Diskussion:Parallelogrammgleichung

Weiss jemand wie man beweist, das unten stehende Gleichung auch wirklich ein inneres Produkt ist, falls die Paralelogrammgleichung gilt? --Caller1982 21:19, 6. Mai 2005 (CEST)

Der Beweis findet sich z.B. in Friedman, Foundations of Modern Analysis und in Kolmogorov/Fomin, Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. Der Beweis ist nicht besonders schwierig, man muss "nur" nachweisen, dass die Axiome der abstrakten Definition des inneren Produkts erfüllt sind; insbesondere bei $\langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle$ sind aber ein paar nichttriviale Umformungen nötig. Wenn ich Zeit finde und niemand anderer schneller ist, werde ich bei Gelegenheit den Beweis in den Artikel einbauen. --NeoUrfahraner 07:04, 9. Mai 2005 (CEST)

Ein Beweis findet sich jetzt in den Wikibooks. --NeoUrfahraner 21:23, 12. Jan 2006 (CET)

Implikation oder Äquivalenz

Ich wollte fragen, ob die Aussage auch in anderer Richtung gilt. Ob also zu jedem Quadrupel reeller Zahlen, die die Gleichung erfüllen ein passendes Parallelogramm gibt? (Hoffe, das ist keien dumme Frage) --Axel Wagner 00:46, 28. Jan. 2008 (CET)

Nein, es muss zusätzlich die Dreiecksungleichung für a,b,e gelten (Gegenbeispiel: a>b, e=0). --Quilbert 問 13:41, 25. Mai 2008 (CEST)

Es gilt aber doch die folgende Aussage: Ein Viereck, dass die Parallelogrammgleichung erfüllt a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2 ist ein Parallelogramm (a=c und b=d), obwohl ich für diese Aussage keine Quelle finden kann. Hat jemand eine? Sollte man das im Text erwähnen? --CWitte ℵ₁ 23:46, 29. Sep. 2010 (CEST)

Ohne Quelle? Hast Du zumindest einen Beweis? -- Digamma 11:41, 9. Okt. 2010 (CEST)

Ergänzung: Die Aussage steht indirekt in der englischen Wikipedia:

For the general quadrilateral with four sides not necessarily equal,

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}.\,$

where x is the length of the line joining the midpoints of the diagonals. It can be seen from the diagram that, for a parallelogram, then x = 0 and the general formula reduces to the parallelogram law.

Daraus ergibt sich auch die Umkehrung: Gilt die Parallelogrammgleichung, so ist x = 0, also teilen sich die Diagonalen gegenseitig in der Mitte. Daraus folgt, dass das Viereck ein Parallelogramm ist. Leider gibt auch die englische Wikipedia dafür keine Quelle an. -- Digamma 12:14, 9. Okt. 2010 (CEST)

Ja, stimmt. Der Beweis für die Formel für das allgemeine Viereck und die daraus folgende Äquivalenz Parallelogrammgleichung <=> Parallelogramm ist einfach. Mich wundert es einfach, dass man so schwer eine Quelle findet. Den Beweis hier hinzuballern ist auch nicht ideal, denke ich.--CWitte ℵ₁ 17:42, 12. Okt. 2010 (CEST)

Wenn der Beweis einfach ist und nicht zu aufwendig zu tippen, dann kannst Du ihn vielleicht hier auf die Diskussionsseite stellen. Das hat hilft zumindest, einen Revert oder eine Löschung wegen fehlender Quellen zu vermeiden. Möchtest Du die Aussage selbst in den Text einbauen? -- Digamma 18:07, 12. Okt. 2010 (CEST)

Ich habe es mal eingebaut. An den Formulierungen kann man sicher noch feilen. -- Digamma 18:31, 12. Okt. 2010 (CEST)

Ich schreibe den Beweis mal schnell hier auf (Kurzversion). Am einfachsten ist es vektoriell:

Seien die vier Vektoren $a={\vec {AB}},b={\vec {BC}},c={\vec {CD}},d={\vec {DA}}$ gegeben, die die Seiten eines ebenen Vierecks bilden. Es gilt dann die Schließbedingung a+b+c+d=0. Ferner seien $e=a+b,f=a+d$ die Diagonalen und $x=(a+c)/2=-(b+d)/2$ der Verbindungsvektor zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen. Für die Quadrate der Seitenlängen und Diagonalenlängen gilt dann:

$\|a\|^{2}+\|b\|^{2}+\|c\|^{2}+\|d\|^{2}-\|e\|^{2}-\|f\|^{2}=\langle a,a\rangle +\langle b,b\rangle +\langle c,c\rangle +\langle d,d\rangle -\langle a+b,a+b\rangle -\langle a+d,a+d\rangle$

$=\langle c,c\rangle -\langle a,a\rangle -2\langle a,b\rangle -2\langle a,d\rangle =\langle c,c\rangle +\langle a,a\rangle +2\langle a,c\rangle$

$=\langle a+c,a+c\rangle =4\|x\|^{2}.$

Einfaches Rumgerechne mit Vektoren also. In der zweiten Zeile der Gleichungkette wird die Schließbedingung verwendet. Mit Skizze und etwas ausführlicher noch verständlicher :-)--CWitte ℵ₁ 18:33, 12. Okt. 2010 (CEST)

Beweis mit Cosinussatz?

Das ist doch viel kürzer: $e^{2}+f^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\beta )+a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=2(a^{2}+b^{2})$. --Quilbert 問 13:31, 25. Mai 2008 (CEST)

Grafik

Die Grafik enthält unnötige Bezeichnungen. (nicht signierter Beitrag von 88.70.53.172 (Diskussion) 10:15, 30. Jun. 2010 (CEST))

Ja. Die Grafik bezieht sich auf den (kompliziereten) alten Beweis: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Parallelogrammgleichung&diff=prev&oldid=46515729 Vielleicht macht sich jemand die Muehe und erstellt eine neue Grafik. --NeoUrfahraner 11:04, 30. Jun. 2010 (CEST)

Gültigkeit für normierte Räume ohne Innenprodukt

Der Teil "Gültigkeit für normierte Räume ohne Innenprodukt" bedarf einer klareren Formulierung. (nicht signierter Beitrag von 88.70.53.172 (Diskussion) 10:15, 30. Jun. 2010 (CEST))

Was genau ist unklar? --NeoUrfahraner 11:08, 30. Jun. 2010 (CEST)

Definition des Skalarprodukts

Interessanterweise gilt der Satz nur für die Räume, in denen die Norm auf die übliche Weise aus einem Innenprodukt hervorgeht, denn wenn man die Gültigkeit voraussetzt, dann ist durch

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}$

"automatisch" ein inneres Produkt definiert, dessen Norm genau diese Eigenschaft erfüllt.

Das funktioniert so nur für reelle Vektorräume, vgl. Prähilbertraum#Parallelogrammgleichung. -- Digamma 22:02, 5. Aug. 2010 (CEST)

Rechtschreibung: Satz von Jordan-von Neumann

Nach deutscher Rechtschreibung müsste man den Begriff durchkoppeln. Es müsste also Satz von Jordan-von-Neumann heißen. Vergleiche auch die Weiterleitung Satz von Seifert-van-Kampen. Sollte die Regelung des Dudens hier Anwendung finden, oder gibt es neue deutsche Quellen, die auf den zweiten Bindestrich verzichten? --Christian1985 (Diskussion) 20:12, 13. Jan. 2012 (CET)

Hm, das war aber dann schon lange falsch. Soll ich den Redirect verschieben und die Links umbiegen? Früher oder später sollte zu diesem wichtigen Satz sowieso ein eigener Artikel her. Grüße, --Quartl 20:28, 13. Jan. 2012 (CET)