Diskussion:Modulhomomorphismus

Unverständlich

Ich verstehe kein Wort. Worum geht es überhaupt? Mathematik? -- 195.158.184.42 20:39, 8. Mär. 2011 (CET)

Ja! Es geht um Mathematik. Ich würde gern wissen, was genau unklar ist.--Hesmucet 18:01, 11. Mär. 2011 (CET)

Ich finde den Artikel auch etwas schwer verständlich. Zum einen heißen die Moduln am Anfang $M_{R}$ und $N_{R}$ später nur noch M und N. Das sollte vereinheitlicht werden.

Schwer verständlich finde ich die Definition des Homomorphismuses. In der Definition wird nicht gesagt über welcher Grundmenge der Modul gebildet wurde. Ich habe von Algebra nun wenig Ahnung und vermute, dass es sich um eine möglichst strukturarme Menge handeln muss. Für Leser wie mich wäre es hilfreich erst zu erzählen, was ein Modulhomomorphismus zwischen Moduln über kommutativen Ringen ist. Für jemanden, der sich mit Differentialgeometrie beschäftigt oder jemanden der gerade in die Algebra einsteigt, wäre das sicherlich sehr von Nutzen. In diesem Fall kann man doch die Axiom des Vektorraumhomomorphismuses abschreiben oder?

Bei einem Wikipediaartikel ist es auch sehr gerne gesehen, wenn dieser nicht wie ein Lehrbuch aufgebaut ist. Das heißt die Definitonen dürfen ruhig auch Sätze enthalten, in denen zu erkennen ist, warum die Definition sinnvoll ist. Hingegen werden Beweise in Wikipedia weniger geschätzt. Für Beweise kann man Bücher zitieren, die der interessierte Leser dann herbeiziehen kann. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 13:34, 12. Mär. 2011 (CET)

Zusätzlich möchte ich anmerken, dass wir die Definition umstellen sollten. In fast allen Lehrbüchern (in allen?) wird der Modul-Homomorphismus durch die naheligenden Gleichungen $f(x+y)=f(x)+f(y)$ und $f(xr)=f(x)r$ definiert, und das ist auch die am leichtesten zugängliche Definition, da sie offenbar den bekannteren Begriff der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen verallgemeinert (das sollte übrigens unbedingt erwähnt werden). Die sperrige Definition mit den Diagrammen ist weder exakter noch klarer. Ich würde diese am liebsten ganz fallenlassen oder in einen Unterabsatz auslagern und erwähnen, dass dies eine äquivalente Charakterisierung ist. Diese Charakterisierung über kommutative Diagramme bleibt aber gekünztelt überflüssig; jeder Mathematiker würde die viel einfachere Definition vorziehen. Das gilt sowohl für die Kategorientheorie, in der die Homomomorphismen als Bestandteil der Kategorie Mod vorgegeben sind und nicht durch Diagramme definiert werden, als auch in der Modelltheorie, in der Homomorphismen zwischen abstrakten Strukturen definiert werden. Es gibt meiner Meinung keinen Vorteil, der für die Diagrammdefinition spricht, allein schon die benötigte Länge spricht für die beiden kurzen Gleichungen. Wollen wir Lesern wie Oberstufenschülern oder Naturwissenschaftlern eine Chance geben, so sollten die Diagramme verschwinden.--FerdiBf 18:08, 12. Mär. 2011 (CET)

Ich sehe ein, dass die Definition über die kommutativen Diagramme schwerfällig ist. Ich lasse sie weg. Auch den Beweis zum Satz über Monomorphismen lasse ich weg. --Hesmucet 18:49, 12. Mär. 2011 (CET)

Weiterer Ausbau

Folgende Themen vermisse ich noch. (1) Die Aussagen über Monomorphismen haben Entsprechungen für Epimorphismen, die fehlen noch. (2) Homomorphiesatz und Isomorphiesätze wie in der Gruppentheorie, die gelten ja mit fast denselben Beweisen. (3) Einfache Moduln: Homomorphismen auf solchen sind 0 oder injektiv - Verbindung zur Darstellungstheorie. (4) Für Homomorphismen auf Linksmoduln gilt im Wesentlichen dasselbe via Übergang zu $R^{op}$ (5) Homomorphismen zwischen (R,S)-Bimoduln. Ich bitte, dies als konstruktive Kritik und Anregung zum weiteren Ausbau des Artikels zu verstehen. -- FerdiBf 08:42, 13. Mär. 2011 (CET)

Ich habe inzwischen einen Abschnitt über Epimorphismen ergänzt. Schnitte, Retraktione, Isomorphismen und einfache Moduln folgen. Der Zusammenhang zu Linksmoduln über $R^{op}$ (wie sagt man im Deutschen dazu?) gehört meiner Ansicht nach in den Artikel Modul (Mathematik) --Hesmucet 17:11, 13. Mär. 2011 (CET)

Lemma

Meiner Meinung nach sollte es "Modulhomomorphismus" heißen, so wie es auch "Gruppenhomomorphismus", "Ringhomomorphismus" und "Vektorraumhomomorphismus" heißt. Von mir aus auch mit Bindestrich. -- Digamma 21:19, 22. Apr. 2011 (CEST)

Diese Meinung teile ich, schon aus Gründen der Einheitlichkeit.--FerdiBf 21:24, 22. Apr. 2011 (CEST)

Da ich diese Ansicht auch teile, habe ich die Seite verschonen. --Christian1985 (Diskussion) 09:20, 23. Apr. 2011 (CEST)

Ok. Aber diese Haltung führt dazu, dass im Deutschen die Worte immer länger werden. Im Englischen heißt es "Homomorphism of Modules". Im Französischen " une Application A- linéare " (Bourbaki. Deutsch hat den Vorteil und den Nachteil, dass man Worte fast beiebig zu neuen Worten zusammenfügen kann. Man sollte sehr sparsam davon Gebrauch machen. Wahrscheinlich wäre die französische Sprachregelung die Beste. --Hesmucet 14:56, 23. Apr. 2011 (CEST)

Es heißt doch auch im Englischen "group homomorphism" und "ring homomorphism". Die englische Wikipedia hat eine Weiterleitung von "module homomorphism" auf den entsprechenden Abschnitt in "Module (mathematics)". Dort steht allerdings "homomorphism of R-modules".

Index

Meiner Meinung nach ist es überflüssig, bei den Namen der Moduln den Namen des Rings mitzunotieren. Es erschwert nur die Lesbarkeit. Ich habe deswegen durchgängig den Index _R entfernt. -- Digamma 10:46, 23. Apr. 2011 (CEST)-- Digamma 10:46, 23. Apr. 2011 (CEST)

Es ist im allgemeinen keineswegs klar in welchen Sinne der Homorphismus gemeint ist.Dies ist nurt eindeutig, wenn von vorneherein klar ist, dass man nur Moduln über einem bestimmten Ring betrachtet. Dann sollte man den Index weglassen. Aber beispilsweise kann die Menge der reellen Zahlen als Vektorraum über $\mathbb {R}$ betrachtet werden. Dann hat der Vektorraum die Dimension 1. Er kann als Vektorraum über $\mathbb {Q}$ oder einfach als abelsche Gruppe betrachtet werden. Jedes mal sind die Homomorphismen andere. Wenn es aus dem Zusammenhang klar ist welche Struktur man betrachtet, so kann man natürlich den Index weglassen.--Hesmucet 15:05, 23. Apr. 2011 (CEST)

Deshalb habe ich das $_{R}$ bei $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ ja gelassen. Da gehört es meiner Meinung nach auch hin. Aber du würdest doch auch nicht $\mathbb {R} _{\mathbb {Q} }$ schreiben, um auszudrücken, dass Du $\mathbb {R}$ als $\mathbb {Q}$-Vektorraum auffasst, sondern du würdest dies einfach explizit sagen. Bei den Homomorphismen ist es durchaus sinnvoll, dazu zu sagen, auf welche Struktur sie sich beziehen; Aber nicht bei den Moduln den Ring mit zu notieren.

Hauptsache aus dem Zusammenhang ist klar, was gemeint ist. Wahrscheinlic hast Du in unserem Fall Recht. --Hesmucet 17:14, 23. Apr. 2011 (CEST)