Diskussion:Struktur (erste Stufe)

Allgemeinverständliche Definition

Das ist doch ein Grundbegriff, da kann man durchaus im Einleitungssatz eine mehr oder minder allgemeinverständliche, informelle „Definition“ anbringen. Hat jemand eine gute Idee? Etwas wie „Menge mit Operationen/Relationen“ o.ä. und dann kann man auch kurz einen Satz bringen, wofür man das hat, ohne gleich so viele Fachbegriffe zu benutzen, die nur in der Logik benutzt werden. Für Algebraische Struktur gilt dasselbe, da fehlt auch ein guter Einleitungssatz. --Chricho ¹ 20:01, 18. Sep. 2011 (CEST)

Also mit einer "allgemeinverständlichen" Definition ist das jetzt immer noch so'ne Sache, aber der Artikel hatte ja nicht mal 'nen Anfang: "Zu jeder Elementaren Sprache $L^{S}$, die..", so kann man keinen enzyklopädischen Eintrag beginnen. Drum schob ich jetzt wenigstens mal einen Satz vor, aus dem vielleicht (?) klarer wird, worum's hier überhaupt geht, bzw. was für'n Film da läuft. Das ist jetzt kaum das, was da oben (wohl zu Recht) gefordert wurde, allerdings ist die Definition ja gegeben und allgemeinverständlicher krieg ich das auch nicht hin. Wenn's denn überhaupt möglich sein sollte. Was mich'n bisschen wundert, ist das Lemma. S-Struktur? Mir ist der Begriff so zwar durchaus geläufig, allerdings aus ganz anderem Kontext, nämlich der (theoretischen) Linguistik, oder genauer, der Transformationsgrammatik. Dort differenziert man u. a. D-Structure (Deep Structure) und eben S-Structure (Surface Structure) - aber das ist, soweit ich diesen Artikel verstehe, natürlich etwas völlig anderes. Mir selbst ist im mathematisch-logischen Kontext und in dem Zshg., um den's hier geht, eigentlich nur die kürzere (unqualifizierte?) Form der "Struktur" geläufig, die ich darum auch im Einführungssatz unterzubringen gedachte. Weiß denn jemand, wofür das "S-" steht? Doch wohl kaum für "Semantik", oder? Tippen würde ich eher auf "Signatur", aber das ist wirklich schon geraten. Ganz interessant zudem, dass andererseits die L-Struktur (wobei "L" für Language steht?!) ..hierher führt. Zur S-Struktur. Während der Begriff L-Struktur im Artikel nicht ein Mal Erwähnung findet. -- Zero Thrust (Diskussion) 07:13, 6. Mai 2012 (CEST)

Mit „allgemeinverständlich“ meinte ich nur eine informelle Beschreibung. Was das Lemma angeht: Ich habe den bösen Verdacht, dass der Autor den Artikel so genannt hat, weil irgendwo die Signatur immer $S$ hieß und die entsprechenden Strukturen mit der Signatur dann eben $S$-Strukturen. Kannst du dir das vorstellen? --Chricho ¹ ² 18:59, 7. Mai 2012 (CEST)

Ja, kann ich. Schließlich war ja genau das auch mein Verdacht. Mir ist außerdem klar, dass Du eine informelle Beschreibung gemeint hattest. Allerdings sehe ich nicht, wie es hier (noch) informeller gehen sollte, als das im ersten Absatz bereits jetzt der Fall ist. Auch die Motivation des Ganzen ist dem (mittlerweile?) ja durchaus zu entnehmen?! Hinzu kommt: Im Artikel Semantik, zu dem hier ja auch verlinkt ist, findet sich schon ein Absatz über "Modelltheoretische Semantik", sowie, weiter unten, auch noch ein etwas allgemeiner gefasster über "Semantik in formalen Sprachen" generell. In beiden Fällen ist die Beschreibung offenbar informeller gehalten, was ich i. O. finde, da wiederum das Lemma hier - Grundbegriff hin oder her - ja dann doch ein bisschen speziellerer Natur ist. Wie gesagt, mir war der Begriff der S-Struktur (in dem Kontext) nicht mal bekannt. -- Zero Thrust (Diskussion) 01:54, 10. Mai 2012 (CEST)

Fehlerhafte Definition

In der Definition wird von einer Struktur als einer Menge zusammen mit Funktionen und Relationen gesprochen. Die persönlichen Wertungen des bearbeitenden Autors ("ekelhaft") haben also dazu geführt, dass die in der Modelltheorie übliche Definition nicht getroffen wird. Konstanten gehören dort zur allgemeinen Definition dazu, weil in den meisten Sprachen Konstanten vorkommen. Sie werden nur aus beweistechnischen Gründen manchmal durch 0-stellige Funktionen ersetzt. Wenn das in der universellen Algebra wesentlich anders ist, sollte man auch nicht beide Begriffe unter dem gleichen Lemma behandeln wollen. In der Modelltheorie ist übrigens klar, dass man von einer Sprache ausgeht, die man in den zugehörigen Strukturen interpretieren will. Die Signatur ist dann nur das "abstrakte Gerippe", das von der Sprache in die Struktur eingeht: will man über die (normal verstandene) Addition reden, dann muss man das Zeichen "+" "interpretieren", d.h. man braucht eine zweistellige Funktion in der Struktur. "Struktur" ist dabei ein Oberbegriff zu "Modell": ein Modell einer Theorie ist eine Struktur, in der die Theorie gilt.--Mini-floh (Diskussion) 12:51, 3. Sep. 2012 (CEST)

Jetzt mach mal halblang. Wenn man auf die von dir besagte Fallunterscheidung verzichtet, hat das nicht nur beweistechnische Gründe. Wenn man sagt, dass eine Struktur ohne Einschränkung relational sei, dann hat das beweistechnische Gründe, weil in dem Fall das Spezielle an Funktionen keine Rolle spielt, im Allgemeinen spielt es dagegen eine Rolle, ob man Funktionen oder Relationen hat, weil das etwa zu anderen Substrukturen führt. Ob man explizit Konstanten aufführt oder nullstellige Funktionen zulässt, macht dagegen überhaupt keinen Unterschied. Eine Konstante ist nichts anderes als eine nullstellige Funktion (eine bel. Funktion ist dagegen nichts anderes als eine spezielle Relation, weshalb es einen Unterschied macht, bei Konstanten kann man sich das speziell sparen). Auch syntaktisch besteht kein Unterschied zwischen nullstelligen Funktionssymbolen und Konstantensymbolen. Daher macht dein Argument „weil in den meisten Sprachen Konstanten vorkommen“ keinen Sinn. Dass man einfach von nullstelligen Funktionen spricht, ist übrigens keine Spezialität der universellen Algebra, wie du hier spekulierst. Siehe etwa hier (S. 43) oder hier (S. 10). Ob man da jetzt unterscheidet oder nicht, ist also lediglich ein Unterschied, in welcher Weise man indiziert, so bedeutsam wie „zuerst Relationen oder zuerst Funktionen“ oder die Forderung einer Wohlordnung. Innerhalb der Modelltheorie finden sich übrigens auch noch Unterschiede bezüglich der Handhabung nullstelliger Relationen, braucht es da dann drei Artikel? Mit dem Wort ekelhaft wollte ich übrigens nicht den Sinn absprechen, sondern bezog mich nur darauf, dass in vielen Fällen die Beweise für relationale oder algebraische Strukturen besonders prägnant sind. Was ein Modell ist, musst du mir nicht erklären. Und nein, man geht nicht stets von einer Sprache aus, die Formulierung Struktur bzgl. einer Signatur findet sich ebenso in modelltheoretischen Texten. --Chricho ¹ ² ³ 13:27, 3. Sep. 2012 (CEST)

Passt nich hier in diesen Abschnitt, aber egal. Vorschläge: Deutlich(er?) machen, warum es 1.Stufe heißt. Bei den Funktionen erwähnen, dass wir wg >= 0 auch Konstanten haben. Frage brauchen wir >=0 bei den Relationen, also verum und falsum?--Frogfol (Diskussion) 00:03, 4. Sep. 2012 (CEST)

Na dann hab ichs einfach mal in den richtigen verschoben. Zu nullstelligen Relationen: Wie es im Artikel steht, es finden sich in der Literatur drei Varianten. Ich sehe nichts, was dagegen spricht, macht die Definition nicht komplizierter. Hat außerdem den Vorteil, dass dann der aussagenlogische Fall als Spezialfall enthalten ist. --Chricho ¹ ² ³ 00:35, 4. Sep. 2012 (CEST)

Danke fürs Verschieben. Dann aber den unbedarften Leser bitte darauf hinweisen, was >= 0 bedeutet, denke ich.--Frogfol (Diskussion) 00:42, 4. Sep. 2012 (CEST)

Nicht passende Beispiele

Durch das "Entklammern" der Beipiele ist jetzt eine absolut undurchsichtige Situation entstanden: Schon im ersten Beispiel ist dort von "dom(M_1)" die Rede, was eine andere Definition voraussetzen würde. Was in diesem Beispiel Signatur sein soll, kann ein Mathematiker zwar leicht raten, es passt aber nicht zur Definition. Warum/wie kann eine Signatur wahr oder falsch sein? Dass das Ganze ein Graph ist, ist für den Nicht-Mathematiker völlig unverständlich. Daher bringt ihm das Beispiel auch nichts. Und so geht es gerade weiter. (Das Ganze sieht für mich außerdem so aus, als ob in einem Kurs jeder die Aufgabe hatte, noch ein Beispiel zu finden, und niemand die Aufgabe erhalten hat, zu erklären, wofür diese Beispiele da sind.) Ich denke, es war eine vernünftige Entscheidung zu einem früheren Zeitpunkt, diese Beispiele unsichtbar zu machen und der richtige Umgang damit wäre: löschen! Dafür sollte das Beispiel $\mathbb {N}$ entsprechend erläutert werden. --Mini-floh (Diskussion) 12:51, 3. Sep. 2012 (CEST)

Diese Tabellenbeispiele von Strukturen erscheinen mir auch nicht hilfreich, Addition kann sich jeder vorstellen, wieso jetzt irgendwelche Werte da in einer Tabelle stehen, ist undurchsichtig. Was ist deine Meinung zu den Beispielen im Abschnitt Gültigkeit in Strukturen? --Chricho ¹ ² ³ 13:31, 3. Sep. 2012 (CEST)

Ja, die Beispiele sind nicht hilfreich. Wer wird die lesen? Bitte eindampfen.--Frogfol (Diskussion) 23:59, 3. Sep. 2012 (CEST)

Verbesserungsvorschläge

Jetzt mache ich mal einen neuen Abschnitt^^

Vorschlag: Sollte es nicht besser statt: Eine Struktur ${\mathfrak {A}}$ ist eine Menge heißen: Eine Struktur ${\mathfrak {A}}$ ist eine Tupel usw.(nicht signierter Beitrag von Frogfol (Diskussion | Beiträge) 02:37, 4. Sep. 2012 (CEST))

Welcher Mehrwert? Ein unbedarfter Leser wird abgeschreckt, ein bedarftert Leser weiß, wie er das in sein formales System einzubetten hat. Wie irgendsoein Tupel aussieht, interessiert niemanden. In einem Lehrbuch mag es praktisch sein für eine einheitliche Notation, in einer Enzyklopädie bringt es wenig. --Chricho ¹ ² ³ 02:46, 4. Sep. 2012 (CEST)

Bist du ernsthaft der Meinung, dass eine Enzyklopadie andere Definitionen als ein Lehrbuch anbieten sollte? Dass man also Definitionen, wenn man an der Wissenschaft (also an Lehrbüchern) interessiert ist, die Definitionen nicht in Enzyklopädien nachschlagen kann? Sry, das verstehe ich nicht. Ich denke, dass eine exakte Definition eher hilft.--Frogfol (Diskussion) 03:03, 4. Sep. 2012 (CEST)

Es gibt ja nicht die Definition. Die einen machen ein 3-Tupel draus, die anderen ein 4-Tupel, die nächsten ein 5-Tupel, der nächste nur eine einzige Funktion, bei der in den jeweiligen Argumenten schon die Information steckt, ob es ums Universum, eine Relation (welcher Stelligkeit) oder Funktion (welcher Stelligkeit) geht. Ziel des Artikels sollte es doch nicht sein, so etwas aufzulisten (was man müsste, wenn es als Nachschlagequelle für entsprechende Lehrbuchdefinitionen dienen sollte). Vielleicht kann mans etwas formaler machen, aber bitte nicht mit „eine Struktur ist ein 3-Tupel“ anfangen, das ist einfach nur unnötig. --Chricho ¹ ² ³ 03:08, 4. Sep. 2012 (CEST)

Mit einem Nachschieben von „…kann also als Tupel $(A,(f_{i})_{i\in I},(R_{j})_{j\in J})$ definiert werden“ könnte ich mich aunfreunden. Deine Meinung? --Chricho ¹ ² ³ 03:32, 4. Sep. 2012 (CEST)

Ich bin mir nicht mehr so ganz sicher. Ich hatte mich zu sehr an: Eine Struktur ${\mathfrak {A}}$ ist eine Menge A gestört, dass also ${\mathfrak {A}}$ mit A gleichgesetzt wird. Und das fand ich nicht so ganz richtig. Aber eigentlich stimmt das ja nicht, der Satz wird sofort weitergeführt. Du hattest Recht, wir können es gerne auch im jetztigen Zustand belassen.--Frogfol (Diskussion) 22:49, 5. Sep. 2012 (CEST)

Ich finde, von diesem Zustand kann man sowohl als als unbedarfter als auch als bedarfter Leser „Zustände bekommen“: Vom Artikel „Relationale Struktur“ wurde ich zu diesen Artikel hier weitergeleitet, bekomme aber noch nicht einmal eine klare Definition einer relationalen Struktur! Der ganze Artikel – vom Titel, über den dürftigen Inhalt bis hin zur Literatur – macht den Eindruck, dass hier ein Logiker schnell mal was zusammen geschrieben hat!

Die gegebene Definition lässt zu wünschen übrig: Eine Tupel-Schreibweise, wie schon oben angedacht, ist angebracht, weil klar, unmissverständlich und formal korrekt – für mathematische Analphabeten kann das ja dann noch kurz in Prosa erläutert werden. Zu einer solchen Definition braucht man sich aber gar nicht so viel Gedanken machen, weil ja eine relationale Struktur (auch „Relativ“ genannt) sich genau so als geordetes Paar definieren lässt wie eine algebraische Struktur, nur mit dem Unterschied, dass man keine Operationen sondern – allgemeiner – Relationen hat. (Partielle) Funktionen bzw. Operationen braucht man nicht extra angeben, weil die ja bekanntlich spezielle Relationen sind. Spezialfälle sollten aber selbstverständlich im Anschluss noch erwähnt werden (versehen mit den entsprechenden Links). Alternativ kann man ja für den Fall, dass die Relationen einer relationalen Struktur zu einem Teil (partielle) Funktionen und zu einem anderen Teil keine (partiellen) Funktionen sind, die Familie der Relationen in die zwei Teilfamilien, die der funktionalen und die der nichtfunktionalen Relationen, aufteilen: Das Paar dieser zwei Teilfamilien entspricht dann der ursprünglichen Familie der Relationen und aus dem geordneten Paar einer relationalen Struktur wird ein Tripel. Das ist insbesondere für die Signatur einer relationalen Struktur mit (mindestens) einer Funktion von Bedeutung, weil für eine solche verschiedene Signaturen möglich sind: eine $n$-stellige Funktion ist nämlich eine $(n+1)$-stellige Relation. Da sollte man wohl die Stelligkeit der Funktion nehmen, um mit den verschiedenen Definitionen in der Literatur konform zu gehen. Es kann auch darauf hingewiesen werden, dass es in der Literatur eben noch andere Varianten der Definition gibt, das genügt aber: noch mehr verschiedene Definitionen, die es noch in der Literatur gibt, verwirren nur die Leser und machen den Artikel unübersichtlich! --RPI (Diskussion) 13:22, 10. Aug. 2013 (CEST)

Hallo RPI! Wem nutzt diese „formale Korrektheit“? Wir schreiben unsere Sachen hier nicht in Prädikatenlogik oder Coq oder so, sondern in Prosa. Wichtig ist nur, dass offensichtlich ist, wie sich das Zeug formalisieren lässt. Formulierungen wie „eine Menge versehen mit“ oder „[…] bestehend aus […] und […]“ werden durch die gesamte Mathematik hindurch benutzt und wohl auch darüber hinaus verstanden.

Funktionen extra anzugeben ist zwar für gewisse Zwecke nicht nötig, allerdings in der Modelltheorie und der universellen Algebra so üblich (die Information, was eine Funktion ist, zählt zur Signatur!) und durchaus nicht völlig sinnlos: Es ergeben sich andere Begriffe von Substrukturen und Homomorphismen, die besonders wichtig sind, der Spezialfall algebraischer Strukturen wird mit eingeschlossen. In der Logik wiederum sind Funktionssymbole etwa nötig, wenn man Quantorenelimination durchführen will. Deinen Vorschlag in der Mitte deines Beitrags verstehe ich nicht – „die Signatur einer relationalen Struktur mit (mindestens) einer Funktion“? Was soll das sein? Die Signatur einer relationalen Struktur hängt nicht von speziellen Eigenschaften der Relationen ab. Und meinst du mit einer „funktionalen Relation“ eine Relation, die Graph einer Funktion ist? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 13:55, 10. Aug. 2013 (CEST)

Hallo Chricho! „Formale Korrektheit“ nutzt jedem, der ernsthaft Mathematik betreiben will, denn der strenge Formalismus ist die einzige Garantie dafür, Fehler vermeiden zu können. Außerdem ist das viel kürzer und übersichtlicher und nicht jeder hat Lust, dauernd solche Texte in die mathematische Formelsprache zu übersetzen.

Ich bezweifele ja nicht, dass es für bestimmte Zwecke sinnvoll ist, Funktionen extra anzugeben, aber für diesen Sonderfall hatte ich ja schon oben einen Vorschlag gemacht, der sich mit den von dir genannten üblichen Schreibweisen deckt. Mir scheint aber, du weisst nicht, was eine Funktion ist: dann lies doch mal die Definition!

Damit sollten sich deine Fragen eigentlich von selbst beantworten. Dass eine algebraische Struktur ein spezielle relationale Struktur ist, ist dann auch klar. Andere Begriffe von Homomorphismen braucht man auch nicht und Unterstrukturen müssen einfach die gleiche Art von Struktur aufweisen, wie die Oberstruktur. Gruß --RPI (Diskussion) 03:13, 11. Aug. 2013 (CEST)

Hallo RPI! Mathematik wird nicht dadurch formal, dass man ein paar Wörter durch Symbole ersetzt („Übersetzung in Formelsprache“), sondern dadurch, dass man in einem formalen System arbeitet, das eine mechanische Überprüfung erlaubt. Das macht aber ein Großteil der Mathematik nicht und auch wir machen das nicht, wenn wir hier Artikel schreiben (somit gibt es natürlich auch keine Garantie dafür, dass keine Fehler dabei sind). Da müsstest du schon konkret argumentieren, was hier der Vorteil sein soll. Ich halte den Formalismus hoch in Ehren und er ist immer im Hinterkopf zu behalten in der Mathematik, aber wenn man schon Prosa benutzt, so sollte man auch ihre Vorteile nutzen, die eben darin liegen, dass man den Blick aufs Wesentliche lenken kann – irgendwelche Tupel und die Frage danach, in welcher Reihenfolge man diese bestückt, gehören nicht zum Wesentlichen des Begriffs. Mein Angebot steht aber weiterhin, am Ende einen Satz „…kann also als Tupel $(A,(f_{i})_{i\in I},(R_{j})_{j\in J})$ definiert werden“ zu ergänzen.

Zur Erläuterung, dass die Trennung zwischen Funktionen und Relationen wichtig ist, mal ein Beispiel: Die Struktur ${\mathfrak {A}}$ sei die Menge $A=\{0\}$ versehen mit der Konstante $c=0$. Diese Struktur besitzt keine echte Substruktur. Dagegen besitzt die Struktur ${\mathfrak {B}}$ über derselben Menge $\{0\}$ versehen mit der einstelligen (rechtseindeutigen, linkstotalen) Relation $R=\{0\}$ eine echte Substruktur, nämlich die Struktur über dem leeren Universum versehen mit einer leeren, einstelligen Relation. Du siehst den Unterschied. Homomorphismen hatte ich irrtümlich erwähnt, da hatte ich an etwas anderes gedacht. Dein Vorschlag ist mir unklar, du willst in zwei Familien aufteilen, eine aus Relationen und eine aus Funktionen – das ist doch genau das, was im Moment im Artikel gemacht wird? Kannst du nochmal explizit sagen, was du anders machen würdest in deinem Vorschlag?

Und lass doch den albernen Link auf den Funktionsartikel – ich könnte hier wohl kaum mitwirken, wenn ich nicht wüsste, was eine Funktion ist. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 03:56, 11. Aug. 2013 (CEST)

Hi Chricho! Wieso wusstest du dann nicht, was eine „funktionale Relation“ ist?

Zur Sache: Ich hatte schon am 10. August, 13:22, geschrieben, dass eine relationale Struktur sich genau so definieren lässt wie eine algebraische Struktur, nur halt allgemeiner mit Relationen. Das kann man also analog machen, wie im Artikel „Algebraische Struktur“, warum das hier unbedingt anders gemacht werden soll, kann ich nicht nachvollziehen. Leser die sich die entsprechenden Artikel ansehen und die Strukturen miteinander vergleichen wollen, sehen die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede nämlich auf einen Blick, wenn das auch hier analog zur algebraischen Struktur definiert wird. Das ist auch die große Stärke der symbolischen Schreibweise: Aus eigener Erfahrung weiss ich, dass man – besonders in der Algebra – bisher noch unbekannte Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten erst dadurch erkennen kann, dass man alles dafür notwendige in symbolischen Formeln vor Augen hat. Der Grund ist, dass der Sehsinn für den Menschen mit Abstand der wichtigste Sinn ist, um seine Umwelt wahrzunehmen. Um zu neuen mathematischen Einsichten zu kommen, ist die mathematische Symbolsprache ein unverzichtbares Hilfmittel, denn sie ist es, die den Blick erst auf das Wesentliche lenkt!

Die Bedenken, die oben von Frogfol vor fast einem Jahr geäußert wurden, zeigen, dass Formulierungen in Prosa nichts zum Verständnis beitragen, wenn sie nicht allgemein – insbesondere für mathematische Laien – verständlich sind. Eine Formulierung wie „eine Menge versehen mit X und Y bestehend aus […]“ wird zwar nicht selten in der Mathematik benutzt, ist aber „unsauber“ und wird darüber hinaus deshalb auch nicht verstanden. Denn diese Formulierung kann unterschiedlich interpretiert werden: Eine derartige Struktur kann man mit der Menge selbst identifizieren, die dann entsprechende Eigenschaften hat, oder mit einem Tripel, in dem die Menge sowie X und Y stehen. Dabei ist das noch ein sehr einfaches Beispiel. Einem Laien nutzt zudem eine fachspezifische Formulierung gar nichts, wenn sie nicht vorher allgemein verständlich erklärt wurde, weil er dann nicht weiss, was sie bedeutet! Wo bei Wikipedia ist denn die genannte Formulierung definiert und auch zu finden? Auch sprachliche Formulierungen müssen vorher klar definiert werden, denn das gehört ebenso zur Formalisierung. Das ist auch in anderen Gebieten wie z.B. der Justiz der Fall (ich weiss, dass das kein gutes Beispiel ist). Sprachliche Formulierungen bringen also in der Regel keinen Vorteil gegenüber einer geeigneten symbolischen Schreibweise, haben aber den Nachteil für Autoren, viel schreiben zu müssen, und wirken auf Leser abschreckend, die nicht viel Text mögen. Die symbolische Schreibweise dagegen hat die von mir schon erwähnten Vorteile.

Ich hatte schon einmal daraufhingewiesen, dass die von dir favorisierte Definition einen Spezialfall darstellt, den man entsprechend abhandeln könnte. Ebenso habe ich ausdrücklich betont , dass es für bestimmte Zwecke sinnvoll ist, Funktionen extra anzugeben – du brauchst das also nicht erklären. Wie wichtig es ist, den Formalismus nicht nur im Hinterkopf zu haben, sondern vielmehr ihn zu gebrauchen, zeigt dein Beispiel:

Die Strukturen ${\mathfrak {A}}=(\{0\},0)$ und ${\mathfrak {B}}=(\{0\},\{0\})$ sind offensichtlich schon als geordnete Paare und damit auch als Strukturen verschieden. Dass ${\mathfrak {B}}$ eine echte Unterstruktur $(\{\},\{\})$ besitzt und ${\mathfrak {A}}$ nicht, beweist daher nichts hinsichtlich einer notwendigen Unterscheidung von Relationen und Funktionen. Es gilt aber $0=\{\},$ d.h. man kann ${\mathfrak {A}}$ auch $(\{\{\}\},\{\})$ schreiben und als relationale Struktur interpretieren (mit der leeren Relation auf $\{\{\}\}$). Diese besitzt tatsächlich die echte Unterstruktur $(\{\},\{\}).$

Eine einstellige Relation kann zudem nicht rechtseindeutig oder linkstotal sein, sondern nur eine (mindestens) zweistellige Relation (höherstellige Relationen kann man immer auch als zweistellig ansehen). Funktionen sind daher immer mindestens zweistellige Relationen, auch nullstellige: für $c_{B}\colon A^{0}\to B,B\neq \{\},$ gilt wegen $A^{0}=\{\{\}\},$ dass $c_{B}=\{(\{\},c)\}\subseteq A^{0}\times B.$--RPI (Diskussion) 21:19, 11. Aug. 2013 (CEST)

Ich kannte diese Sprechweise nicht, weil ich normalerweise „Relation, die Graph einer Funktion ist“ sage…

Strukturen im Sinne dieses Artikels stellen keinen Spezialfall relationaler Strukturen dar, es ist genau umgekehrt. Kannst du das mittlerweile akzeptieren, wenn dieser Artikel nicht nach Relationale Struktur verschoben wird und die Definition weiterhin zwei Familien nennt und relationale Strukturen als Spezialfall allgemeiner Strukturen im Sinne dieses Artikels? So herum ist es richtig und so definiert es die Literatur. --Chricho ¹ ² ³ 21:34, 11. Aug. 2013 (CEST)

Symbolik im Beispiel

Meiner Meinung nach ist die Verwendung des Symbols $\mathbb {N}$ sowohl für die gesamte Struktur der natürlichen Zahlen als auch für das Universum (also einen einzelnen Bestandteil dieser Struktur) irreführend.

Mir ist bewusst, dass eine geänderte Notation ggf. Neulinge in diesem Bereich (zusätzlich) verwirren könnte. Dennoch denke ich, dass es wichtiger ist verschiedene Dinge auch verschieden zu bezeichnen.

Da sich $\mathbb {N}$ als Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen durchgesetzt hat, schlage ich ${\mathfrak {N}}$ als alternative Bezeichnung für die Struktur vor.

--86.56.98.22 22:07, 6. Nov. 2012 (CET)

Das sehe ich auch so. Ich habe es geändert. --Digamma (Diskussion) 08:47, 7. Nov. 2012 (CET)