Diskussion:Sphärisches Pendel

Dieser Artikel wurde ab Dezember 2014 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Konisches Pendel vs. Sphärisches Pendel“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

Grob falsch?

Hoppla! Täusche ich mich, oder ist die angegebene Lösung grob falsch? Dort steht, dass die Lösung für die Azimutkomponente unter mathematisches Pendel zu finden sei. Nun ist $\theta ={\text{const.}},\varphi =\omega t$ mit $\omega ={\sqrt {{\frac {g}{r}}\tan \theta }}$ eine Lösung des spährischen Pendels (Sollte ich mich nicht verrechnet haben). $\theta ={\text{const.}}$ ist aber außer für den trivialen Fall ($\theta \equiv 0$) definitiv keine Lösung des mathematischen Pendels, zumindest nicht im Inertialsystem. Außerdem stört, dass der Azimutwinkel ($\theta$) anders benannt ist, als der Auslenkungswinkel des mathematischen Pendels ($\varphi$. --Pyrrhocorax (Diskussion) 17:23, 15. Dez. 2014 (CET)

Gute Frage,...Dass Dich die Benennung des Azimutwinkels stört, okay: den kann man umbenennen. Zu dem Preis, dass die Winkelbezeichnung anders ist als bei Kugelkoordinaten üblich. Ist echt doof, dass immer alle Winkel $\textstyle \varphi$, $\textstyle \phi$ oder $\textstyle \alpha$ heißen.--Alturand (Diskussion) 17:51, 15. Dez. 2014 (CET)

Ich habe ein wenig Mühe, geistig zu folgen. Das kann daran liegen, dass ich irgendwas nicht verstehe, oder daran, dass möglicherweise die Begriffe Azimut- und Polarwinkel vertauscht wurden. Ich möchte aber die Gelegenheit benutzen, um nochmals die Frage aufzuwerfen, ob die Zusammenlegung von Kugel- und Kegelpendel wirklich eine gute Idee war. Wäre es nicht besser, die einfache Theorie des Kegelpendels, die ja fast noch einfacher ist als die Theorie des ebenen Pendels, in einem eigenen Artikel zu präsentieren (wie es div. Lexika und anderssprachige Wikis tun) und sich beim sphärischen Pendel erst mal auf die Aussage zu beschränken, dass es kompliziert ist?! Das ebene Pendel ist weitgehend erledigt, jetzt wäre als nächstes das Kreispendel dran (zu dem es noch gar nichts gibt!), und wenn sich dann irgendwann noch ein Experte fürs Kugelpendel findet, umso besser. Das derzeitige Vorgehen erinnert mich ein wenig an die Schildbürgerpraxis, beim Hausbau zuerst das Dach zu errichten. --Balliballi (Diskussion) 00:49, 16. Dez. 2014 (CET)

Azimut- und Polarwinkel vertauscht? Was meint Ihr? Ich meine: das ebene Pendel ist ein sphärisches Pendel, dessen Azimutwinkel θ sich periodisch verändert. Verwirrend ist, dass in den 'ebenen' Gleichtungen immer φ der Auslenkungswinkel ist. Das zieht sich übrigens leider durch die gesamte Literatur und führt zu noch mehr Verwirrung, wenn man Zylinder- und Kugelkoordinaten direkt nebeneinander stehen hat... -- Alturand (Diskussion) 10:00, 16. Dez. 2014 (CET)

AAAAAAAARRRRXXXXX - da bin ich falsch eingerastet...und bin der totalen Begriffsverwirrung anheimgefallen...--Alturand (Diskussion) 10:02, 16. Dez. 2014 (CET)

Okay, ich hatte auch die Begriffe vertauscht, aber ich konnte mir noch nie merken welches nun der Azimut- und welches der Polarwinkel ist. Nichtsdestoweniger bleibt mein Einwand bestehen: Es gibt Lösungen des sphärischen Pendels, deren Polarkomponente nicht durch das mathematische Pendel abgedeckt ist. --Pyrrhocorax (Diskussion) 10:23, 16. Dez. 2014 (CET)

Bewegungsgleichung in kartesischen Raumkoordinaten

Wäre der folgende Text eine willkommene Ergänzung des Artikels? In numerischen Rechnungen verhält sich das Modell absolut unproblematisch.

In der ohne Einschränkungen gültigen kartesischen Bewegungsgleichung der Pendelmasse

${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}_{t}-{\vec {a}}_{z}$

bestimmen die Tangentialkomponente ${\vec {g}}_{t}$ der Schwerebeschleunigung ${\vec {g}}$ und die Zentrifugalbeschleunigung ${\vec {a}}_{z}$ die Bahnkurve ${\vec {r}}$ im Raum. ${\vec {a}}_{z}$ schränkt die Bahn der beweglichen Masse auf die Oberfläche der Kugel mit dem Radius $L$ (Pendellänge) ein. Mit dem radialen Einheitsvktor ${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/L$ gilt ${\vec {g}}_{t}={\vec {g}}-({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r}){\vec {e}}_{r}$. Die Zentrifugalbeschleunigung errechnet sich aus der Tangentialkomponente der Geschwindigkeit ${\dot {\vec {r}}}_{t}={\dot {\vec {r}}}-({\dot {\vec {r}}}\cdot {\vec {e}}_{r}){\vec {e}}_{r}$ zu ${\vec {a}}_{z}={\frac {{\dot {\vec {r}}}_{t}^{2}}{L}}{\vec {e}}_{r}$.

Die Anfangswerte ${\vec {r}}_{0}$ und ${\dot {\vec {r}}}_{0}$ müssen auf der Kugel realisierbar sein. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:17, 8. Aug. 2018 (CEST)

Ich wüsste nicht, inwiefern kartesische Koordinaten einen Mehrwert für den Artikel bieten würden, insbesondere sehe ich auch nicht kartesische Koordinaten in deinen Ausführungen. Der Lagrange-Formalismus hat die Bedinungung ${\ddot {r}}={\dot {r}}=0$ intrinsisch inne. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 01:58, 9. Aug. 2018 (CEST)

Ich hatte übersehen, hier noch ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ zu erklären. Der Mehrwert liegt darin, dass die Bewegungsgleichung in dieser Form für die meisten Leser einfacher zu verstehen ist. Statt des Lagrange-Formalismus genügt in der Herleitung Vektoralgebra. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:21, 9. Aug. 2018 (CEST)

Ich bin auch eher skeptisch und sehe darin keine Bereicherung des Artikels. (1) Es ist kein leichtes, Ansatz und Rechnung nachzuvollziehen, daher sehe ich nicht, welche Lesergruppe Du im Auge hast. (2) Begriffstechnisch unzulänglich finde ich die Bezeichnung "kartesisch"; der Hinweis auf die überhaupt nicht benutzte Form ${\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ würde da gar nichts bringen. Es ist schlichte Vektoralgebra. (3) Dito die Nutzung der Zentrifugalkraft statt -petalkraft. (4) Damit überhaupt irgendwas rüberkommt, müsste man ein durchgeführtes Beispiel sehen. - Aber auch wenn das alles ok wäre, glaube ich nicht, dass der Artikel dadurch besser würde. --Bleckneuhaus (Diskussion) 13:49, 9. Aug. 2018 (CEST)

Bewegungsgleichung in kartesischen Raumkoordinaten (Version 2)

Bahnkurve eines sphärischen Pendels Pendelstange $L=1\,{\text{m}}$ lang, Anfangsposition waagerecht: $x=L$, $y=z=0$. Anfangsgeschwindigkeit: 200°/s in +z-Richtung und 90°/s in +y-Richtung. Simulationszeit: 3 s

Die bisher verwendeten sphärischen Koordinaten erscheinen zur Formulierung der Bewegungsgleichung eines sphärischen Pendels besonders geeignet. In kartesischen Koordinaten ergibt sich die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}$ der Pendelmasse als Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung

${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}_{t}+{\vec {a}}_{p}$ .

Die Pendelmasse bewegt sich dabei auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $L$ um den raumfesten Aufhängepunkt im Koordinatenursprung. Für eine konkrete Bahnsimulation muss die Anfangsposition auf der Kugel liegen, und die dortige Anfangsgeschwindigkeit darf keine Radialkomponente besitzen.

Die Beschleunigung auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung setzt sich aus der tangentialen Komponente der Schwerebeschleunigung ${\vec {g}}_{t}$ und der Zentripetalbeschleunigung ${\vec {a}}_{p}$ zusammen. Die ihnen entsprechenden Kräfte halten die Pendelmasse auf der Kugelfläche. Das Modell ersetzt die radiale Führungswirkung der Pendelstange durch Weglassen der radialen Komponente der Schwerebeschleunigung und das Hinzufügen der Zentripetalbeschleunigung. Mit der Länge der Pendelstange $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, dem radialen Einheitsvektor ${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/r$ und der Geschwindigkeit der Pendelmasse ${\dot {r}}={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}$ ergeben sich die im Modell benötigten Beschleunigungen

${\vec {g}}_{t}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})$

und

${\vec {a}}_{p}=-{\vec {e}}_{r}{\dot {r}}^{2}/r$.

Die Masse des Pendels beeinflusst die Rechnung nicht. Unabhängig von der Koordinatenwahl (sphärisch oder kartesisch) lassen sich die Bahngleichungen nicht in algebraischer Form angeben. Das kartesische Modell verhält sich bei numerischen Simulationen unproblematisch (z. B. in der Skizze rechts). Es erfasst auch den allgemeineren Fall der Bewegung auf einer Kugelfläche in einem inhomogenen, zeitveränderlichem Beschleunigungsfeld ${\vec {g}}({\vec {r}},t)$. Sein weiterer Vorteil liegt in der Einfachheit der Herleitung: Sie begnügt sich mit elementarer Vektoralgebra. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:15, 14. Aug. 2018 (CEST)--Modalanalytiker (Diskussion) 00:03, 15. Aug. 2018 (CEST)

Modell und Beschreibung scheinen mir sachlich in Ordnung. Aber was das als Text in einem Wikipediaartikel soll, der nicht von Beispielen numerischer Modellierung sondern vom Phänomen selber handelt, ist mir nicht so klar. Es könnte als weblink zitiert werden, wenn Du es irgendwo abrufbar hinterlegst. Dann müsste aber auch detaillierter gesagt werden, wie das numerische Modell genau funktioniert. Jetzt sind Deine Hinweise darauf (im Rahmen eines WP-Artikels Sphär. Pendel) absolut nichtssagend bis überflüssig. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:03, 15. Aug. 2018 (CEST)

Der Hinweis auf die numerische Modellierung ist wirklich überflüssig. Der war durch meine Schwierigkeiten beim numerischen Lösen der Dgl. des Artikels ausgelöst. Apropos: Geht deren numerische Lösung bei Euch glatt durch? Vielleicht kann mal jemand das Beispiel der Graphik probieren.

Was soll der Text (neue Fassung Version 3) in diesem Wikipedia Artikel? Er soll mehr Lesern einen physikalischen Zugang zu der Bewegungsgleichung bieten. In einem Artikel über den Lagrange-Formalismus ist das sphärische Pendel ein begehrtes Beispiel. In einem Artikel über das sphärische Pendel ist der L-F ein möglicher Weg, aber nicht der einfachste und am leichtesten verständliche. Deshalb passt eine Alternative.

Bewegungsgleichung in kartesischen Raumkoordinaten (Version 3)

Bahnkurve eines sphärischen Pendels

Details

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Pendelstange $L=1\,{\text{m}}$ lang, Anfangsposition waagerecht: $x=L$, $y=z=0$. Anfangsgeschwindigkeit: 200°/s in +z-Richtung und 90°/s in +y-Richtung. Dargestellte Zeitspanne: 3 s

In kartesischen Koordinaten ergibt sich die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}$ der Pendelmasse als Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung

${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}_{t}+{\vec {a}}_{p}$ .

Die Pendelmasse bewegt sich dabei auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $L$ um den raumfesten Aufhängepunkt im Koordinatenursprung. Für eine konkrete Bahnsimulation muss die Anfangsposition auf der Kugel liegen, und die dortige Anfangsgeschwindigkeit darf keine Radialkomponente besitzen.

Die Beschleunigung auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung setzt sich aus der tangentialen Komponente der Schwerebeschleunigung ${\vec {g}}_{t}$ und der Zentripetalbeschleunigung ${\vec {a}}_{p}$ zusammen. Die ihnen entsprechenden Kräfte halten die Pendelmasse auf der Kugelfläche. Das Modell ersetzt die radiale Führungswirkung der Pendelstange durch Weglassen der radialen Komponente der Schwerebeschleunigung und das Hinzufügen der Zentripetalbeschleunigung. Mit der Länge der Pendelstange $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, dem radialen Einheitsvektor ${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/r$ und der Geschwindigkeit der Pendelmasse ${\dot {r}}={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}$ ergeben sich die im Modell benötigten Beschleunigungen

${\vec {g}}_{t}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})$

und

${\vec {a}}_{p}=-{\vec {e}}_{r}{\dot {r}}^{2}/r$.

Die Masse des Pendls beeinflusst die Pendelbahn nicht. Unabhängig von der Koordinatenwahl (sphärisch oder kartesisch) lassen sich die Bewegungs-Dgln. nur numerisch lösen, wie z. B. für die Graphik rechts. Die kartesische Modellierung erfasst auch den allgemeineren Fall der Bewegung auf einer Kugelfläche in einem inhomogenen, zeitveränderlichem Beschleunigungsfeld ${\vec {g}}({\vec {r}},t)$. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:52, 15. Aug. 2018 (CEST)

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Kommentare: 1. Das hat speziell mit kartesischen Koordinaten nichts zu tun (solange man nicht die Gleichungen diskutiert, in den x, y, z vorkommen). Insofern: Überschrift ungeeignet. 2. Was ist denn jetzt mit "Modell" gemeint? 3. Die Masse beeinflusst nicht nur die Rechnung nicht, sondern kommt von Anfang an, und zwar aus physikalischen Gründen, gar nicht vor, ist also irrelevant. Welchen Sinn soll der betreffende Satz haben? 4. Meine gewichtigste Kritik: Physikalisch erscheint unlogisch, warum die radiale Komponente nur bei der einen Kraft weggelassen wird, wenn sowieso $r=const$ bzw. ${\dot {r}}^{2}=0$ benutzt werden muss. 5. Die Formel für die Zentripetalbeschleunigung ist wohl falsch. Richtig wäre (in kartesischen Koordinaten) $a_{p}=({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ bzw. (in Polarkoordinaten) $a_{p}=({\dot {r}}^{2}+r^{2}\vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta {\dot {\varphi }}^{2})/r$. 6. Für einen leichten physikalischen und anschaulichen Zugang sind im Artikel schon zwei Fälle dargestellt (konisches Pendel, 2dim harmonischer Oszillator). Daneben sehe ich überhaupt keinen Zugewinn durch Deinen nicht nachvollziehbaren Ansatz. - Übrigens kann ich die Frage, das mit der Grafik mal schnell selber zu probieren, nicht umsetzen. Deine Lösung erscheint mir plausibel. --Bleckneuhaus (Diskussion) 14:58, 15. Aug. 2018 (CEST)

An Bleckneuhaus

Zu 1 und 2: siehe Version 4

Zu 3: Der Hinweis auf die irrelevante Masse war ein Reflex darauf, dass sie im Artikeltext aus mir unklaren Gründen nicht eliminiert wird. Bei der vektorwertigen Dgl. ist der Hinweis tatsächlich überflüssig. Siehe Version 4!

Zu 4: Da die Dgl. keine Pendelstange kennt, mussen die Kräfte (eigentlich Beschleunigungen) im Rechtsterm die Stangenrolle übernehmen: Die durch das Schwerefeld eingeprägte Kraft kann sich nicht entlang der Stange auswirken. Also darf die Masse nur die tangentiale Komponenete zu "sehen" bekommen. Mit nur deser Korrektur kann die Masse immer noch von der Kugelfläche fortdriften. Das verhindert die hinzuaddierte passende Zentripetalkraft, welche die Masse an die Kugelfläche bindet.

Zu 5:Deine Formel für $a_{p}$ ist richtig. Ihr Rechtsterm ist identisch mit ${\dot {r}}^{2}/r$, wenn du $r$ und ${\dot {r}}$ nach den schon in Version 3 angegebenen Gleichungen substituierst. Ich sehe da keine Widersprüche.

Zu: "Daneben sehe ich überhaupt keinen Zugewinn durch Deinen nicht nachvollziehbaren Ansatz.": "Nicht nachvollziehbar" solltest Du subjektiv einschränken. Über den "Zugewinn" will ich mich nicht nochmal äüßern. Mir genügt dafür schon der Hinweis im letzten Satz von Version 3 oder 4.

Antwort (nach 1 Woche Abwesenheit): Allmählich wird es (in meinen Augen) besser. Der Wurm steckt noch in Punkt 4, der eine in der Mechanik unübliche Weise der Begründung und Notation auftischt, die auch mit dem Rest des Artikels nicht kompatibel ist. Bewegungen mit vorgegebenen Einschränkungen werden wohl ausnahmslos mit Zwangskräften formuliert und nicht, wie von Dir, mit freihändig ausgewählten bzw. weggelassenen Kraftkomponenten. Im Ergebnis ist Deine DGl natürlich richtig, aber für eine nachvollziehbare Herleitung aus der Bewegungsgleichung F=ma müssen dort alle Kräfte eingesetzt werden (wie bei den Beispielen konisches Pendel und 2dim Oszillator im Artikel schon vorgemacht). Als resultierende radiale Kraft, die die Bewegung auf Kreisbögen krümmt, ergibt sich aus der Summe von Zwangskraft und radialer g-Komponente auch richtig Dein a_p. Mit unüblicher Notation meine ich, dass Du ${\dot {r}}$ mit $\left|{\dot {\vec {r}}}\right|$ identifizierst statt mit der Ableitung der Radialkoordinate, ${\text{d}}r/{\text{d}}t$, was überall sonst üblich ist und auch allein mit der eingangs im Artikel gegebenen Definition von $r$ zusammenpasst und von mir automatisch angenommen worden war. Nach entsprechender Korrektur des Textes würde ich den Abschnitt befürworten (aber ohne den angeklebten allerletzten Satz, der keinerlei Bezug zum Lemma hat). Noch schöner wäre es, man könnte die Grafik animieren, und dann womöglich auch die Fälle des konischen und des 2dim harmonischen Pendels zeigen. Das wäre ein echter Gewinn! (SciLab kannte ich noch nicht, werde es mir jetzt mal besorgen.) --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:17, 24. Aug. 2018 (CEST)

Hallo @Modalanalytiker, willst Du nochmal antworten? Sonst würde ich nämlich Deinen Entwurf nach meinem gusto (s.o.) umarbeiten und einstellen (einschl. Deines Simulationsprogramms, das ich höchstens noch etwas entschlacken würde). Ich will Dir aber nicht die WP-Autorschaft stehlen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 11:51, 28. Aug. 2018 (CEST)

Das würde ich schon gern selber machen. Nur kann das erst in knapp zwei Wochen sein. Ich bin z. Z. rechnermäßig stark eingeschränkt. Ich denke, dass die Ergänzung auch nicht dringlich ist. Apropos Simulation: Ich habe natürlich zuerst versucht, die Dgl. in sphärischen Koordinaten, wie sie im Artikel steht, numerisch zu lösen und bin dabei nicht klargekommen. Es würde mich interessieren - jetzt, wo Du Scilab hast - ob das bei Dir glatt durchläuft. Natürlich nur, wenn Du interessiert bist. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:29, 2. Sep. 2018 (CEST)

Ich lass Dir gerne den Vortritt, habe aber, wie Du weißt, einigermaßen feste Vorstellungen zur Art und Einbindung der physikalischen Argumentation. Ich denke da an einen mittleren Umbau des Artikels, so dass die beiden Behandlungen nach Lagrange bzw. nach Newton (also Deine zusammen mit den beiden einfachen "Speziellen Lösungen") je einen eigenen (Unter-)Abschnitt bilden. Vielleicht lässt Du mich diesen Rahmen entwerfen, wo der Platz für die Simulation dann schon vorgesehen ist? Ich finde Dein SciLab-kript richtig gut, bis auf ein paar redaktionelle Kürzungen und Ergänzungen an Stellen, wo ich beim Nachempfinden gestutzt habe. (Leichte Umbenennung mancher Variablen, Verzicht auf die unerhebliche Eingabe von g in die Funktion, unwichtige Änderung von Farben.) Hier ist meine Version (nimm sie einfach, wenn Du magst, und mach die Anfangswerte und die Farben wieder wie Du willst):

 //SKRIPTANFANG. Dieses Skript ist mit der freien Mathematik-Software "Scilab" als sce-Datei ausführbar    
   //Numerische Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung des sphärischen Pendels
   //ursprüngliche Version Modalanalytiker (1.0)) etwas überarbeitet von Bleckneuhaus (also jetzt 1.1))
   //Bahnkurve für Wikimedia-Bild "SphaerischesPendelxyz.svg"  
   //Durchgängig SI-Einheiten!
     d2r=%pi/180;//degree to radian
     
  //########## [ EINGABE ##############################################
     g=[0;0;-9.81]//Erdbschleunigung, kartesiche Koordinaten           
     L=1//Pendellänge
     TSim=7.9// Dauer der Simulation           
     deltaT=0.01//Zeitschritt der Ausgabe
     
     //Anfangszustand in sph. Koord., um unrealistische Zustände auszuschließen   
       Th0=40*d2r;     //Polarwinkel Theta
       dThdt0=-100*d2r;  //Polarwinkelgeschwindigkeit dTheta/dt
       Ph0=0*d2r;      //Azimut Phi
       dPh0=30*d2r;   //Azimutwinkelgeschwindigkeit
  //########## ] EINGABE ENDE #########################################      

   t=0:deltaT:TSim;//Liste der Zeitwerte der Simulation
 //Umrechnung der AW in kartesische Koordinaten  
 
   //Zustand Z=[x,y,z,vx,vy,vz] Großbuchstabe Z!    
   //Anfangszustand Z0 
   //Position  
   x0=L*sin(Th0)*cos(Ph0); 
   y0=L*sin(Th0)*sin(Ph0);
   z0=L*cos(Th0);
   Z0(1:3)=[x0;y0;z0];//Anfangsposition der Masse, 
   eTh0=[cos(Th0)*cos(Ph0);cos(Th0)*sin(Ph0);-sin(Th0)]//polarer Einheitsvektor am Startpunkt
   ePh0=[-sin(Ph0);cos(Ph0);0]//azimutaler Einheitsvektor am Startpunkt

   Z0(4:6)=L*dThdt0 *eTh0 + L*sin(Th0)*dPh0 *ePh0//Anfangsgeschwindigkeit

   function dZ=xyzPendel(t,Z)//
       //Ableitung des Zustandsvektors z=[x;y;z;vx;vy;vz],  6 x 1
       dZ(1:3)=Z(4:6)//Geschwindigkeit 3 x 1
       r=norm(Z(1:3))//Abstand der Masse vom Ursprung, Länge der Pendelstange, 1 x 1
       er=Z(1:3)/r //Radialer Einheitsvektor der Massenposition, 3 x 1                              
       dZ(4:6)=g-er*(g'*er + Z(4:6)'*Z(4:6)/r) //Beschleunigung, 3 x 1
   endfunction 
 //Integration der Dgl.
 //Solver automatically selects between nonstiff predictor-corrector Adams method and 
   //stiff Backward Differentiation Formula (BDF) method      
   Zk=ode(Z0, t(1), t, list(xyzPendel));//###### Dgl.-Lösung ###########
 
 //Graphik
   xdel();
   param3d(Zk(1,:),Zk(2,:),Zk(3,:))//####################################
   title('Sphärisches Pendel mit Aufhänging im Ursprung ""o""')
     ce=gce(); ce.foreground=5; ce.thickness=3; //rote Kurve
   param3d(Zk(1,1),Zk(2,1),Zk(3,1))//ausgefüllter roter Kreis für Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 10; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;               
  param3d(Zk(1,:),Zk(2,:),-L*ones(Zk(1,:)))//Projektion z=konst
     ce=gce(); ce.foreground=6;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(Zk(1,1),Zk(2,1),-L*ones(Zk(1,1)))//Projektion z=konst, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;               
  param3d(-L*ones(Zk(1,:)),Zk(2,:),Zk(3,:))//Projektion x=konst
     ce=gce(); ce.foreground=13;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(-L*ones(Zk(1,1)),Zk(2,1),Zk(3,1))//Projektion, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;                     
  param3d(Zk(1,:),+L*ones(Zk(1,:)),Zk(3,:))//Projektion y=konst
     ce=gce(); ce.foreground=13;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(Zk(1,1),+L*ones(Zk(1,1)),Zk(3,1))//Projektion, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;                                    
  param3d(0,0,0) //schwarzes O-Zeichen für Ursprung
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=9; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 1;
  ca=gca();
     ca.rotation_angles=[60 280];
     ca.data_bounds = 1.1*[-1,-1,-1.;1,1,1];
     ca.tight_limits = ["on","on","on"];

//SKRIPTENDE

Ob ich mal selber versuche, andere DGL damit zu behandeln - mal sehen, ob ich dazu Zeit (d.h. Lust) habe. Gruß! --Bleckneuhaus (Diskussion) 22:20, 2. Sep. 2018 (CEST)

Deine physikalischen Vorstellungen sind ganz in Ordnung. Eingeprägte und Zwangskräfte sollte man separieren und einige begriffliche Fehler hast Du zu Recht kritisiert. Deshalb mach mal den neuen Rahmen. Die Vektordgl. auf derselben Unterebene wie das konische Pendel oder andere Spezialfälle zu behandeln, passt m. E. nicht. Die Vektordgl. ist ja kein Spezialfall, sondern genau so allgemein wie die mit sphärischen Koordinaten. Zum Skript: Ich liste in den Argumenten einer Funktion immer alle vom rufenden Skript übergebenen Variablen auf, auch wenn das in Scilab nicht nötig ist - eine Frage der Programmierhygiene. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:01, 3. Sep. 2018 (CEST)

Vektorielle Bewegungsgleichung (Version 4)

Bahnkurve eines sphärischen Pendels

Details

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Pendelstange $L=1\,{\text{m}}$ lang, Anfangsposition waagerecht: $x=L$, $y=z=0$. Anfangsgeschwindigkeit: 200°/s in +z-Richtung und 90°/s in +y-Richtung. Dargestellte Zeitspanne: 3 s

In kartesischen Koordinaten ergibt sich die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}$ der Pendelmasse als Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung

${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}_{t}+{\vec {a}}_{p}$ .

Die Pendelmasse bewegt sich dabei auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $L$ um den raumfesten Aufhängepunkt im Koordinatenursprung. Für eine konkrete Bahnsimulation muss die Anfangsposition auf der Kugel liegen, und die dortige Anfangsgeschwindigkeit darf keine Radialkomponente besitzen.

Die Beschleunigung auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung setzt sich aus der tangentialen Komponente der Schwerebeschleunigung ${\vec {g}}_{t}$ und der Zentripetalbeschleunigung ${\vec {a}}_{p}$ zusammen. Die ihnen entsprechenden Kräfte halten die Pendelmasse auf der Kugelfläche. Sie ersetzen die radiale Führungswirkung der Pendelstange durch Weglassen der radialen Komponente der Schwerebeschleunigung und das Hinzufügen der Zentripetalbeschleunigung. Mit der Länge der Pendelstange $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$, dem radialen Einheitsvektor ${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/r$ und der Geschwindigkeit der Pendelmasse ${\dot {r}}={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}$ ergeben sich die in der Dgl. benötigten Beschleunigungen

${\vec {g}}_{t}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})$

und

${\vec {a}}_{p}=-{\vec {e}}_{r}{\dot {r}}^{2}/r$.

Unabhängig von der Koordinatenwahl (sphärisch oder kartesisch) lassen sich die Bewegungs-Dgln. nur numerisch lösen, wie z. B. für die Graphik rechts. Die Vektor-Differenzialgleichung erfasst auch den allgemeineren Fall der Bewegung auf einer Kugelfläche in einem inhomogenen, zeitveränderlichem Beschleunigungsfeld ${\vec {g}}({\vec {r}},t)$. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:37, 15. Aug. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 19:02, 15. Aug. 2018 (CEST)

Pendelspielwiese

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//SKRIPTANFANG. Dieses Skript ist mit der freien Mathematik-Software "Scilab" als sce-Datei ausführbar

   //Numerische Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung des sphärischen Pendels
   //Bahnkurve für Wikimedia-Bild "SphaerischesPendelxyz.svg"  
   //Durchgängig SI-Einheiten!
     d2r=%pi/180;//degree to radian
     
  //########## [ EINGABE ##############################################
     g=[0;0;-9.81]//Erdbschleunigung, kartesiche Koordinaten           
     L=1//Pendellänge
     TSim=3// Dauer der Simulation           
     deltaT=0.01//Zeitschritt der Ausgabe
     //Anfangszustand in sph. Koord., um unrealistische Zustände auszuschließen       
       Th0=90*d2r;     //Polarwinkel
       dTh0=-200*d2r;  //Polarwinkelgeschwindigkeit
       Ph0=0*d2r;      //Azimut 
       dPh0=90.*d2r;   //Azimutwinkelgeschwindigkeit
  //########## ] EINGABE ENDE #########################################      

   function dz=xyzPendel(t,z,g)//
       //Ableitung des Zustandsvektors z=[x;y;z;dx;dy;dz],  6 x 1
       //g=[gx; gx; gz]: Schwerebeschleunigung
       dz(1:3)=z(4:6)//Geschwindigkeit 3 x 1
       r=norm(z(1:3))//Abstand der Masse vom Ursprung, Länge der Pendelstange, 1 x 1
       er=z(1:3)/r //Radialer Einheitsvektor der Massenposition, 3 x 1                              
       dz(4:6)=g-er*(g'*er + z(4:6)'*z(4:6)/r) //Beschleunigung, 3 x 1
   endfunction
   
   t=0:deltaT:TSim;//Zeitspanne der Simulation
 //Umrechnung der AW in kartesische Koordinaten  
   //Anfangsposition  
   x0=L*sin(Th0)*cos(Ph0); 
   y0=L*sin(Th0)*sin(Ph0);
   z0=L*cos(Th0);
   Z0(1:3)=[x0;y0;z0];//Anfangsposition der Masse, Großbuchstabe Z0!
 //Anfangsgeschwindigkeit
   eTh0=[cos(Th0)*cos(Ph0);cos(Th0)*sin(Ph0);-sin(Th0)]//polarer Einheitsvektor
   ePh0=[-sin(Ph0);cos(Ph0);0]//azimutaler Einheitsvektor
   Z0(4:6)=L*dTh0 *eTh0 + L*sin(Th0)*dPh0 *ePh0//Anfangsgeschwindigkeit der Masse
  
 //Integration der Dgl.
 //Solver automatically selects between nonstiff predictor-corrector Adams method and 
   //stiff Backward Differentiation Formula (BDF) method      
   zk=ode(Z0, t(1), t, list(xyzPendel,g));//###### Dgl.-Lösung ###########
 
 //Graphik
   xdel();
   param3d(zk(1,:),zk(2,:),zk(3,:))//####################################
   title('Sphärisches Pendel mit Aufhänging im Ursprung ""o""')
     ce=gce(); ce.foreground=5; ce.thickness=3; //rote Kurve
   param3d(zk(1,1),zk(2,1),zk(3,1))//ausgefüllter roter Kreis für Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 10; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;               
  param3d(zk(1,:),zk(2,:),-L*ones(zk(1,:)))//Projektion z=konst
     ce=gce(); ce.foreground=13;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(zk(1,1),zk(2,1),-L*ones(zk(1,1)))//Projektion z=konst, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;               
  param3d(-L*ones(zk(1,:)),zk(2,:),zk(3,:))//Projektion x=konst
     ce=gce(); ce.foreground=5;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(-L*ones(zk(1,1)),zk(2,1),zk(3,1))//Projektion, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;                     
  param3d(zk(1,:),+L*ones(zk(1,:)),zk(3,:))//Projektion y=konst
     ce=gce(); ce.foreground=5;  ce.line_style=9;ce.thickness=2; 
  param3d(zk(1,1),+L*ones(zk(1,1)),zk(3,1))//Projektion, Anfang
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=0; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 5;  ce.mark_background = 5;                                    
  param3d(0,0,0) //schwarzes O-Zeichen für Ursprung
     ce=gce();ce.mark_mode="on"; ce.mark_style=9; ce.mark_size_unit = "point";
     ce.mark_size = 5; ce.mark_foreground = 1;
  ca=gca();
     ca.rotation_angles=[83.25 280];
     ca.data_bounds = 1.03*[-1,-1,-1.;1,1,1];
     ca.tight_limits = ["on","on","on"];

//SKRIPTENDE

--Modalanalytiker (Diskussion) 12:39, 20. Aug. 2018 (CEST)

Vektorielle Bewegungsgleichung (Version 5)

Bahnkurve eines sphärischen Pendels

Details

---

Pendelstange $L=1\,{\text{m}}$ lang, Anfangsposition waagerecht: $x=L$, $y=z=0$. Anfangsgeschwindigkeit: 200°/s in +z-Richtung und 90°/s in +y-Richtung. Dargestellte Zeitspanne: 3 s

In kartesischen Koordinaten ergibt sich die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)=x{\vec {e}}_{x}+y{\vec {e}}_{y}+z{\vec {e}}_{z}$ der Pendelmasse als Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung

${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})-{\vec {e}}_{r}{\frac {{\dot {\vec {r}}}^{2}}{L}}$ .

${\vec {e}}_{r}={\vec {r}}/L$ bezeichnet den radialen Einheitsvektor. Die Pendelmasse bewegt sich dabei auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius $L$ um den raumfesten Aufhängepunkt im Koordinatenursprung. Für eine numerische Bahnsimulation muss die Anfangsposition auf der Kugel liegen, und die dortige Anfangsgeschwindigkeit darf keine Radialkomponente besitzen.

Die drei Beschleunigungen auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung erfassen die Schwerkraft (als einzige eingeprägte Kraft, die auch orts- und zeitvariabel sein könnte) und die von der Pendelstange ausgeübten Zwangskräfte, welche der radialen Komponente der Schwerkraft und der Fliehkraft entgegenwirken.

Auch die vektorielle Bewegungsgleichung lässt sich im Allg. nur numerisch integrieren. Die Graphik rechts wurde so berechnet.

Trotz meines derzeitigen unangenehm zu bedienenden Mäusekinorechners oben die möglicherweise finale Fassung zur Einbettung in den neuen Rahmen! Der Hinweis auf die Option ${\vec {g}}({\vec {r}},t)$ hat für das Foucault'sche Pendel Bedeutung: Bei der Aufgabe, seine Bewegung im mit $\Omega =2\pi /\mathrm {Sterntag}$ drehenden sternenfesten System zu berechnen, ändert sich die Richtung der Schwerbeschleunigung mit der Zeit. Die "Aufgabe" zielt darauf, den nur empirisch zu vermittelnden Ansatz zu vermeiden, von Anfang an nur die zenitale Komponente $\Omega _{z}$ der Erdrotation als relevant anzusehen. Sollte die "Aufgabe" ohne Weiteres auch mit der Dgl. in sphärischen Koordinaten lösbar sein, wäre nicht nur der Hinweis, sondern der ganze Abschnitt überflüssig. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:46, 4. Sep. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 22:30, 4. Sep. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 21:45, 11. Sep. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 23:20, 13. Sep. 2018 (CEST versteh)

Ich verstehe die Absicht nicht ganz. Der schon seit 11.8. im Artikel stehende Text (die weiteren Klein-Korrekturen eingeschlossen) scheint mir besser zum Ganzen zu passen. Vor allen Dingen erklärt er besser, wie die vektorielle Diffgl. physikalisch zustande kommt. Und nochmal: der Hinweis auf kartesische Koordinaten ist rein technischer Natur mit Bezug nur zu der konkreten Implementation im skript. Und dass das Skript auch zeitlich veränderliches g verarbeiten kann, liegt außerhalb des Themas. Also kurz: von mir aus sollte das nicht den entsprechenden Absatz im Artikel ersetzen. --Bleckneuhaus (Diskussion) 15:08, 20. Sep. 2018 (CEST)

Ich antworte darauf später in größerem Zusammenhang. Soviel vorweg: In der Wahl der besseren Erklärung unterscheiden wir uns. Den Hinweis auf kartesische Koordinaten kann ich gerne weglassen. Der Anfangssatz lautet dann: Die Bahnkurve ${\vec {r}}(t)$ der Pendelmasse ergibt sich als Lösung der vektoriellen Bewegungsgleichung ${\ddot {\vec {r}}}={\vec {g}}-{\vec {e}}_{r}({\vec {g}}\cdot {\vec {e}}_{r})-{\vec {e}}_{r}{\frac {{\dot {\vec {r}}}^{2}}{L}}$ . Die "g(r,t)-Fähigkeit" ist m. E. ein Alleinstellungsmerkmal der Newton-Form. Die kann man beim Foucault-Pendel gebrauchen (zur Aufhebung des Omega_z-versus-Omega-Unbehagens). Der Hinweis darauf kostet hier nur einen Satz. Im Foucault-Artikel müsste man ganz von vorn anfangen. Wo liegt da das Problem? --Modalanalytiker (Diskussion) 17:28, 20. Sep. 2018 (CEST)

Dann bin ich gespannt auf die Vorstellung der numerischen Lösung fürs Foucaultpendel. M.E. ist dort die Zerlegung von \Omega in zwei Komponenten und die Vernachlässigung der einen schon gut begründet (kein Wunder, ich bin da sicher befangen). Dazu ist mir übrigens was aufgefallen: Eine Drehung der Schwingungsellipse, die man sicher leicht mit dem Effekt beim Foucaultpendel verwechseln kann, ergibt sich ja auch schon fürs sphärische Pendel für L \ne Null. Was leicht zu deuten ist: Die rotierende Ellipse ist die Überlagerung zweier zueinander senkrechter Schwingungen des Fadenpendels, die sehr verschiedene Amplitude und daher nur nahezu die gleiche Frequenz haben. (Das wird bei Kamerlingh-Onnes wohl schon behandelt, nehme ich an.) Daher ist fürs Foucaultpendel wohl essentiell, dass es genau durch den Nullpunkt schwingt. --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:39, 20. Sep. 2018 (CEST) -

Nur zur Vervollständigung, das trifft zu: bei 40° Auslenkung und Achsenverhältnis etwa 10:1 dreht sich die Ellipse etwa um 10° pro Umlauf. Leicht zu sehen mit Modalanalytikers Skript, und qualitativ schon mit Sicherheit aus der allgemeinen Diskussion der exakten Lösung zu entnehmen. Jetzt würde mich wirklich mal interessieren, ob die (unter Praktikumsassistenten wohlbekannten) Schwierigkeiten, ein Foucaultendel "richtig" aufzubauen, damit zusammenhängen könnten. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:21, 1. Okt. 2018 (CEST)

Neuschrieb nach der obigen Diskussion

@Modalanalytiker und alle anderen: Siehe Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten und kommentiere! (Formatierung der Scriptbox: verbesserungsfähig, etc pp) --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:42, 7. Sep. 2018 (CEST)

DiffGl. 1. Ordnung richtig?

@Blaues-Monsterle:: Kannst Du bitte für die Reduktion auf 1. Ordnung hier [1] eine Quelle angeben? Mir scheint da was falsch, evtl. z-Achse umgedreht.--Bleckneuhaus (Diskussion) Übrigens überarbeite ich gerade das ganze. Sieh doch bitte mal rein Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten!. 16:07, 8. Sep. 2018 (CEST)

Ja, war ein Vorzeichenfehler. Ich schau mal rein, hab aber momentan wenig Zeit. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 19:46, 8. Sep. 2018 (CEST)

Lagrange Numerisch

Hallo @Modalanalytiker, oben regtest Du die SciLab-Behandlung der Lagrange.Gln an. Ich hab ein bisschen Lehrzeit gebraucht, um Dein script zu manipulieren, aber habe nun hier die erste funktionierende Version. Ich hab die Anfangsbedingungen mal auf konisches Pendel hinjustiert. (Es gehen auch andere Anfangsbedingungen, aber oft erhielt ich Fehlermeldungen des Integrators.) Die Grafik ist natürlich dürftig, aber nachdem ich die Rotationsfunionalität des Grafikfensters entdeckte hatte, reichte es auch so zum Arbeiten. - Ich bin übrigens nicht davon überzeugt, dass das in den Artikel sollte. Ist mehr zur Klärung der Diskussion gedacht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:53, 10. Sep. 2018 (CEST)

Vielleicht motiviert Dich diese Programmierübung, im Artikel die Gleichung für die Azimutwinkelbeschleunigung nachzutragen. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:03, 11. Sep. 2018 (CEST)

//SKRIPTANFANG. Dieses Skript ist mit der freien Mathematik-Software "Scilab" als sce-Datei ausführbar    
   //Numerische Lösung der Lagrange-Bewegungsgleichungen des sphärischen Pendels
   //vektorielle Version Modalanalytiker (1.0) umgestrickt auf theta/phi Bleckneuhaus (1.1))
   //
   //Durchgängig SI-Einheiten!
     d2r=%pi/180;//degree to radian
     
  //########## [ EINGABE ##############################################
     g=-9.81//Erdbschleunigung         
     L=1//Pendellänge
     TSim=3// Dauer der Simulation           
     deltaT=0.01//Zeitschritt der Ausgabe
     
     //Anfangszustand    
       Th0=140*d2r;     //Polarwinkel Theta
       Thdot0=-0*d2r;  //Polarwinkelgeschwindigkeit dTheta/dt
       Phi0=0*d2r;      //Azimut Phi
       Phidot0=-205*d2r;   //Azimutwinkelgeschwindigkeit
  //########## ] EINGABE ENDE #########################################      

   t=0:deltaT:TSim;//Liste der Zeitwerte der Simulation
 
   //Zustand Z=[the,phi,thedot,phidot] Großbuchstabe Z!    
   
   Z0(1:4)=[Th0,Phi0,Thdot0,Phidot0];//Anfangszustand Z0
    
   function dZ=thphiPendel(t,Z)//
       //Ableitung des Zustandsvektors Z
       dZ(1:2)=Z(3:4)//Geschwindigkeiten 
                                  
       dZ(3)=Z(4)*Z(4)*sin(Z(1))*cos(Z(1))- g*sin(Z(1))/L //Beschleunigung theta
       dZ(4)=-Z(4)*Z(3)*2*cos(Z(1))/sin(Z(1))////Beschleunigung phi
   endfunction 
 //Integration der Dgl.
 //Solver automatically selects between nonstiff predictor-corrector Adams method and 
   //stiff Backward Differentiation Formula (BDF) method      
   Zk=ode(Z0, t(1), t, list(thphiPendel));//###### Dgl.-Lösung ###########
   z=L*cos(Zk(1,:));
   x=L*sin(Zk(1,:)).*cos(Zk(2,:));
   y=L*sin(Zk(1,:)).*sin(Zk(2,:));
 //Graphik
    xdel();
    param3d(x,y,z)//####################################

//SKRIPTENDE

Durchsicht des Artikels

1. Bei der jetzt eingerichteten Gliederung des Artikels in "1. Behandlung nach Lagrange" und "2. Behandlung in der Newtonschen Mechanik" ist es unnötig, den unter "1.2 Konisches Pendel" schon dargestellten Sonderfall noch einmal unter "2.2 Konisches Pendel" zu behandeln, zumal die Bewegungsgleichung ${\ddot {\vec {r}}}=...$ (die Fehler enthält) nicht aufgegriffen wird. Der Abschnitt 2.2 sollte entfallen.$\quad$
2. Die Darstellung der Bewegungsgleichung nach Newton wird bei Erläuterung mit Zwangskräften (wie in Version 5) klarer und kürzer. Ich folge da Bleckneuhaus: Er schrieb in der Diskussion 22:17, 24. Aug. 2018: "Bewegungen mit vorgegebenen Einschränkungen werden wohl ausnahmslos mit Zwangskräften formuliert und nicht, wie von Dir, mit freihändig ausgewählten bzw. weggelassenen Kraftkomponenten".$\quad$
3. Der Abschnitt 2 sollte enthalten, wozu die Behandlung nach Newton für ein Kugelpendel überhaupt gut ist.$\quad$
4. Der Abschnitt "2.3 Zweidimensionales harmonisches Pendel" gehört zum Thema, sollte aber als erkennbarer Sonderfall der Bewegungsgleichung ${\ddot {\vec {r}}}=...$ dargestellt werden (was m. E. im Lagrange-Formalismus nicht oder mühsam funktioniert). Falls doch, gehört der Fall dorthin, denn die Behandlung in Kugelkoordinaten ist für das Kugelpendel nun einmal erste Wahl.
   

Ich werde den Artikel bei Gelegenheit entsprechend überarbeiten. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:57, 24. Sep. 2018 (CEST)

Einspruch! Ich finde die Änderungen grauenhaft und bin dabei, die Lust, daran weiter mitzuarbeiten, zu verlieren. Einige Punkte: (1) Wenn die Literatur, die wir in dieser Enzyklopädie wiedergegeben wollen, ausnahmslos (nach meiner Kenntnis) die Lagrange-Methode fürs Sphärische Pendel präsentiert, dann ist schon die Vorstellung der Newton-Behandlung begründungsbedürftig, weil sonst nämlich Privattheorie. Dem hatte der gestrichene Teil mit den Kräften und der Herleitung der vektoriellen Bewegungsgleichung gedient. (2) Am Fall des konischen Pendels konnte man den Unterschied beider Behandlungen schön sehen, gerade die parallele Darstellung (in Verbindung mit der physikalischen Herleitung der vektoriellen DGl), glaube ich, war interessant für manche, die das nachgucken wollen. (3) Die seltsame Schreibweise der Vektorgleichungen für harmonische Näherung sieht nach privater Nomenklatur aus, oder wo ist sowas Standard? (4) Der Zusammenhang zwischen Kreis bzw. Ellipse und 2 linearen harmonische Schwingungen war (glaub ich) in der Wikipedia nur hier zu sehen. Das fehlt jetzt ernsthaft. Oder sollte dies Teilthema woandershin verschoben werden? (5) In meinen Augen bilden die 2-dim harmonische Schwingung und die Möglichkeit der einfachen und stabilen numerischen Integration die treffende Begründung dafür, die Newton-Darstellung einzubeziehen. Aber dann muss der Artikel auch entsprechend aussehen. (6) Begründe bitte mal "... die Bewegungsgleichung ${\ddot {\vec {r}}}=...$ (die Fehler enthält)", ich sehe keine. Und dass diese Gleichung beim konischen Fall nicht wieder aufgegriffen werden muss, sondern die Lösung anders gefunden werden kann, war gerade der Witz an dem gestrichenen Abschnitt. In summa: so gehts nicht! --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:38, 24. Sep. 2018 (CEST)

An Bleckneuhaus Danke für Deine Rückmeldung!

1. Die Form, in der ich die Vektor-Dgl. angebe, ist so übersichtlich, dass sie m. E. keiner ausführlichen Herleitung bedarf. Die Erläuterung der einzelnen Terme in ihrer Funktion als eingeprägt oder den Zwang der Pendelstange ersetzend wird jedem als "Herleitung" ausreichen, der die Grundelemente der Kinetik versteht.
2. Dass man etwas "schön sehen" kann, ist m. E. hier nicht Grund genug, es auszuführen.
3. Meinst Du mit der "seltsame[n] Schreibweise" die Zeilenform der Vektoren oder die Unterklammerungen (die einen platzraubenden weiteren Folgeschritt ersetzen)?
4. Der Zusammenhang zwischen Kreis bzw. Ellipse und 2 linearen harmonischen Schwingungen wird gut unter Lissajous-Figur behandelt.
5. "ich sehe keine [Fehler]": Ich hoffe, Du siehst in ${\vec {a}}_{T}=-({\vec {e}}_{z}-({\vec {e}}_{r}\cdot {\vec {e}}_{z})\,{\vec {e}}_{r})$ sehr wohl einen Fehler.
   

Ich schlage vor, das Du den Text - möglicherweise mit Detailverbesserungen - ein paar Wochen stehen lässt. Es gibt hier sicher kompetente Mitleser, die so Gelegenheit haben, sich zu äußern. --Modalanalytiker (Diskussion) 09:55, 25. Sep. 2018 (CEST)

@Modalanalytiker: Deine Ansicht zu Nr. 4, Lissajous-Figur behandele "gut" den Fall der elliptischen Schwingung, kann kaum ernst gemeint gewesen sein. Der Artikel gibt außer unkommentierten Bildern nichts dazu her, und schon die Einleitung sagt dort "...Überlagerung zweier harmonischer, rechtwinkelig zueinander stehender Schwingungen verschiedener Frequenz" (meine Hvhbg). ME gehört das Thema im Fall gleicher Frequenz auch gar nicht dorthin, ebensowenig wie, zB, die ebene Trigonometrie als einfacher Grenzfall in den Artikel zur sphärischen Trigonometrie. Jedenfalls wird wohl niemand es dort vermuten. Daher werde ich die elliptischen Schwingungen wieder hier einbauen, angereichert um die Folgen der Nichtharmonizität, zu denen ich Belege gefunden habe, nach denen sie leicht eine Präzession vergleichbar der beim Foucaultpendel verursachen. - Deine anderen Punkte: zu 1 hatte ich schon nachgebessert. Zu 2 habe ich die Leser im Auge, die durchaus Interesse haben zu sehen, wie zwei alternative Ansätze zum selben Ergebnis kommen. Zu 3 bleibe ich bei meiner Ansicht (wo ist solche Schreibweise Standard?), zu 5 sah ich dann auch, dass ich da ein g vergessen hatte, was aber Deine Begründung zur Entfernung des ganzen Absatzes wohl kaum überzeugender machen kann. --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:10, 4. Okt. 2018 (CEST)

An Bleckneuhaus : Ändere einfach, wie es Dir gefällt; und wenn es mir auch gefällt, freue ich mich. Zu 3: Falls Du die platzsparende Zeilenschreibweise von Vektoren im Ortsraum meinst: Ich finde die z. B. bei Bronstein/Semendjajew, Joos/Richter und R. Becker (Vorstufe zur theoretischen P=hysik). Solange klar ist, dass keine Matrizen vorliegen, sind Spalten- und Zeilenschreibweise gleichbedeutend und zulässig.
Du hattest früher erwähnt, dass das sphärische Pendel auch bei veränderlicher Schwerebschleunigung nach Lagrange behandelt werden kann. Das wäre ein lohnendes neues Kapitel, das die Newtonsche Behandlung überfllüssig macht. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:54, 4. Okt. 2018 (CEST)

Nein, das war nicht ich, und ich weiß da auch nicht so gut Bescheid. Und die Newtonsche Behandlung ist am Platze, weil die Numerik erklärt werden muss, die aber mit Lagrange nicht gut funktioniert (wohl wegen der Singularitätan der Ruhelage?). --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:15, 4. Okt. 2018 (CEST)

Behandlung in der Newtonschen Mechanik

Das sphärische Pendel wäre eigentlich ein schönes Beispiel für ein System mit Zwangskräften, aber ich glaube nicht dass der Abschnitt in seiner momentanen Form irgendeinen Mehrwert bietet.
Die Differentialgleichung wird nicht sauber hergeleitet, stattdessen Pseudoargumentation mit einer Scheinkraft im Inertialsystem betrieben.
Der Fall nichtkonstanter Schwerebeschleunigung lässt sich genauso gut mit Lagrange behandeln, zusätzlich sieht man dort direkt dass auch in diesem Fall der z-Drehimpuls konstant bleibt.
Der Unterabschnitt Zweidimensionales harmonisches Pendel wirkt m.E. ebenfalls ziemlich unfundiert. Dass der zweite unterklammerte Term vernachlässigbar ist, folgt nicht a priori aus x <<R (Gegenbsp. x = Oszillation mit kleiner Amplitude aber hoher Frequenz). Dazu ist eine Betrachtung mit Hilfe der Energie- und Drehimpulserhaltung nötig. Die Dgl liefert für z(t) eine gleichförmige Bewegung. Die spezielle Lsg. z=-R ist nicht "erwartungsgemäß" sondern die Zwangsbedingung in Verbindung mit x,y<<R.--2003:EE:E3CD:C445:B974:CB0B:F74E:9A1D 16:47, 28. Sep. 2018 (CEST)

Deine aktuelle Bearbeitung hat den Text verbessert. Weiteres sollte folgen. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:36, 28. Sep. 2018 (CEST)

Ähm, meinst Du mich? Dann Danke!--Bleckneuhaus (Diskussion) 00:14, 29. Sep. 2018 (CEST)

Ja,klar! Schau Dir bitte kritisch meinen Begründungsversuch für die Vernachlässigbarkeit der Zentripetalbeschleunigung in der 2D-Version an. Vielleicht geht das auch einfacher und mit weniger Text. --Modalanalytiker (Diskussion) 16:41, 1. Okt. 2018 (CEST)

Newtonsche Behandlung des 2 dim Pendels

Der Absatz "Zweidimensionales harmonisches Pendel" ist hier nicht geeignet:

1. Formaler Grund Privattheorie: Er gibt keinen Beleg (und ich habe auch keinen gefunden), dass diese Behandlung schon mal relevant veröffentlicht wurde. Das trifft wahrscheinlich auch allgemein für die Newtonsche Behandlung des Sphärischen Pendels im Absatz davor zu. Die sehe ich aber trotzdem hier ausnahmsweise gerechtfertigt, weil damit die animierte numerische Simulation erstellt wurde, die ich gut finde. Mit der harmonischen Näherung hat das aber nichts zu tun.
2. Inhaltliche Gründe:
   1. Es wird versucht, die Näherung der allgemeinen Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen mathematisch zu begründen. Die Begründung fürs Vernachlässigen der Zentripetalkraft stützt sich aber nur auf einen Sonderfall und ist daher nicht stichhaltig. Eine hier angemessene und richtige Begründung dieser Art ist mir auch nicht eingefallen.
   2. Die in aller Literatur übliche physikalische Begründung der Näherung wird gar nicht erwähnt.
   3. Die praktisch interessanten Eigenschaften (wie etwa geschlossene elliptische Bahnen) werden gar nicht angesprochen. Der verlinkte Artikel kann das nicht ersetzen.
   4. Die beim sphärischen Pendel interessanten Effekte des anharmonischen Verhaltens werden nicht behandelt (wichtig zB für Foucaultpendel).

Ich bin dabei, den Abschnitt zu überarbeiten. --Bleckneuhaus (Diskussion) 13:34, 10. Okt. 2018 (CEST)

Ich stimme dir in allen Punkten zu. Bei der Vernachlässigbarkeit der Zentripetalkraft bin ich auf einen Spezialfall ausgewichen, weil mir eine allgemeinere, mühsamere Möglichkeit auch angreifbar erschien. Die ging so: Man könnte die Vernachlässigung zunächst unbewiesen ansetzen und hätte dann die allgemeine harmonischen Bahnkurve als Lösung der vermuteten Dgl. zur Verfügung, mit der dann die vernachlässigte Zentripetalkraft abgeschätzt werden könnte. Der Kern ist, dass die Geschwindigkeit der Masse auf jeder Bahn innerhalb eines Ursprungskreises mit dem Radios $\rho \ll R$ den Wert $\omega _{0}\rho$ unterschreitet. Falls du das Vorgehen für zulässig hältst, könnte ich das (hoffentlich) ausarbeiten.
Bei den anderen Punkten möchte ich mich zurückhalten, nicht weil ich mich sachlich davon distanziere, sondern weil ich meine Wikipedia-Aktivität reduzieren will. --Modalanalytiker (Diskussion) 22:08, 11. Okt. 2018 (CEST) --Modalanalytiker (Diskussion) 17:17, 13. Okt. 2018 (CEST)

Mir erscheint das zu nahe an der hier zu recht verpönten Privattheorie. Die Frage, ob sich (wohlgemerkt ohne Rückgriff auf die allgemeinen Lagrange-Ergebnisse) eine lesbare Herleitung aus der Newton-Mechanik gewinnen lässt, ist für den Artikel relativ unwichtig. - Wie ich ihn mir vorstelle, kannst Du vielleicht im Zwischenstand jetzt auf meinem Sandkasten ansehen, der wesentlich auf der zitierten Arbeit von Olsson beruht. Weil dies paper eine systematische Reihenentwicklung durchführt, liefert es übrigens auch die gesuchte Rechtfertigung für die Vernachlässigung der ZEntripetalkraft gleich mit. --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:46, 15. Okt. 2018 (CEST)

Fertig gestellt und schon im Artikel eingebaut (d.h. den alten Absatz weitgehend ersetzt). --Bleckneuhaus (Diskussion) 12:24, 16. Okt. 2018 (CEST)

Newtonsche Mechanik, Allgemeiner Fall:
Hier wird die Bahnkrümmung mit R angenommen. Das ist aber wohl nur dann richtig, wenn sich die Pendelmasse gerade auf einem Großkreis bewegt, was im allgemeinen Fall aber nicht der Fall ist. Am Beispiel des konischen Pendels sieht man anschaulich, dass wir hier einen anderen Krümmungsradius haben. Auch die Zentripetalkraft zeigt nicht in Richtung des Radius. Am Schluss muss bei Newton und Lagrange das gleiche rauskommen, sonst stimmt etwas nicht. --84.57.209.76 15:08, 2. Nov. 2018 (CET)

Scharfsinnig! Im Artikel geht es genauer wohl nur um die Komponente der Zentripetalkraft orthogonal zur Kugelfläche, denn nur diese ist als Zwangskraft für die Bedingung r=R zuständig, die Tangentialkomponente nicht. Liege ich da richtig? (Zu Kurven im R^3 müsste ich mich sonst erst schlau machen, wenn das - falls nötig - nicht jemand anderes korrigieren will.) - Und wo kommt jetzt bei Newton und Lagrange nicht das gleiche raus (wenn das so gemeint war)? --Bleckneuhaus (Diskussion) 17:29, 2. Nov. 2018 (CET)

Bleckneuhaus liegt da m. E. richtig. Das heranzuziehende Zentrum ist der Aufhängepunkt. Vorschlag an Anonymum: Setze in der Dgl. ${\ddot {z}}=0$ und $z=konst$ und rechne die Eigenfrequenz des konischen Falls aus. Dann kommt die im Artikel angegebene heraus. --Modalanalytiker (Diskussion) 19:02, 2. Nov. 2018 (CET)