bei der Angabe einer Funktion MUSS der Def.-Bereich immer angegeben werden. Dann kann man über Def-Lücken sprechen. Wir reden aber offenbar aneinander vorbei, vielleicht kann sich noch jemand anders äußern? --χario 12:10, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Ich denke nicht, daß ich TF betreibe. In keinem guten Buch über Funktionentheorie wird aus einer Definitionslücke etwas über die Holomorphie der betreffenden Funktion gefolgert. Was gefällt Dir an meiner Formulierung

Dies liegt daran, dass der Kehrwert ${\tfrac {1}{f}}$ einer holomorphen Funktion $f$ an einer Nullstelle von $f$ eine Polstelle besitzt und somit ${\tfrac {1}{f}}$ dort nicht holomorph ist.

nicht? Hier ist doch die Folgerung sauber durchgeführt!--Skraemer 13:26, 2. Jul. 2008 (CEST)

Hallo ihr beiden, meromorphe Funktion werden doch gerade dardurch charakterisiert, dass sie Polstellen besitzen und dass in Umgebungen von diesen "bestimmten Punkten" ein gewisses Verhalten aufweisen. Ich habe nun mal einen Blick in den Freitag und Busam - Funktionentheorie 1 geworfen. Dort wird eine Funktion $f:D\subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {P} _{1}$ mit den bekannten Eigenschaften als meromorph definiert. Es macht meiner Ansicht gar keinen Sinn über eine meromorphe Funktion von $f:D\subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ zu reden, denn dort sind die Punkte über die wir hier diskutieren wohl wirklich Definitionslücken. Aber wenn man als Bildbereich die Riemannsche Zahlenkugel nimmt, kann man auch diesen Punkten einen Wert zuordnen.

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Nungut ja es geht um den Einleitungssatz. Also ich wäre auch dafür doch Polstelle zu schreiben, anstatt Definitonslücke. Die Sign-Funktion die oben schon erwähnt wurde, ist doch wenn man den Nullpunkt rausnimmt holomorph, aber mit dem Nullpunkt nicht meromorph. Oder? Vielleicht sollte man die Riemannsche Zahlenkugel schon im Einleitungssatz erwähnen? --Christian1985 14:32, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Es wäre gut, wenn wir im Einleitungssatz uns auf Polstelle einigen könnten. Weil diese sind ja das wesentliche Charakteristikum einer meromorphen Funktion. Von der Riemannschen Zahlenkugel würde ich zunächst nichts schreiben.

Nee, die Signumfunktion ist ja nur für reelle Argumente erklärt. Hier haben wir im Komplexen in der Tat große "Definitionslücken". Im Komplexen gibt es ja keine Anordnung, wass soll sgn(i) sein? Die Signumfunktion mit obiger Definition habe ich nur im Reellen als Beispiel für eine echte Definitionslücke benutzt: an der Stelle x=0 ist kein Funktionswert definiert.

Irgendwie ist der springende Punkt noch nicht herausgekommen. Schauen wir uns nochmal die Funktion

$f:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {Q}$ mit $f(x)={\sqrt {3+2{\sqrt {x}}}}-{\sqrt {3-2{\sqrt {x}}}}$

Wobei mit D ein geeigneter Definitionsbereich festgelegt sei. Offenbar gilt f(2)=2. Beim Ausrechnen muß jedoch ein Durchgang durch den Bereich der irrationalen Zahlen gemacht werden. Ob man x=2 mit zum Definitionsbereich hinzurechnet oder nicht sei dem Betrachter überlassen.

Genauso verhält es sich mit der Funktion $f(z)={\frac {\sin z}{z}}$ bei z=0. Wer sagt denn, daß Funktionswerte immer durch dogmatisches Einsetzen bestimmt werden müssen? Man kann hier durchaus als Definitionsbereich $\mathbb {C}$ nehmen, die Wohldefiniertheit ergibt sich dann aus dem Riemannscher Hebbarkeitssatz. Die Funktion ist erstmal überall definiert, wie man den Funktionswert bekommt ist eine ganz andere Frage. Wer als Definitionsbereich $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ nehmen möchte, kann dies natürlich auch tun. Es ist dann jedoch nicht möglich zu sagen, die Funktion sei bei z=0 nicht holomorph, da Holomorphie immer von der Umgebung und nicht von der Stelle abhängt.--Skraemer 16:04, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Ja natürlich gibt es Funktion, welche durch "unglückliche Formeln" dargestellt werden. Also bei denen man für manche Punkte Grenzwerte berechnen muss, oder in einen anderen Zahlenbereich wechseln muss. Aber ich verstehe nicht warum dies deiner Ansicht nach für die Polstellen spricht? Meinst du man sollte die Riemannsche Zahlenkugel nur indirekt als Wertebereich betrachten?!? --Christian1985 17:54, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Also ich habe auf der Sing.-Disk auch nochmal geantwortet. Generell ist Polstelle in der Einleitung auch für mich ok, bzw. sowas wie "... eine Polstelle besitzt, es also keine komplexe Zahl gibt, die die Fuktion dort stetig fortsetzt..." Da es die Einleitung ist, und Polstelle ein Fachbegriff, sollte es durchaus etwas erläutert werden. "Def.-Lücke" ist insofern tatsächlich nicht optimal gewesen. --χario 18:26, 2. Jul. 2008 (CEST)

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Ich glaube, ich weiß jetzt, um was es Skraemer ging: Def.-Lücke ist zu unpräzise, denn das könnte auch eine steig behebbare Lücke meinen. Der Witz ist aber gerade, dass die Polstellen, die innerhalb C NICHT stetig behebbar sind, es werden, wenn P_1 als Def.- und Wertebereich benutzt wird, da das Supersinnvoll ist, werden meromorphe Funktionen überhaupt betrachtet. Das sollte auf jeden Fall irgendwie mit rein, siehe ein weiter oben, und ich sag sorry für meine Scheuklappen, die durch dein "Definitionsgeschwurbel" (sorry :-)) eingeleitet wurden. SORRY. --χario 18:56, 2. Jul. 2008 (CEST)

Eine Funktion f heißt "nicht definiert an der Stelle x", wenn x nicht im Definitionsbereich von f liegt. Wenn man eine Funktion per Term angibt, ist der Definitionsbereich dieses Terms impliziert, und das ist für (sin z)/z eben C\{0}. Meromorphe Funktionen im höherdimensionalen haben nichts mit P¹-wertigen Funktionen zu tun, Beispiel C²→C, (z,w)→z/w, wo sich Null- und Polstellendivisor schneiden.--80.136.146.51 19:44, 3. Jul. 2008 (CEST)

meromorphe funktionen körper, holomorphe funktionen integritätsring

das fehlt hier gaenzlich, bzw. wird nur erwaehnt. darauf koennte mal eingegangen werden. 91.15.139.109 16:23, 2. Mai 2009 (CEST)