Diskussion:Moment (Stochastik)

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Es gibt Verteilungsfunktionen, die nicht durch Momente definierbar sind

Ich weiß, dass der folgende Satz aus dem Artikel falsch ist:

"Eine Verteilungsfunktion ist andererseits durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt."

(Anmerkung: Ebenso stimmt nicht, dass Momente Parameter seien (siehe erster Satz des Artikels)! Es gibt Verteilungen, die durch lediglich einen Parameter bestimmt sind, von denen sich jedoch ohne weiteres verschiedene Momente wie neben dem ersten und zweiten auch die Kurtosis, Skewness etc. berechnen lassen) (nicht signierter Beitrag von 77.181.190.101 (Diskussion) 21:54, 11. Apr. 2016 (CEST))

Es gibt Verteilungsfunktionen, die nicht eindeutig durch ihre Momente bestimmt sind. D.h., selbst wenn alle (abzählbar!) unendlich vielen Momente bekannt sind, kann man in diesen Fällen nicht auf die Verteilungsfunktion schließen. Wenn der o.g. Satz wahr wäre, müsste es unter anderem möglich sein, jede reelle stetige Funktion durch eine abzählbare Zahlenfolge zu charakterisieren. Dies ist aber nicht möglich. Ich bin diesem Problem vor langen Jahren einmal nachgegangen und habe in der Literatur sogar eine konstruktives Beispiel gefunden. Da dies so weit zurückliegt, kenne ich aber die Quelle nicht mehr. Übrigens stolperte ich als Student über dieses Problem als ich im Skriptum zu einer meiner Vorlesungen versucht habe, den "Beweis" für diesen falschen Satz zu verstehen, der dort angegeben war. Der Glaube daran, dass Momente Verteilungsfunktionen bestimmen, ist also weit verbreitet. Akropolit 12:24, 6. Nov 2004 (CET)

Ist der Raum der signierten Maße nicht ein separabler Banachraum? Eine stetige reellwertige Funktion ist außerdem sehr wohl durch eine Folge (z.B. auf den rationalen Zahlen) definiert. Mir ist das Argument daher nicht einleuchtend, aber ich finde das hochinteressant! Vor allem, da wirklich der Großteil der theoretischen Physiker fest von dieser Aussage ausgeht!--CWitte 17:33, 9. Nov 2004 (CET)

Ich war's und gebe zu keine intensive Litertursuche dazu betrieben zu haben, sondern mich auf die verbreitete Meinung gestuetzt zu haben ;). Dein Gegenargument ist allerdings auch nicht ganz stichhaltig. Die Funktionen sind ja nur die normierbaren Funktionen und die kann man sehr wohl in einem entsprechenden Funktionenraum mit abzaehlbar unendlich vielen Entwicklungskoeffizienten ausdruecken. Ich gebe mal die Formel an, die ich dabei in etwa im Kopf hatte, wenn diese allerdings nicht allgemein gueltig sein sollte, bitte ich um Korrektur der entsprechenden Stelle im Text.

Die charakteristiche Funktion hat die Entwicklung

$\chi (k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}<x^{n}>k^{n}$

Aber ich gebe mal lieber die bekanntere Kummulantenentwicklung an:

$\ln \chi (k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-ik)^{n}}{n!}}C_{n}$

--Proxima 09:57, 8. Nov 2004 (CET)

Nun, Kurzdiagnose, zum Teil auch dem Bauch raus. Ich würde Folgendes sagen: Die Momente werden durch die momenterzeugende Funktion M ermittelt, sofern diese endlich ist. Man könnte sagen, die Abbildung F(x) → M ist injektiv, aber nicht surjektiv: Es gibt auch momenterzeugende Funktionen, für die es keine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt. Es gilt jedoch: Wenn die Zufallsvariable X eine meF Mx hat und Y eine meF My, und Mx = My ist, haben X und Y die selbe Verteilung. Es gilt aber auch:

Existiert eine Zahl $t_{0}>0$ derart, dass $M_{x}(t_{0})<\infty$ ist, ist für $t\leq t_{0}$

$M_{x}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}EX^{k}$.

Also müsste das mit den Momenten eigentlich stimmen, oder? Mir war vor allem die Eineindeutigkeit mit der meF geläufig. Analoges müsste sich auch durch die Charakteristische Funktion ergeben.

--Philipendula 11:40, 10. Nov 2004 (CET)

Nach allem, was ich jetzt zusammengetragen habe (aus der Diskussion hier und eigener Recherche), scheint der Fall wie folgt zu liegen: Nicht jede Verteilungsfunktion ist durch ihre Momente definiert, denn die Momente sind gar nicht unbedingt existent. Das passiert anschaulich, wenn die Verteilungsfunktion nicht schnell genug gegen Null geht. Wenn aber alle Momente existieren, so charakterisieren diese eindeutig die Verteilungsfunktion. Auf die Gefahr hin, dass wir uns alle gegenseitig wiederholen...--CWitte 21:46, 10. Nov 2004 (CET)

• Ich habe ebenfalls nachgerechnet und komme ungefähr (vollständige Klarheit konnte ich leider nicht erzielen) zu einem ähnlichen Ergebnis. In der Tat gibt es wohl Verteilungsfunktionen, die nicht durch Momente charakterisierbar sind. Übrigens, mein Gegenargument war doch gar nicht so schlecht oder? -- Ich bedanke mich sehr für die Diskussion, die mir viel gebracht hat. Arbeiten wir das Ergebnis in den Text ein?

Akropolit 23:21, 10. Nov 2004 (CET)

Ja, das sollten wir beizeiten tun. Ich habe jetzt übrigens ein ganz einfaches Beispiel, das dazu noch sehr relevant ist, gefunden: das Lorentz-Profil, dass in der Physik, z.B. bei allen möglichen Oszillatoren und als Spektrallinienform in der Astrophysik vorkommt.

$\rho (x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+x^{2}}}.$

Die Momente existieren nicht, weil z.B. $\int {\frac {1}{\pi }}{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}.$ divergiert. Im Sinne der charakteristischen Funktion spieglet sich diese Tatsache darin wieder, dass diese nicht analytisch ist: sie ist von der Form $e^{-}{|k|}$ o.ä. mit einer Spitze bei Null. Das kann ich z.B. mal ausformulieren.--CWitte 18:58, 11. Nov 2004 (CET)

Levy-Verteilungen nennen sich solche Dinger. Und tatsaechlich sind die durch den Abfall der charakteristischen Funktion $e^{-|k|^{\alpha }}{\mbox{mit}}0<\alpha <2$ bestimmt und haben gemeinsam, dass ihnen Momente fehlen. Es wuerde sich anbieten etwas genaueres zu den Levi-Verteilungen zu schreiben und dann dorthin zu verweisen. --Proxima 19:51, 11. Nov 2004 (CET)

Gestattet mir, dass ich jetzt meinen Senf auch noch dazugebe. Es gibt nämlich in der W-Theorie folgenden etwas epischen und weit nach $\mathbb {C}$ ausschweifenden, aber schönen Satz:

Sei X eine reelle Zufallsvariable mit der charakteristischen Funktion $\phi$ und $\rho \in \mathbb {R} _{+}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Die Restriktion von $\phi$ auf $\left]-\rho ,\rho \right[$ ist in $\{z\in \mathbb {C} :|z|<\rho \}$ hinein holomorph fortsetzbar.
2. $\phi$ ist in $\{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\rho \}$ hinein holomorph fortsetzbar.
3. $E(e^{tX})<\infty$ für $-\rho <t<\rho$.
4. $E(e^{t\,|X|})<\infty$ für $0<t<\rho$.
5. $E(|X|^{n})<\infty$ für $n\in \mathbb {N}$ und $\operatorname {limsup} _{n\to \infty }\left(\left|{EX^{n} \over n!}\right|^{1 \over n}\right)\leq {1 \over \rho }$

Ist eine (und damit jede) dieser Aussagen richtig, so gilt $\phi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }i^{n}{EX^{n} \over n!}t^{n},\quad -\rho <t<\rho$, und die Verteilung von X ist dann durch die Folge ihrer Momente bestimmt.--JFKCom 21:51, 31. Jul 2005 (CEST)

von ganz oben hierher verschoben

Ich habe eben mindestens schon zum zweiten Mal die, wie jeder Kenner weiß, falsche Behauptung der eindeutigen Bestimmtheit einer Verteilung durch ihre als existent vorausgesetzte Momentenfolge gelöscht. Das Standardgegenbeispiel ist bekanntlich die Lognormalverteilung. Findet sich nun wieder eine Ignorant, der die Zeile wieder einfügt, oder setzt sich bei Wikipedia doch noch irgendwann die Wahrheit durch? (nicht signierter Beitrag von 141.83.116.130 (Diskussion) 16:21, 17. Dez. 2007)

Ich war wieder ein solcher Ignorand. -- Jesi 17:00, 17. Dez. 2007 (CET)

Ende Übertrag

Ich hab erst mal noch eine hinreichende Bedingung dazugeschrieben. -- Jesi 18:01, 17. Dez. 2007 (CET)

Das ist zu viel Theorie(er)findung. Ich habe den unbelegten und möglicherweise falschen Satz "Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller Momente der entsprechenden Zufallsvariable bestimmt, falls die Momente existieren und die Reihe der momenterzeugenden Funktion konvergiert." gelöscht. Außerdem ist es nicht im Artikel behandelt und ist damit in der Einleitung deplatziert. Bitte Hamburgersches Momentenproblem und Beispiel zur Lognormalverteilung nachlesen. Das ganze hat mit Endlichkeit und evtl. Nichtexistenz wenig zu tun. Es geht darum, dass selbst dann, wenn alle Momente endlich sind – wie bei der Lognormalverteilung – die Verteilung durch diese Momente nicht eindeutig bestimmt ist.--Sigma^2 (Diskussion) 14:30, 7. Nov. 2023 (CET)

Verständlichkeit

Ich bin nur ein einfacher Wiki-Benutzer, kein Mathematiker. So wie die Mehrzahl der Menschgjheit auch, nehme ich mal an. Wäre es nicht besser gewesen, allein der Verständlichkeit halber, mehr ERklärungen zu bringen und weniger Formeln? Ich finde, eine Enzyklopädie sollte auch erklären, nicht nur Daten bringen Nichts für ungut!

Sehe ich auch so. Zumindest müßte der Satz Das zentrale Moment erster Ordnung ist offensichtlich gleich 0 abgeändert werden in Das zentrale Moment erster Ordnung ist - für Mathematiker offensichtlich - gleich 0. --Mijobe 22:28, 29. Aug 2004 (CEST)

Das klingt natürlich unenzyklopädisch und wurde dementsprechend wohl gelöscht. In der Tat hat der Satz über das erste zentrale Moment das seit deinem Kommentar vergangene Jahrzehnt komplett nicht überlebt. Ich habe einen entsprechenden Satz wieder reingenommen. Es bleibt aber festzuhalten, dass dieser Zusammenhang tatsächlich für jeden offensichtlich ist, der verstanden hat, was zentrale Momente sind. Wie groß soll denn die durchschnittliche Abweichung des Erwartungswertes vom Erwartungswert sein? Fünf? ;) --Mudd1 (Diskussion) 16:21, 9. Jul. 2013 (CEST)

Nun, für den Laien ist doch der erste Satz recht aussagekräftig... Der Begriff stammt nun mal aus der Mathematik und muss deshalb auch Mathematisch definiert werden - auch (sogar insb.) in einer Enzyklopädie. Clicks auf die im ersten Absatz enthaltenen Wikilinks verraten dann noch mehr - auch dem Laien. Ich halte diesen Artikel deshalb keineswegs für "unverständlich"--Jdiemer 17:25, 9. Sep 2004 (CEST)

Ich habe den tag unverstaendlich entfernt da ich der Ansicht bin, dass die Einleitung einen guten Einstieg in den Begriff anbietet. Sicher muss man voraussetzen, dass andere Begriffe verstanden sind, aber dazu sind (wie mein Vorredner schon erlaeutert hat) die links vorhanden. --Proxima 11:57, 4. Nov 2004 (CET)

auf jeden fall fehlt noch erklaerender text bei den vielen formeln. die einleitung mag ja ok sein, aber die details sollten auch noch naeher erlaeutert werden. wikipedia soll keine reine formelsammlung sein. -- 141.3.74.36 18:30, 30. Jan. 2007 (CET)

Momente der Normalverteilung

Es geht nocheinmal um Momente. In der Einleitung steht momentan:

"Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle höheren Momente verschwinden."

Das ist meiner Meinung so nicht richtig. Durch partielle Integration rechnet man leicht nach, dass $\forall _{k\in \mathbb {Z} ,\neq -1}:E((x-\mu )^{k+2})=(k+1)\cdot \sigma ^{2}\cdot E((x-\mu )^{k})$ (mit den Bezeichnungen $\mu ,\sigma$ aus dem Artikel zur Normalverteilung).

Mit anderen Worten:

$\forall _{k\in \mathbb {N} }:\mu _{2k}(\mu )=E((x-\mu )^{2k})=(2k-1)\cdot \dots \cdot 1\cdot \sigma ^{k}E((x-\mu )^{0})=(\Pi _{r=1}^{k}(2r-1))\cdot \sigma ^{k}$ $\forall _{k\in \mathbb {N} }:\mu _{2k+1}(\mu )=E((x-\mu )^{2k+1})=(2k)\cdot \dots \cdot 2\cdot \sigma ^{k}E((x-\mu )^{1})=\dots \cdot 0=0$

Normalverteilungen sind also durch $\mu ,\sigma$ bereits charakterisiert - aber nur wenn man investiert, dass es sich um Normalverteilungen handelt.

Worum es mir geht: "Gerade" Momente der Normalverteilung verschwinden nicht, im Gegensatz zur Aussage des Artikels. Kann das jemand bestätigen? - Ich könnte mich ja auch verrechnet haben.

--Colin Kiegel 18:02, 31. Jul 2005 (CEST)

Das ist richtig, sonst wäre die Kurtosis als normiertes viertes Moment der Normalverteilung ja nicht 3. --Mudd1 (Diskussion) 16:10, 9. Jul. 2013 (CEST)

Warum die Namen Gewöhnlich, Zentral und Absolut? - Systematik

Mir wird (aus dem Artikel) nicht klar, warum die Momente "absolute", "Zentrale" usw. heißen.. --Chrisqwq 18:13, 18. Mai 2006 (CEST)

Beachte meine Frage auf [1] --source 14:21, 19. Feb. 2008 (CET)

Das zentrale Moment wird um den Erwartungswert μ gebildet, also gewissermaßen "zentriert" (wenn man den Erwartungswert als Mittel- oder "Zentralwert" ansieht). Das absolute Moment wird mit dem absoluten Wert der Zufallsvariablen gebildet, das (wenig gebräuchliche) Moment um c wird um einen beliebigen Wert c zentriert. Man muss im Artikel die unterschiedlichen Definitionen beachten bzw. vergleichen. -- Jesi 14:40, 19. Feb. 2008 (CET)

Nachtrag: Etwas unglücklich ist die allgemeine Definition, die bereits eine Zentrierung um r vorsieht und damit mit dem später nochmals definierten Moment um c identisch ist. Allgemein wird als gewöhnliches Moment der Ordnung k nur $E(X^{k})$ definiert. -- Jesi 14:42, 19. Feb. 2008 (CET)

Überarbeiten

Für den Artikel fänd ich allerdings weniger mathematische Erklärungen, sondern Erklärungen aus der Anwendung auch interessant --Lumbricus 15:27, 19. Feb. 2008 (CET)

Ich vermisse auch Erläuterungen, wozu die verschiedenen Momente gebraucht werden, abgesehen von den zentralen Momenten. Vielleicht auch was zur Geschichte, also wann die Formeln entwickelt wurden, und wozu. --source 19:22, 20. Feb. 2008 (CET)

Ich hab mal den Anfang einer Überarbeitung gemacht. Dabei habe ich weniger Wichtiges gar nicht mehr aufgenommen und den Rest etwas gestrafft und umgruppiert. Durch den Abschnitt Markow-Ungleichung mit der Tschbyschow-Ungleichung wird wohl auch die Bedeutung von Momenten etwas klarer. Den Überarbeiten-Baustein habe ich erst einmal mutig entfernt. -- Jesi 00:35, 21. Feb. 2008 (CET)

ziemlich mutig, denn die Ergänzung deiner Erklärung, warum die Momente wie heißen finde ich nun nicht wieder. --source 14:15, 21. Feb. 2008 (CET)

Ich dachte ja, durch die Reduzierung auf "normale", absolute und zentrale Momente würde das durch die Definitionen erklärt, offenbar aber nicht. Ich hab zu absolut und zentral noch jeweils Ergänzungen gemacht, vielleicht reicht es ja so. -- Jesi 15:41, 21. Feb. 2008 (CET)

Statistik?

Moment ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie bzw. Stochastik, nicht aus der Statistik. Ich möchte den Artikel dorthin verschieben. -- ZZ 15:59, 3. Apr. 2008 (CEST)

Verständlichkeit

Folgende einleitenden Sätze klingen auf den ersten Blick wie ein Widerspruch in sich: "Momente sind Kenngrößen von Zufallsvariablen. Sie sind Parameter der deskriptiven Statistik". Vieleicht kann das jemand etwas ausführlicher erläutern. --source 11:36, 3. Sep. 2009 (CEST)

Verbundmomente

Der Name Verbundmomente schient mir WP:TF zu sein. Ich bitte um einen Nachweis. Ich kenne gemischte Momente und Kreuzmomente und meine, noch niemals Verbundmomente gelesen zu haben.--Sigma^2 (Diskussion) 09:15, 7. Nov. 2023 (CET)

Doppelbenennung

Im Artikel werden das 3. und das 4. zentrale Moment mit den gleichen Symbolen bezeichnet wie das 3. und das 4. standardisierte Moment. ISt das so üblich oder sollte das angepasst werden? --Mathze (Diskussion) 20:35, 21. Feb. 2024 (CET)