Diskussion:Trivialität/Archiv

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[[Diskussion:Trivialität/Archiv#Thema 1]]

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Definition mangelhaft

Die Definition des Artikels: „Trivial [...] bedeutet "eine Erkenntnis welche man auf jeder Wegkreuzung erlangt".“ ist mangelhaft. Das ist nicht die Bedeutung, sondern nur die wörtliche Übersetzung. Die tatsächliche Bedeutung des Wortes erfährt man erst auf halbem Weg durch den Artikel im Abschnitt „Bedeutung“. Vorschlag: Den Abschnitt „Bedeutung“ in die Definition integrieren. --Thetawave 14:52, 22. Dez 2005 (CET)

Zustimmung. Habe das mal uebernommen. Inhaltlich hab ichs beim alten belassen. --MajorR 17:12, 9. Feb 2006 (CET)

Seit wann wird das Wort "trivial" in der Mathematik benutzt? Könnte es ursprünglich etwas gemeint haben, was schon im Trivium, nicht erst im Quadrivium behandelt wurde? Mittelalterliche und frühneuzeitliche Studien gliederten sich ja in das Trivium und das Qudrivium. --Hanfried.lenz 10:15, 25. Okt. 2007 (CEST).

Den fortgeschrittenen Scholaren im Quadrivium erschien das, was man im Trivium zu lernen hatte, als relativ elementar oder leicht fasslich. Das wurde als "trivial", als dem Trivium zugehörig bezeichnet. -- Michael 22:37, 30. Okt. 2007 (CET)

Ich hab jetzt mal in meinem Langenscheidt Großwörterbuch (Deutsch als Fremdsprache) nachgeschlagen und da steht: "nicht wichtig(e) (Bemerkung oder Angelegenheit); von niedrigem (küstlerischem) Niveau". Von diesen zwei Bedeutungen steht nichts in der Wikipedia. Komisch oder? Was sagt ihr dazu? --Alfredj (Diskussion) 15:30, 30. Okt. 2012 (CET)

Der Artikel wurde inzwischen deutlich verändert. Die Kritik ist veraltet. Lektor w (Diskussion) 09:23, 10. Sep. 2014 (CEST) erledigtErledigt

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Lektor w (Diskussion) 09:34, 10. Sep. 2014 (CEST)

Mathematik

Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Beispiel: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.
Meiner meinung nach ist die aussage gerade mathematisch betrachtet nicht ganz korrekt. sie ist zwar inhaltlich wahr, aber das gewählte beispiel ist ganz und gar nicht trivial, da die mengenlehre als eine boole'sche algebra diese aussage nicht in ihren vier axiomen enthält. somit müsste diese aussage erst bewiesen werden, bevor sie für alle mengen als wahr betrachtet werden kann und das ist meiner meinung nach nicht trivial. wie gesagt, die aussage ist zwar inhaltlich völlig richtig, aber meiner meinung nach nicht geschickt gewählt. vielleicht weis da jemand etwas besseres? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Fredfeuerstein (Diskussion • Beiträge) 16:03, 12. Jul. 2008)

Hm, ich würd mal meinen es kommt darauf an, wie man die Teilmenge definiert. Wenn man es so macht:

$A\subset B:\Longleftrightarrow \forall x~~x\in A\rightarrow x\in B\wedge \exists y~~y\in B\rightarrow y\notin A$ (echte Teilmenge)

$A\subseteq B:\Longleftrightarrow A\subset B\vee A=B$ (Teilmenge)

dann ist es Trivial.

Und wenn man es ganz so genau nehmen würde, so wäre auch die Aussage $10\in \mathbb {N}$ nicht trivial, weil man, per Definition d. nat. Zahlen, erstmal von "1" anfangen muss sich über die Nachfolger zu hangeln. Und bewiesen hat man es erst, wenn man bei "10" angekommen ist. Trotzdem würde wohl jeder zustimmen, dass es Trivial ist, dass die 10 eine nat. Zahl ist. --Falk _{Sprich^zumir...} 23:45, 21. Jul. 2008 (CEST)

Also ich kenne die Definition der Teilmenge eher so: $A\subseteq B:\Leftrightarrow A\cup B=A$ Und aus dieser Definition folgt natürlich sofort, dass die leere Menge und die Menge selbst Teilmengen von B sind, da deren Durchschnitt mit B immer B ist. Das ist also folglich wirklich trivial. -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 10:44, 9. Mär. 2009 (CET)

Ich vermute mal, Du meinst:

$A\subseteq B:\Leftrightarrow A\cup B={\overset {!}{B}}$

— Falk _{Sprich^zumir …} 16:58, 4. Jun. 2009 (CEST)

Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt.
Nach dieser Fassung ist jeder Satz trivial, weil er ja ohne Zwischenschritt aus sich selbst folgt. Deshalb habe ich das mit dem Satz geloescht.

Die Frage ist doch, was nichttriviale Aussagen sind. Solche können auch aus mathematischen Sätzen, nicht nur aus Definitionen folgen. Dabei ist zu beachten, dass ein mathematischer Satz, wie der des Pythagoras, etwas anderes ist als ein einfacher sprachlicher Satz. Lutz Hartmann 10:19, 14. Jan. 2009 (CET)

Genau um die Frag, was nichttriviale Aussagen sind geht es mir. Die Aussage: "In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat." ist nach der jetzigen Definition im Artikel trivial, weil sie ohne Zwischenschritt aus dem Satz des Pythagoras folgt. Ist also deiner meinung nach der Satz des Pythagoras trivial? Benutzer:Sprotzel 13:26, 14. Jan. 2009 (CET)

Nach dieser Fassung ist jeder Satz trivial, weil er ja ohne Zwischenschritt aus sich selbst folgt. Deshalb habe ich das mit dem Satz geloescht - Der Satz des Pythagoras ist nicht trivial (im eigentlich Sinne), da er nicht direkt aus einem anderen (bewiesenem) Satz oder einem Axiom oder eine Definition folgt (Man kann es es sich auch so merken: Ein Satz ist trivial, wenn sein Beweis nur eine Zeile lang ist). Aber vielleicht sollte man noch erwähnen, dass die meisten Mathematiker sich selbst nicht so genau an die Definition von "trivial" halten, und damit meist wirklich einfach zu beweisende Sätze meint (worunter wieder Pythagoras fiele). Beispielsweise ist der Satz von Euler, nachdem Die Anzahl der Knoten + die Anzahl der Flächen - der Anzahl Kanten in einem Graphen immer 1 beträgt, streng genommen nicht trivial (er folgt nicht direkt aus einem anderen Satz, einer Definition oder einem Axiom), da er aber sehr simpel ist(man braucht nur zwei Schritte), werden die meisten Mathematiker ihn als trivial bezeichnen. Und nur nochmal zum Verständnis. Ihr schreibt, dass ein Satz aus sich folgt, und somit jeder Satz trivial sei. Das ist natürlich falsch, da nur die Aussage, dass jeder Satz aus sich selbst folge, trivial ist. Man muss also folgendes betrachten:

Sei A die Aussage des Satzes von Pythagoras, so kommt von euch die Aussage B: A->A. In diesem Fall ist natürlich B trivial, über A kann man indes nichts sagen.

--Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 10:35, 9. Mär. 2009 (CET)

Bitte lies noch einmal genau, was ich geloescht habe: Vorher stand da: "Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt." Du argumentierst mit :"nicht direkt aus einem anderen (bewiesenem) Satz ... folgt". Von einem "anderen Satz" stand da frueher nichts und so ergibt es auch einen anderen Sinn. Ein Problem mit deiner Formulierung "anderer Satz" habe ich aber immer noch. Wenn man die Kontraposition eines Satzes als "anderen Satz" bezeichnet, ist wieder jeder Satz trivial. -- Sprotzel 14:22, 11. Mär. 2009 (CET)

Das "anderen" kann man auch weglassen, war nur zur Verdeutlichung mit eingeflossen. Eine Aussage kann sinnvollerweise nur aus wahren Aussagen folgen (denn aus Falschen folgt, wie man weiß eh beliebiges). Deswegen kann eine Aussage nicht aus sich selbst folgen, da zu diesem Zeitpunkt nicht bekannt ist, ob sie wahr ist oder nicht. Sie kann daher auch nicht aus ihrer negierten Aussage folgen, da für diese das gleiche gilt. Im Klartext heißt das, dass der Satz des Pythagoras nicht aus sich oder seiner Negation folgen kann, weil über seinen "Wahrheitsgehalt" zum Zeitpunkt der Folgerung nichts bekannt ist, da diese Folgerung ja eben dafür da ist, über diesen "Wahrheitsgehalt" zu urteilen. Aber wie gesagt, die Aussage, dass aus einer Aussage A die Aussage A folgt, ist natürlich trivial ^^ -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 20:31, 14. Mär. 2009 (CET)

Was genau willst du damit aussagen? 1) Erst heisst es "Eine Aussage kann sinnvollerweise nur aus wahren Aussagen folgen", dann "aus Falschen folgt, wie man weiß eh beliebiges", also kann doch aus Falschem etwas richtiges folgen. 2) Eine Aussage kann in der klassischen Logik wahr oder falsch sein und nicht "zu diesem Zeitpunkt nicht bekannt" 3) Der Satz des Pythagoras folgt sicher nicht aus seiner Negation. Liess dir vielleicht mal durch, was Negation und Kontraposition heisst. 4) Erst heisst es "Deswegen kann eine Aussage nicht aus sich selbst folgen" und dann "dass aus einer Aussage A die Aussage A folgt, ist natürlich trivial". Wie passt das zusammen?

1) Dass aus falschem beliebiges folgt ist natürlich in der klassischen Logik richtig. Aber als Beweis für eine Aussage kann keine falsche Aussage herangezogen werden, selbst wenn aus dieser halt beliebiges folgt (dann nämlich auch die Negation der zu beweisenden Aussage und schon hätten wir keine Widerspruchsfreiheit mehr). Aus Falschen kann auf jeden Fall etwas Wahres folgen, aber das ist egal, weil man von einer falschen Aussage nicht ableiten darf. 2) Und eine Aussage kann nicht nur wahr oder falsch, sondern bspw. auch unentscheidbar sein (vgl. Gödelscher Unvollständigkeitssatz). Und wenn man eine Aussage hat, so IST diese natürlich wahr oder falsch (oder unentscheidbar), aber man weiß es ja nicht, weswegen man sie zu beweisen bzw. widerlegen sucht. Das geschieht durch Ableiten aus anderen WAHREN Aussagen oder Definitionen (das nennt man dann in der Mathematik "beweisen"). 3) Dass der Satz des Pythagoras aus seiner Negation folgte, habe ich doch selbst verneint. 4) Dass eine Aussage nicht aus sich selbst folgen kann ist ja meine Grundaussage und dieser Satz sollte diesen Gedanken nochmal verdeutlichen und in Einheit mit dem anderen Satz ("Aber wie gesagt, die Aussage, dass aus einer Aussage A die Aussage A folgt, ist natürlich trivial") zeigen, dass hier zwischen zwei grundverschiedenen Aussagen, nämlich der Aussage A an sich und der "Meta"-Aussage B (über A), nicht unterschieden wird. Übrigens ist es höflich seine Diskussionsbeiträge zu unterschreiben -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 16:21, 16. Mär. 2009 (CET)

Entschuldige bitte, dass ich des oefteren die Signatur vergesse. Ich gelobe Besserung. Koennen wir uns auf folgends einigen: "Eine Aussage kann sinnvollerweise nur mit Hilfe wahrern Aussagen bewiesen werden. Deswegen kann eine Aussage nicht mit sich selbst bewiesen werden, da zu diesem Zeitpunkt nicht bekannt ist, ob sie wahr ist oder nicht. Sie kann daher auch nicht aus ihrer negierten Aussage folgen, da für diese das gleiche gilt. Im Klartext heißt das, dass der Satz des Pythagoras nicht mit sich selbst oder seiner Negation bewiesen werden kann, weil über seinen "Wahrheitsgehalt" zum Zeitpunkt der Folgerung nichts bekannt ist, da dieser beweis ja eben dafür da ist, über diesen "Wahrheitsgehalt" zu urteilen. Aber wie gesagt, die Aussage, dass aus einer Aussage A die Aussage A folgt, ist natürlich trivial ^^" So wird klar, dass immer von dem gerade zu fuehrenden Beweis die Rede ist, nicht von formal logischen Implikationen. Der Punkt 3) ist damit aber leider noch nicht geklaert. Ich wollte dich dezent darauf hinweisen, dass ich von der Kontraposition gesprochen habe. Du aber in der Antwort von der Negation sprichst. Das Problem ist doch folgendes: Ich kann die Kontraposition des Satzes des Pythagoras "Satz von Diskworld" nennen und diesen beweisen. Der Satz von Diskworld ist nicht der Satz des Pythagoras, also ein anderer Satz. Wenn ich den Satz des Pythagoras beweisen moechte kann ich anschliessend sagen, der Satz des Pythagoras ist trivial, weil er ohne Zwischenschritt aus dem Satz von Diskworld folgt. -- Sprotzel 11:26, 18. Mär. 2009 (CET)

Also da das eigentliche Problem ja jetzt gelöst ist, nun zu deinem Punkt. Wenn du die Kontraposition einer Aussage beweis (im Falle vom Pythagoras wäre dass ja (Quadrat der Katheten ist ungleich dem Quadrat der Hypothenuse) => (kein rechtwinkliges Dreieck)), so hast du auch die Aussage selbst bewiesen (siehe Artikel Kontraposition, wo es heißt "Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“.", d.h. dein Satz von Diskworld IST der Satz von Pythagoras. Gut, man könnte jetzt drüber streiten, und sagen, der Satz des Pythagoras wäre trivial aus dem Satz von Diskworld ableitbar (was auch stimmt).Ich persönlich würde hier aber nicht von zwei verschiedenen Sätzen reden, eben aufgrund der Äquivalenz. Das ist dann aber wohl eher persönliche Präferenz, wobei es in der Mathematik eher so gehandhabt wird, dass man Satz und Kontraposition als einen Satz betrachtet (siehe auch Beweis durch Widerspruch) (erst nach der ersten Tasse Kaffee antworten :D). -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 07:21, 19. Mär. 2009 (CET)

Ab wann ist denn fuer dich zwei Saetze fuer dich verschieden? Es gibt ja Saetze wie Hilberts Nullstellensatz, von denen es verschiedene Formulierungen gibt. Ist dann eine Formulierung nicht trivial und die anderen schon? Diese Einteilung in Satz und anderen Satz ist auch schwierig, wenn ein Satz eine Verallgemeinerung eines anderen ist, z.B. Euler-Fermat vom kleinen Fermat. Der kleine Fermat kann natuerlich direkt mit dem Euler-Fermat bewiesen werden.-- Sprotzel 15:19, 23. Mär. 2009 (CET)

Also bei Sätzen, die sich später als Spezialfall eines allgemeineren raustellen würd ich von zwei Sätzen (oder einem Satz und einem Korollar) reden, aber ich handhabe es so, dass triviale Umformulierungen (wie bei Pythagoras und der Kontraposition) keinen neuen Satz ergeben, wenn die Äquivalenz aber erst durch nen längeren Beweis bewiesen wird, würd ich von zwei verschiedenen Sätzen ausgehen. Aber das ist im Hinblick auf das hier Erörterte ohne Belang, da es darum ging, ob ein Satz aus sich selbst folgt, und das wurde ja jetzt verneint. -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 20:34, 23. Mär. 2009 (CET)

Folgendes Problem habe ich noch: Wenn der Satz von Euler-Fermat bewiesen wird ohne den kleinen Fermat zu verwenden, kann der kleine Fermat hinterher als Korollar gefolgert werden und in dem Sinne "folgt direkt aus einem anderen Satz" als trivial bezeichnet werden. Andere Werke koennen aber erst den kleinen Fermat zeigen, dann damit den Euler-Fermat beweisen. In den Werken ist dann also der kleine Fermat nicht trivial.-- Sprotzel 15:06, 26. Mär. 2009 (CET)

Also, wenn du den Satz von Euler-Fermat beweist, ohne den kleinen Fermat benutzt zu haben, dann ist in diesem Fall der kleine Fermat als Spezialisierung von Euler-Fermat tatsächlich trivial. Und wie du schon gesehen hast, kommt es bei der Trivialität von mathematischen Sätzen auch auf die Historie an (wobei der Beweis der Spezialisierung meistens erst zur Verallgemeinerung geführt hat). Aber streng genommen ist der kleine Fermat immer trivial, weil er immer aus dem Euler-Fermat folgt. -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 06:57, 27. Mär. 2009 (CET)

Die oben kritisierte Formulierung wurde geändert, deshalb schlage ich Archivierung vor. Lektor w (Diskussion) 09:34, 10. Sep. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Lektor w (Diskussion) 09:34, 10. Sep. 2014 (CEST)

Trivialkultur

Der oben genannte Begriff wird absolut nicht erwähnt. Ist er zu Irrelevant oder trivial? Auf jeden Fall bekommt man den Begriff relativ häufig an den Kopf geworfen und was es genau damit gemeint ist weiß ich leider nicht. Könnte mich jemand vieleicht aufklären oder es im Artikel erwähnen?--79.220.57.46 15:06, 4. Jun. 2009 (CEST)

Ich vermute mal, dass man damit eine Kultur meint, die sich hauptsächlich mit Trivialem beschäftigt, wobei es da natürlich auch immer schwierig ist zu bestimmen, was denn nun trivial ist -- Diskworld ^^ - Xand0r trusts no one 14:19, 6. Jun. 2009 (CEST)

Es ist zwar kein wissenschaftlich super definierte Begriff, aber hat schon mal eine Bedeutung. Kanns nicht besser erklären als über dieses doofe Beispiel: Pokemon! Pokemon hat eine Kultur geschaffen, die sich über ein relativ großen Bereich des Alltags erschreckt, durch Merchingdise, Kartenspiele, Kuscheltiere. Aber da es eine primitive(?) Kultur ist, ohne Tiefe nennt man Pokemon ein trivialkulturelles Phänomen.--79.220.73.30 20:00, 7. Jun. 2009 (CEST)

Das Thema kommt inzwischen im Artikel vor. Lektor w (Diskussion) 09:23, 10. Sep. 2014 (CEST) erledigtErledigt

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Lektor w (Diskussion) 09:34, 10. Sep. 2014 (CEST)