Diskussion:Satz von Kantorowitsch

Genauere Originalaussage nach Ortega

Der Artikel enthält eine vereinfachte Version der ursprünglichen Aussage. Das kam, da ich in den zur Verfügung stehenden Büchern keinen sinnvollen Beweis fand. Nun ist mir das 3-Seiten-Paper "J. M. Ortega: The Newton-Kantorovich Theorem, Amer. Math. Monthly 75 (1968)" in die Hände gefallen, in der die schärfere Aussage auf einfache Weise angegeben ist.

Nach Ortega

Seien $X,\,Y$ Banachräume, $D\subset X$ ein Gebiet, $F:D\to Y$, F auf einer konvexen offenen Teilmenge $D_{0}\subset D$ differenzierbar mit Lipschitz-stetiger Ableitung,

$\|F'(x)-F'(y)\|\leq L\,\|x-y\|$.

Operatornormen sind von den Banachraumnormen induziert.

Fixiere ein $x_{0}\in D_{0}$ mit beschränkt invertierbarer Ableitung. Setze

$a=L/2,\;b=\|F'(x_{0})^{-1}\|^{-1},\;c=\|F(x_{0})\|$

und betrachte das Polynom $p(t)=at^{2}-bt+c$. Es stellt sich heraus, dass die Nullstellen dieses Polynoms und, sofern diese reell sind, die Newton-Iteration zu p mit $t_{0}=0$, das Newton-Verfahren zu F mit Startpunkt $x_{0}$ kontrollieren. Die Nullstellen von p sind

$t^{*/**}={\frac {b}{2a}}\left(1\mp {\sqrt {1-2\gamma }}\right)$ mit $\gamma =2ab^{-2}c.$

Diese sind reell wenn

$\gamma =L\,\|F'(x_{0})^{-1}\|^{-2}\,\|F(x_{0})\|\leq {\tfrac {1}{2}}$.

Diese Bedingung kombiniert die Forderung, dass der Startpunkt der Iteration selbst schon genügend kleine Funktionswerte haben muss, mit der Forderung, dass die Jacobi-Matrix im Startpunkt $x_{0}$ nicht allzu singulär ist.

Für das quadratische Polynom konstruiert man nun die Folge der Newton-Iteration, welche im Nullpunkt startet,

$t_{0}=0$ und $t_{k+1}=t_{k}-{\tfrac {p(t_{k}}{p'(t_{k})}}$.

Dies ist eine monoton gegen die kleinere Nullstelle $t^{\ast }$ konvergente Folge. Man kann diese explizit bestimmen, indem man die Quotienten

$\theta _{k}={\frac {t_{k}-t^{*}}{t_{k}-t^{**}}}$, mit welcher umgekehrt $t_{k}={\frac {t^{*}-\theta _{k}\,t^{**}}{1-\theta _{k}}}$ gilt,

betrachtet und für diese die Rekursionsgleichung

$\theta _{k+1}=\theta _{k}^{2}\implies \theta _{k}=\theta _{0}^{2^{k}}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-2\gamma }}}{1+{\sqrt {1-2\gamma }}}}\right)^{2^{k}}$

feststellt.

Für die Newton-Iteration zu F ergibt sich daraus:

1. $F^{\prime }(x)$ ist invertierbar für alle $x\in D_{0}\cap B(x_{0},{\tfrac {b}{2a}})$ und es gilt

   $\|F'(x)^{-1}\|\leq (b-2a\|x-x_{0}\|)^{-1}$

2. Ist $B(x_{0},t^{*})\subset D_{0}$, dann konvergiert das Newton-Verfahren mit Startpunkt $x_{0}$ und

   $x_{k+1}=x_{k}-F'(x_{k})^{-1}F(x_{k})$.

   gegen einen Punkt $x^{\ast }$ im Abschluss dieser Kugel. Mehr noch, es gelten

   $\|x_{k+1}-x_{k}\|\leq t_{k+1}-t_{k}$ und

   $\|x^{*}-x_{k}\|\leq t^{*}-t_{k}={\frac {\theta _{k}}{1-\theta _{k}}}(t^{**}-t^{*})\leq {\frac {1}{2^{k}}}\cdot {\frac {\theta _{k-1}}{1+\theta _{k-1}}}\cdot t^{*}$

   wobei beide Abschätzungen die quadratische Konvergenz für $2\gamma <1$, d.h. $t^{*}<t^{\ast \ast }$, und die zweite Abschätzung die lineare Konvergenz im Grenzfall $2\gamma =1$ ergeben.

3. F hat keine weitere Nullstelle im Bereich $D_{0}\cap B(x_{0},t^{\ast \ast }).$

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Irgendwann kommt das in den Artikel, ich bin mir nicht sicher, ob als Ersatz der bisherigen Ausführungen oder als genauere Verallgemeinerung.--LutzL 11:37, 17. Jun. 2009 (CEST)