Diskussion:Stratonowitsch-Integral

Zur Definition

In der Einleitung steht, dass man den linken Randpunkt aus der Definition des Ito-Intregrals durch das arithmetische Mittel ersetzt. Danach würde ich nicht die Formel $\sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}-Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}})$ sondern $\sum {\tfrac {1}{2}}(Y_{t_{i}}+Y_{t_{i-1}})(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}})$ erwarten. Das gleiche gilt für eine Formel im Absatz Herleitung. Das Integral über konstantes $Y$ wäre demnach immer 0, was nicht plausibel ist.

Ferner ist die Definition unverständlich, denn zur definierenden Gleichung $\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{s\leq t}\Delta Y_{s}\Delta X_{s}$ wird nicht erklärt, was auf der rechten Seite steht. --FerdiBf (Diskussion) 09:57, 7. Mai 2023 (CEST)

Hi, du hast Recht, dort sollte ein $+$ sein und kein $-$. Auf jeden Fall ist die zweite Definition $\textstyle \int _{0}^{t}Y_{s-}\circ dX_{s}:=\int _{0}^{t}Y_{s-}dX_{s}+{\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}$ diejenige, die man fürs Rechnen verwendet. Dort steht folgendes: Ito-Integral + der stetige Teil der optionalen quadratischen Kovariation ${\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}$ (auch "Square-Bracket-Prozess" genannt). Letzteres setzt sich aus der optionalen quadratischen Kovariation ${\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}$ zusammen abzüglich der Sprungstellen des Prozesses. Ist der Prozess stetig, so gilt ${\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}={\tfrac {1}{2}}[Y,X]_{t}^{c}$ und die Summe verschwindet. --Tensorproduct 12:24, 7. Mai 2023 (CEST)

@FerdiBf Vielleicht noch fürs bessere Verständnis (wird auch in manchen Bücher über stochastische Analysis nicht erklärt): Es existieren zwei quadratische Variationsprozesse $\langle X\rangle _{t}$ und $[X]_{t}$. Wenn $X$ stetig ist, dann sind das die gleichen Prozesse. Der eine ist vorhersehbar (seine Existenz folgt aus der Doob-Meyer-Zerlegung), der andere ist optional.--Tensorproduct 21:55, 11. Mai 2023 (CEST)

Leider bleibt für den Wikipedia-Nutzer eine Lücke, denn einen Artikel zur Doob-Meyer-Zerlegung gibt es noch nicht. Trotzdem, vielen Dank für Information. --FerdiBf (Diskussion) 10:05, 13. Mai 2023 (CEST)