Diskussion:Schätzfehler

Schätzfehler und Standarfehler

Mir wird aus den Wikipedia-Artikeln nicht klar, wo der Unterschied zwischen Schätzfehler und Standardfehler liegt, bzw. ob es einen Zusammenhang gibt. Dank schon mal --source 09:35, 2. Apr. 2008 (CEST)

Der Schätzfehler ist die zufällige Abweichung $T-\theta$ zwischen einem Schätzer $T$ und dem zu schätzenden unbekannten Parameter $\theta$. Der Standardfehler ist eine Kennzahl der Verteilung von $T$, nämlich die Standardabweichung $\sigma [T]={\sqrt {\mathrm {Var} [T]}}$. Es gilt der Zusammenhang

$\mathrm {E} [(T-\theta )^{2}]=\mathrm {Var} [T]+(\mathrm {E} [T]-\theta ^{2})$.

Im Fall einer unverzerrten (erwartungstreuen) Schätzfunktion $T$ gilt der engere Zusammenhang

$\mathrm {E} [(T-\theta )^{2}]=\mathrm {Var} [T]$.

Die linke Seite ist der mittlere quadratische Fehler der Schätzfunktion; die rechte Seite ist das Quadrat des Standardfehlers. --Sigma^2 (Diskussion) 23:24, 28. Apr. 2024 (CEST)

Das müsste im Artikel noch besser dargestellt werden.--Sigma^2 (Diskussion) 23:26, 28. Apr. 2024 (CEST)

In der Bezeichnungsweise des Artikels: $\mathrm {Var} [e]=\mathrm {Var} [{\hat {\vartheta }}]$, da sich die Zufallsvariablen $e$ und ${\hat {\vartheta }}$ nur durch die Verschiebung um eine Konstante unterscheiden. Damit gilt für die Standardabweichungen $\sigma [e]=\sigma [{\hat {\vartheta }}]$. Daher ist die Standardabweichung des Fehlers auch die Standardabweichung des Schätzers und damit der Standardfehler.--Sigma^2 (Diskussion) 00:08, 29. Apr. 2024 (CEST)

$\sigma ^{2}$

In der Tabelle tauchen drei unterschiedliche, nicht weiter kommentierte Formeln zu $\sigma ^{2}$ auf (zwei davon zu "$X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )$ und $\mu$ unbekannt" - ohne dass eine Abgrenzung erfolgt). Das sollte genauer ausgeführt werden. --Zulu55 (Diskussion) _Unwissen 14:15, 19. Aug. 2013 (CEST)

Hm, das sind halt einfach drei verschiedene Schätzfunktionen für $\sigma ^{2}$. Ich weiß nicht, ob man das wirklich noch viel dazu schreiben sollte. Das ist ja auch gar nicht das Thema dieses Artikels. -- HilberTraum (Diskussion) 19:21, 19. Aug. 2013 (CEST)

Nun ja, was hat der Leser in diesem Artikel hier von der letzten Formel, die ja einen verzerrten Schätzer liefert? --Zulu55 (Diskussion) _Unwissen 10:12, 20. Aug. 2013 (CEST)

Naja, er sieht halt ein bekanntes Beispiel für einen verzerrten Schätzer. Aber stimmt schon, so wirklich erhellend ist die Tabelle nicht. -- HilberTraum (Diskussion) 16:13, 20. Aug. 2013 (CEST)

In der Regel (oder sehr oft) ist $\sigma ^{2}$ die Varianz der Grundgesamtheit (oder auch der Population) nicht bekannt und muss aus einer Stichprobe (vom Umfang $n$) geschätzt werden.

Je nachdem, was wir über unser Grundgesamtheit wissen, kann mensch das auf unterschiedliche Art und Weise tun.

Ausgehend davon, dass die Stichprobenwerte $x_{i}$ Realisationen der Zufallsvariablen $X_{i}$ sind, und diese Zufallsvariablen (identisch) normalverteilt sind mit den Parametern $\mu =E[X_{i}]$ und $\sigma =Var[X_{i}]$ kann man $\sigma ^{2}$ wie folgt schätzen:

a) Falls $\mu$ bekannt ist kann mensch einfach mit ${\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}$ schätzen und erhält eine unverzerrte Schätzung für $\sigma ^{2}$.

b) Falls $\mu$ unbekannt wird $\mu$ durch ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}$ geschätzt und dann kann mit Hilfe von ${\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ der Wert für $\sigma ^{2}$ geschätzt werden, aber man hat eine verzerrte Schätzung.

c) Alternativ kann man, falls $\mu$ unbekannt und man daher $\mu$ durch ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}$ geschätzt hat, auch $\sigma ^{2}$ durch ${\frac {1}{n-1}}\cdot \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ schätzen. Diese Schätzung ist unverzerrt.

In allen drei Fällen ist der Schätzfehler natürlich die Differenz zwischen dem geschätzten und dem wahren Wert.

Norman Markgraf (Diskussion) 19:56, 14. Jun. 2020 (CEST)

Ah, danke. --Zulu55 (Diskussion) 10:23, 16. Jun. 2020 (CEST)

Nicht die Schätzwerte (berechnete Zahlen) sind unverzerrt, sondern die Schätzfunktionen (Zufallsvariablen) sind unverzerrt. Insofern sind die Beispiele a), b) und c) nur halb richtig. Auch wenn Praktiker vielleicht von unverzerrten Schätzwerten sprechen, wenn sie realisierte Werte einer unverzerrten Schätzfunktion vorliegen haben. Unverzerrtheit ist eine Eigenschaft der statistischen Methode und nicht der berechneten Zahlen.--Sigma^2 (Diskussion) 00:15, 29. Apr. 2024 (CEST)