Diskussion:Stirlingformel

(erledigt) Unklarheit im Artikel

Hm, die Unterscheidung zwischen "großen" und "sehr großen" n will mir nicht einleuchten, zumal nicht klar ist, was mit $\approx$ überhaupt ausgedrückt werden soll. Vielleicht $\lim {\frac {\log n!}{n\log n}}=1$?--Gunther 23:36, 10. Jun 2005 (CEST)

ln(n!)= n ln(n) + 0.5 ln(n) -n + 0.5 ln(2*pi)
Für große n läßt sich letzer Ausdruck vernachlässigen, der zweite ist klein gegenüber dem dritten Term. Die verbleibenden geben eine gute Näherung ab n>1000. Und für sehr große n (n>1E45) ist n klein gegenüber n ln(n), dh. für sehr große n ist n! ca= nⁿ. Zugegebenermaßen kommen so große Zahlen recht selten vor. Für Grobabschätzungen der Zustandszahlen von Molekülen in Gasen können die Beziehungen aber hilfreich sein.Anton 11:53, 11. Jun 2005 (CEST)

Oh, der letzte Punkt würde sich doch gut im Artikel machen? Ich hab mich nämlich schon gefragt, wer so große Zahlen braucht...--Gunther 12:17, 11. Jun 2005 (CEST)

Entropie: Fehler im Artikel

Mir scheint der letzte Satz des Artikels nicht korrekt zu sein. Entropie ist gerade das Fehlen von Information. In der statistischen Mechanik ist mit der Entropie letztlich der Aufwand korreliert, den man treiben muß, um ein System in einen vollständig geordneten und damit bekannten Zustand zu versetzen. Entropie und Informationsgehalt sind daher als komplementäre oder zumindest gegensätzliche Größen zu sehen. Die im Artikel gegebenen Formeln stellen mit der Erläuterung allerdings diese als proportionale Größen dar. Diese Verwechslung ist geradezu populär. Um das Argument vorstellbar zu machen: Ein Kristall ist ein mikroskopisch hochgeordneter Körper, dessen Informationsgehalt wir als hoch ansetzen. Schmilzt der Kristall, so geht diese Ordnung verloren, und wir wissen weniger darüber, wo sich die Teilchen befinden. Der Informationsgehalt ist daher niedriger. Anders gesagt: Auf einem aufgeräumten Schreibtisch brauchen wir weniger zu suchen als auf einem unaufgeräumten.

Der Informationsgehalt eines Kristalls ist denkbar gering, weil die Anordnung jedes Zentrums durch die Strukturparameter definiert ist. Je komplizierter ein Zustand zu definieren ist, desto größer sein "Informationsgehalt". Da es nicht einmal eine schlüssige einheitliche Definition von Information gibt, sollte man ohnehin vorsichtig im Umgang mit dem Begriff sein.

Man darf nicht den Fehler machen, die Entropie der statistischen Mechanik mit der informationstheoretischen zu verwechseln. Der Hauptunterschied besteht darin, daß die physikalische Entropie extensiv (proportional zur Größe des Systems), die informationstheoretische Größe aber intensiv (unabhänig von der Größe des Systems, z. B. der Länge des betrachteten Textes) ist. Man kann diesen Sachverhalt so verstehen, daß es in informatheoretischen Systemen Redundanz geben kann (die bei der Entropiebetrachtung ausgeklammert wird, weil sie weder den Informationsgehalt noch die Zufälligkeit beeinflußt), nicht jedoch in physikalischen Systemen.

Ich möchte vorschlagen, die Wörter "eines ebenso definierten Systems" durch etwas Passenderes zu ersetzen.

-- Joachim Schnitter, 01. Mai 2006 11:37 (CEST).

(erledigt) Dezimaldarstellung

Zu dem Satz: Beispielsweise folgt daraus, dass $10^{100}!$ in Dezimaldarstellung bis auf 1 % Genauigkeit gleich $10^{10^{102}}$ ist. Mit Verlaub: Das ist Blödsinn. Erstens ist das völlig irrelevant, ob in Dezimaldarstellung oder sonst was. Wenn zwei Zahlen weniger als 1% abweichen, dann ist diese Eigenschaft in allesn Zahlensystemen gegeben. Zum zweiten: der Logarithmus weicht um weniger als 1% ab, das heißt aber noch lange nicht, daß es die Zahlen auch tun (und in dem Fall tun sie es nicht). --88.217.19.3 11:53, 11. Mai 2007 (CEST)

(erledigt) Abschätzung

Also die englische Seite hat eine bessere Abschätzung für die untere Schranke. Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation#Speed_of_convergence_and_error_estimates Wo auf der deutschen Seite also 1 <= n! / sterling <= exp(1/(12*n)) steht, könnte wohl auch exp(1/(12*n+1)) < n! / sterling < exp(1/(12*n)) stehen. --skoehler 08:43, 17. Jun. 2007 (CEST)

Stirling-Reihenentwicklung

Bei der Stirling-Reihenentwicklung wird nur ein Beispiel gegeben jedoch nicht die Allgemeine Form präsentiert, sondern nur mit "+ ..." angedeutet. Es ist jedoch in keinster weise offensichtlich das die Reihe eine Summe aus B(i)/(2i*(2i-1)*n^(2i-1)) ist. Mich hat es ca. eine halbe Stunde Recherche gekostet dies herauszufinden. Ich würde mich sehr freuen den Nachfolgenden lesern dies durch allgemeine Angabe der Reihe als Summe zu ersparen. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 217.87.191.56 (Diskussion • Beiträge) 17:10, 31. Aug. 2008)

Ich habe es ergänzt. --80.129.90.94 14:39, 3. Sep. 2008 (CEST)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Stirlingsche.png|thumb|300px| ]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Stirlingsche.png|thumb|300px| ]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
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Reihe konvergiert nicht?

Im Artikel steht:

„Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes n, sie ist eine asymptotische Entwicklung.“

Ist das richtig, oder sollte es heißen: Die Reihe selbst konvergiert für festes n nicht gegen ln n!, sie ist...? --77.3.158.27 13:34, 25. Feb. 2012 (CET)

Das ist richtig. Die Reihe konvergiert nicht, sondern divergiert für festes n. --84.130.170.103 13:42, 25. Feb. 2012 (CET)

Godfrey Harold Hardy

Die Formulierung

„Die Reihe selbst konvergiert nicht für festes n, sie ist eine asymptotische Entwicklung.“

ist schon so richtig. Würde man sagen "Die Reihe selbst konvergiert für festes n nicht gegen $\ln n!$", so wäre dies schwächer, irreführend und unwesentlich. Es wäre dann nämlich möglich, dass die Reihe z.B. gegen etwas ganz anderes, z.B. -3000 konvergiert. Und das soll je gerade nicht ausgesagt werden. Der wesentliche Punkt ist jedoch, dass diese asymptotische Reihe für überhaupt kein festes n konvergiert: es tritt keine Konvergenz ein. Es geht um die EIGENSCHAFT der KONVERGENZ, nicht um den Grenzwert den es nicht gibt. Hieraus folgt speziell, dass sie insbesondere nicht gegen $\ln n!$ konvergiert. --Skraemer 20:14, 25. Feb. 2012 (CET)

Noch genauer: Der Betrag der Reihe geht gegen ∞ (bestimmte Divergenz). --87.149.34.87 17:13, 26. Feb. 2012 (CET)

Naja, das ist wieder schwächer. Es ist einfach zu wenig zu sagen, die Reihe (oder noch schwächer ihr Betrag) ist divergent, denn das ist ja vollkommen klar. Betrachten wir mal ein einfacheres Beispiel. Die Reihe

$S_{n}=1-2+4-8+16-...+(-2)^{n}$

konvergiert offensichtlich nicht, auch der Betrag $|S_{n}|$ konvergiert nicht. Das besondere an dieser Reihe ist jedoch, das sie limitierbar ist, d.h. ein Limitierungsverfahren gibt, das der Reihe doch einen Grenzwert zuordnet. Für das Beispiel ergibt sich nach der en:Euler summation und der en:Borel summation der Grenzwert ${\tfrac {1}{3}}$, siehe en:1 − 2 + 4 − 8 + …. Anschaulich ist dies so, dass $S_{n}$ um diesen Grenzwert herumhüpft. Der Betrag würde diese Qualität zerstören. Das Thema divergente Reihen wird auf der deutschen Wikipedia noch nicht behandelt, obwohl sich auch viele deutsche Mathematiker damit beschäftigt haben: Leonhard Euler, Konrad Knopp. Die englische Wikipedia ist da schon viel weiter, am besten ist es hier erklärt: en:1 − 2 + 3 − 4 + · · · (die deutsche Seite Alternierende Reihe (Euler) ist dünn), siehe auch en:Divergent series, en:Lambert summation, en:Abel summation.

Literatur.

• Godfrey Harold Hardy. Divergent Series, Oxford: Clarendon Press, 1949.
• Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 6. Auflage 1996, Springer

--Skraemer 19:25, 26. Feb. 2012 (CET)

Nein, das ist nicht schwächer. Die Reihe konvergiert in der Einpunktkompaktifizierung von R oder C gegen ∞, und ich habe nur zur Vermeidung fortgeschrittener Begriffe den Betrag verwendet. Daraus folgt insbesondere, dass sie in R oder C selbst nicht konvergiert, und zusätzlich, dass sie auch keinen Häufungspunkt dort hat. Die anderen Summierungen gehen noch einmal in ganz andere Richtungen, die natürlich auch interessant sein können (ob sie hier zu besseren Näherungen führen, weiß ich nicht – wenn ja, könnte man das ggf. aufnehmen). --87.149.34.87 19:42, 26. Feb. 2012 (CET)

Herleitung der ersten beiden Glieder und statistische Physik

"... völlig ausreichend die ersten beiden Glieder $\ln(N!)\approx N\ln(N)-N$ zu berücksichtigen. "

Für mich sieht das aber nur wie das erste Glied aus. Aus der frz. WP geht hervor, dass das erste Glied nur genau auf eine Nachkommastelle ist in Exponentialschreibweise, dass zweite verbessert auf vier Stellen.

Ausserdem steht da gar keine Herleitung.

Schliesslich nervt die dauernde Darstellung im Artikel als ln. Als ob man in der statistischen Physik damit weiterkäme.

Und irgendwie fehlt der Faktor Wurzel 2 pi n, im Gegensatz zum Artikelanfang.

--Room 608 (Diskussion) 20:27, 23. Mai 2014 (CEST)

Aha, Wurzel 2 pi n läuft offensichtlich unter der Bezeichnung drittes Glied. Ne Fehlerabschätzung bei diesem nicht ganz kleinen Faktor wäre nett. Natürlich verläuft er sich gegen das quasiexponentielle Wachstum des Rests, aber wäre schon interessant. -- Room 608 (Diskussion) 00:58, 25. Mai 2014 (CEST)

Ahaha, der Fehler ist also kleiner als n. Jetzt muss ich sie nur noch in Relation setzen. -- Room 608 (Diskussion) 01:10, 25. Mai 2014 (CEST)

Also n zur n-ten Wurzel von n, na das wird ja schnell klein, um nicht zu sagen sofort. -- Room 608 (Diskussion) 01:13, 25. Mai 2014 (CEST)