Diskussion:Monoid

DAS Monoid

Hallo.

Dies ist die erste Stelle, wo ich "der" Monoid lese. Es heißt korrekt "das Monoid".

Gruß von Helmut (08:46, 15. Feb 2005)

Ich persönlich neige eher dazu, "der Monoid" zu sagen, aber ich denke, es sollte beides möglich sein. Der "google-Joker" gibt dir recht, aber das allein ist noch kein Grund. Meine Freundin gibt dir recht, deshalb hab ich den Artikel auf "das Monoid" getrimmt. :) --SirJective 20:40, 10. Mär 2005 (CET)

Standardnotationen

Könnte mal bitte jemand angeben, was O und H für Monoide sind? --Philipendula 11:11, 19. Jan 2005 (CET)

Vermutlich Hamiltonsche Quaternionen (4d) und Oktonionen (8d). --Marc van Woerkom 12:15, 19. Jan 2005 (CET)

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Wie oben schon erwähnt, ist nicht klar, was H und O sein sollen. Zum einen sind Oktonionen nun wirklich exotisch, zum anderen ist H auch Standardnotation für die obere Halbebene der komplexen Zahlen. Also entweder mit Erklärung (und noch besser Link), oder ganz streichen. P als Menge der Primzahlen ist auch nicht wirklich weitverbreitet. 10 Beispiele dafür, dass R-Vektorräume Monoide sind, halte ich ebenfalls für überflüssig.--Gunther 12:27, 27. Feb 2005 (CET)

Ich hab die Beispiele etwas gekürzt und verlinkt, insbesondere die Quaternionen und Oktonionen gestrichen, aber es kann bestimmt noch das eine oder andere weg. --SirJective 20:40, 10. Mär 2005 (CET)

Beispiel

Ein halbwegs interessantes Beispiel: Die Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe von zwei Quadratzahlen (einschließlich 0) darstellen lassen, mit der Multiplikation:

(a² + b²)(c² + d²) = (ad + bc)² + (ac − bd)².

(12:42, 27. Feb 2005 Gunther)

Das klingt doch interessant. Ich bin nicht sicher, dass es zum Verständnis des Begriffs beiträgt, aber mit einem Link auf einen Artikel, wo das angewendet wird könnte man es einfügen. Gibts analog zum Vier-Quadrate-Satz einen Artikel über Summen von zwei Quadraten? --SirJective 20:40, 10. Mär 2005 (CET)

Artikel überschrieben :o/

Moin moin! Habe einen neuen Artikel Monade (Kategorientheorie) angelegt und dabei diesen aus Versehen zunächst überschrieben - hab die alte Version wieder hergestellt, aber nur durch erneutes Speichern der alten Version, gibt's einen intelligenteren Weg? :o) Danke! Drbashir117 09:01, 30. Mai 2005 (CEST)

Nein.--Gunther 11:33, 30. Mai 2005 (CEST)

Untermonoid

In der Def. des Untermonoids könnten wir doch den Teil ab "Formal: " weglassen, da die textliche Erklärung bereits alles klarstellt, oder? -- JFKCom 16:09, 10. Jul 2005 (CEST)

Oh ja, das verunklart eher wieder. WP:SM! Notfalls kann man alles wieder reparieren :-) --Gunther 16:15, 10. Jul 2005 (CEST)

Subtraktion und Assoziativität

"ist kein Monoid, da zwar die Abgeschlossenheit erfüllt ist, aber die Subtraktion nicht assoziativ ist. "

Seit wann ist die Subtraktion nicht assoziativ?? hreisterp

Seit $3-(2-1)\neq (3-2)-1$ gilt.--Gunther 12:02, 7. Aug 2005 (CEST)

Abschwächung der Definition

Die Definition eines Monoids basiert auf der Existenz eines neutralen Elements. Gibt es einen Begriff für eine Halbgruppe mit nur links- oder rechtsneutralen Elementen? Wenn nicht, könnte man diese zum Beispiel Linksmonoid/Rechtsmonoid oder l-Monoid/r-Monoid nennen.

Demnach gilt folgende Definition (für ein l-Monoid, für r-Monoid analog):

Ein l-Monoid ist ein Tripel $(M,*,N)$ bestehend aus einer Menge $M$, einer zweistelligen Verknüpfung $*$ auf $M$ und einer nichtleeren Menge $N\subset M$ mit den folgenden Eigenschaften:

1. Assoziativität der Verknüpfung:

$\forall a,b,c\in M:(a*b)*c=a*(b*c)$

2. N ist die Menge der linksneutralen Elemente:

N = { $e\in M$ | $\forall a\in M:e*a=a$ }

Ein l-Monoid ist also eine Halbgruppe mit linksneutralen Elementen.

--Vanda 09:03, 23. Aug 2005 (CEST)

(Unterschrift nachgetragen von Gunther 09:45, 23. Aug 2005 (CEST))

Lies Dir mal WP:WWNI Punkt 2 durch. Für neue Begriffe ist das hier der falsche Ort.--Gunther 09:45, 23. Aug 2005 (CEST)

OK, meine Ausführungen waren vielleicht etwas zu umfangreich. Meine Absicht war es, durch diesen Beitrag herauszubekommen, ob es für diesen Sachverhalt bereits einen Begriff gibt. Wenn ja, dann könnte (und sollte) er an dieser Stelle erwähnt werden.--Vanda 09:56, 23. Aug 2005 (CEST)

Eine kurze Google-Suche brachte keine Ergebnisse, und ich bin nicht überrascht. Haben nicht selbst kommutative Monoide schon zu wenig Struktur, um beherrschbar zu sein?--Gunther 10:14, 23. Aug 2005 (CEST)

Weswegen man L/R-Monoide nicht betrachtet, scheint wohl auch an folgendem zu liegen (könnte man auch im Artikel einfügen): Hat man eine Halbgruppe H, die kein Monoid ist, so kann man $H\cup \{1\}$ mit einem neuen Element 1 bilden, u. durch die Festlegung 1*h=h*1=h wird dies zu einem Monoid.--JFKCom 11:07, 23. Aug 2005 (CEST)

Auf Basis von z.B. L-Monoide kann man durch Hinzufügen der Existenz von Linksinversen eine Gruppe definieren: Ist (M,*,N) ein L-Monoid und gilt $\exists e\in N:\forall a\in M:\exists a'\in M:a'*a=e$, dann ist (M,*) eine Gruppe (und damit auch ein "normaler" Monoid), siehe dazu auch Gruppentheorie#Abschwächung der Definition.--Vanda 21:08, 24. Aug 2005 (CEST)

Nenn' mir eine Gruppe, bei der es irgendeinen wesentlichen Unterschied zwischen den Beweisen für $ae=a$ und $ea=a$ gibt...--Gunther 21:17, 24. Aug 2005 (CEST)

Ich halte den vorgeschlagenen Begriff des Linksmonoids für uninteressant, da im Gegensatz zum Monoid die Eindeutigkeit der Linkseinheit nicht mehr gegeben ist. Darum denke ich, dass es natürlicher ist solche Objekte als Halbgruppe mit Linkseinheit(en) zu betrachten.--MKI 22:41, 24. Aug 2005 (CEST)

Dito. Man muss sich auch vor Augen halten: Macht man aus der Halbgruppe H per $H\cup \{1\}$ ein Monoid, so ist das neutrale Element 1 keines der bereits bestehenden linksneutralen Elemente.--JFKCom 23:08, 24. Aug 2005 (CEST)

Abgeschlossenheit

Muss bei den Axiomen nicht auch die Abgeschlossenheit dazugehören? D.h. $\forall a,b\in M:a*b\in M$

Hab's hinzugefügt. Die Bezeichnung "Abgeschlossenheit" selbst verursacht aber zu viele Missverständnisse, als dass sie wirklich hilfreich wäre.--Gunther 10:58, 6. Sep 2005 (CEST)

Also ich sehe die abgeschlossenheit immer noch nicht so richtig. gut, dieser eine pfeil kann als surjektive abbildung gesehen werden, und somit wäre das ganze abgeschlossen. aber als "null-tens" nehmen wir die abgeschlossenheit immer mit zu den axiomen. gerade für mathematiker ist das sehr wichtig (sagt unsere übungsleiterin immer ;-) ). --Genscher 19. Jun 2006 (CEST)

Sag ihr mal, dass ich in einer Klausur auch schon "ein Ring ist eine abgeschlossene Menge in einem Vektorraum" gelesen habe, das kommt dann dabei heraus, wenn man so viel Wert auf diesen Begriff legt. Man sollte generell nur "abgeschlossen unter Addition/Multiplikation/whatever" sagen, nie einfach so "abgeschlossen" (es sei denn natürlich, man redet über einen anderen, z.B. den topologischen Begriff).--Gunther 23:05, 19. Jun 2006 (CEST)

innere Verknüpfung

... bedarf noch der Erklärung, evtl. durch Verlinkung. --888344

endlich / unendlich

das lemma beschreibt eigentlich nur das endliche monoid (also bzgl. einer endlichen trägermenge). wie sieht das im unendlichen fall aus; sind alle aufgeführten regeln einfach zu übernehmen. gibt es überhaupt einen unterschied? gruß--Murkel ^(anmurkeln) 13:39, 22. Feb 2006 (CET)

Wo steht etwas von einer endlichen Grundmenge?--Gunther 15:30, 22. Feb 2006 (CET)

das ist ja meine frage. gelten bei der betrachtung von unendlichen monoiden andere gesetze? in den von mir besuchten vorlesungen wurde auf die bezeichnung endlicher monoid großen wert gelegt. deshalb, dachte ich, gibt es zwischen dem endlichen und unendlichen Fall unterschiede. gruß --Murkel ^(anmurkeln) 17:08, 22. Feb 2006 (CET)

Satz über freie Monoide, T(a)

Im Text heißt es:

$T\colon A^{*}\to M$ mit $T(a)=f\left(a\right)$ für alle $a\in A$

Was ist mit $T(a)$ für $a\in A^{*}\setminus A$? Gilt dort der Satz einfach nur nicht? (nicht signierter Beitrag von 87.161.175.105 (Diskussion) 11:20, 17. Mär. 2011 (CET))

Nun, $T$ soll ein Monoid-Homomorphismus sein, es gilt also allgemein, $T(\varepsilon )=e$, wobei das $\varepsilon$ das $e$ aus $A^{*}$ ist, und das rechte $e$ das neutrale Element aus $M$; und es gilt $T(\alpha \cdot \beta )=T(\alpha )*T(\beta )$ für alle $\alpha ,\beta \in A^{*}$. Damit ist $T$ natürlich noch nicht wohldefiniert, aber die Festlegung, auf was Worte, die aus genau einem Zeichen bestehen, abgebildet werden, reicht hierfür aus. Das wird mit $T(a)=f(a)$ gemacht. --Daniel5Ko 12:43, 17. Mär. 2011 (CET)

Freies Monoid

Unter "Freies Monoid" heißt es:

Ist $A$ irgendeine Menge, dann bildet die Menge $A^{*}$ aller endlichen Folgen in $A$ mit dem Hintereinanderschreiben der Folgen als multiplikative Verknüpfung $\cdot$ und der leeren Folge als neutralem Element $\varepsilon$ das Monoid $(A^{*},\cdot ,\varepsilon )$.

Ist das Hintereinanderschreiben (Konkatenation) wirklich eine multiplikative Verknüpfung, oder sollte es nicht einfach heißen:

Ist $A$ irgendeine Menge, dann bildet die Menge $A^{*}$ aller endlichen Folgen in $A$ mit dem Hintereinanderschreiben der Folgen als Verknüpfung $\cdot$ und der leeren Folge als neutralem Element $\varepsilon$ das Monoid $(A^{*},\cdot ,\varepsilon )$. --NoRoadrunner (Diskussion) 13:57, 17. Apr. 2013 (CEST)

Kommutatives Monoid

In den Beispielen und in den Spezialisierungen ist häufig von "kommutatives Monoid" die Rede. Der Begriff ist aber in dem Artikel nicht definiert. Vielleicht sollte man die Definition hinzunehmen? (nicht signierter Beitrag von 193.175.65.11 (Diskussion) 09:13, 3. Dez. 2015 (CET))

Link zu englischem Wiki

Wieso lässt sich der englische Artikel dazu nicht verlinken? (nicht signierter Beitrag von 134.2.251.27 (Diskussion) 11:14, 24. Feb. 2016‎)

Weil er bereits in der Spalte ganz links unter Sprachen verlinkt ist. --Mussklprozz (Diskussion) 10:24, 24. Feb. 2016 (CET)

Frei versus frei kommutativ

Im Text steht: Das Monoid $(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$ ist frei kommutativ über der Menge der Primzahlen, es ist aber kein freies Monoid.

Ich finde das sehr verwirrend. Wird hier einfach gemeint, dass 15 = 5 x 3 = 3 x 5, und dass deshalb die Darstellung als Produkt nicht "eindeutig" ist? Im englischen Wikipedia gibt es im Artikel en:Free Monoid einfach einen Abschnitt zu free commutative monoids, ohne irgendein Hinweis, dass diese nicht frei sind (wäre auch seltsam in diesem Fall).

Ich würde solche Monoide schon als frei bezeichnen, weil man wegen der Kommutativität nicht zwischen 3 x 5 und 5 x 3 unterscheiden kann; also kann man das schon als eindeutiges Produkt auffassen. KarlFrei (Diskussion) 09:11, 15. Feb. 2019 (CET)

Dioid

Hallo.

$(\mathbb {N} _{0},+,0,\cdot ,1)$ ist denke ich kein Dioid, da die Addition nicht idempotent ist. Nach der mir bekannten Definition muss für alle Elemente $a+a=a$ gelten, die triviale Idempotenz des neutralen Elementes genügt nicht. Im Unterpunkt "Beispiele und Gegenbeispiele" sollte daher Dioid durch Halbring ersetzt werden. Die Bemerkung könnte auch ganz entfernt werden.

Da stimme ich zu. Das gehört geändert. (nicht signierter Beitrag von Jo-TheByteBreaker (Diskussion | Beiträge) 23:51, 22. Feb. 2021 (CET))