Diskussion:Umtauschparadoxon/Archiv/5

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Geschichte

Diesen Abschnitt verstehe ich nicht. Das Spiel ist doch fair, gerade weil der andere auch genauso denken kann, oder? Wo liegt hier das Symmetrieproblem? --Explosivo (Diskussion) 02:30, 12. Jun. 2014 (CEST)

Es ist auch fair. Der Fehler liegt in der Überlegung "Mit Wahrscheinlichkeit 0,5 gewinne ich allerdings und habe danach mehr als 2A." --NeoUrfahraner (Diskussion) 09:04, 12. Jun. 2014 (CEST)

Der Artikel über einen berühmten "Denkfehler"

Nalebuff zeigt mit "Ali / Baba" deutlich jenes Szenarium, in welchem der Satz (2A+A/2)/2=1.25*A einzig und allein korrekt sein kann. Als Hilfestellung zum "Erkennen" des Fehlers kann man sich anstelle "Doppelt oder Halb" auch "Tausendfach oder ein Tausendstel" vor Augen führen.
Ali / Baba: Wenn A ein "Ausgangswert" ist, der im "ersten" Umschlag (nennen wir ihn A) enthalten ist, und danach ein zweiter Umschlag (nennen wir ihn B) mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit 2A oder A/2 gefüllt wird, dann kann Ali, der den ersten Umschlag A erhielt, beim Wechseln zu Umschlag B tatsächlich den Wert von 1,25*A erwarten. Während Baba beim Wechseln von Umschlag B zu Umschlag A nur 0,8*B erwarten darf.
Doch da "allgemein" die erste Wahl mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeden der Umschläge fallen kann, ist der Satz  (2A+A/2)/2=1.25*A  für alle anderen, "allgemeinen" Fälle unzutreffend und unsinnig, denn er impliziert a priori "A≠A", wobei implizit  "2A"=2(A/2) und "A/2"=(2A)/2)  sind.
Der für eine "allgemeine Verwendung" unzutreffende und unsinnige Satz ist folglich aufzulösen mit: "Der Erwartungswert (für den allgemeinen Fall) beträgt (A+A)/2". Gerhardvalentin (Diskussion) 15:15, 16. Jun. 2014 (CEST)

Wenn der geöffnete Umschlag "A" genannt wird und der ungeöffnete Umschlag "B", dann kann der Erwartungwert von B durchaus immer größer sein als der tatsächliche Wert von A. Weshalb sei (2A+A/2)/2=1.25*A unsinnig? Es gilt doch sicher: (2A+A/2)/2=(2,5*A)/2=1,25*A. A≠A wird nicht impliziert. Wir wissen lediglich, dass gilt: "A≠B". Der Erwartungswert eines beliebigen Umschlags ist vor dem Öffnen des ersten Umschlags (A+B)/2. --Rebiersch (Diskussion) 23:41, 16. Jun. 2014 (CEST)

Zu dem "beabsichtigten" Denkfehler: Bitte versuche es mittels obigem Vorschlag zu "verstehen": Anstelle von doppelt oder halb nimm "tausendfach" und "ein Tausendstel". Und beachte die beiden völlig unterschedlichen Varianten: Einmal mit "Ausgangswert" und "danach" bestimmtem "abhängigem Folgewert (siehe AliBaba)"  –  und den "allgemeinen Fall": lediglich zwei unbekannte Werte.
Nochmals: A ist nur dann ein "Ausgangswert", wenn - abhängig vom fixen "Ausgangswert A" - danach B als "Folgewert" gleichwahrscheinlich als "xfach" bzw. als "ein Xtel" bestimmte wird. Du hast also - ausgehend von A - "zwei mögliche gegenüberliegende" Folgewerte B, und nur einer davon trifft aktuell zu. Wenn jedoch kein "Ausgangswert" bekannt ist, kann der zuerst ausgewählte Betrag nicht den anderen Wert "bestimmt haben". Der erstgewählte Wert ist entweder kleiner als der andere, dann kann er "a" genannt werden, und der andere doppelt so hohe Wert "A" oder "2a". Ist jedoch der erstgewählte Betrag der höhere von beiden, so kann er "A" oder "2a" genannt werden, und der "andere" Wert ist sodann entweder "A/2" bzw. "a". Auf dieser Grundlage: "A=2a, was a=A/2 heißt", lautet sodann die korrekte Formel für den Erwartungswert Tausch: (2a+A/2)/2 = (A+A)/2 = "A". Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 11:55, 19. Jun. 2014 (CEST)

Nein, (2a+A/2)/2≠(A+A)/2 für A=2a und A≠0.

Ich weiß nicht, was du mit "Erwartungswert Tausch meinst". Unter der Voraussetzung A=2a folgt aus (2a+A/2)/2 => (2a+a)/2 = 1,5*a (bzw (A+A/2)/2= 0.75*A). Mit Worten: Man verliert durch den Tausch mit gleicher Wahrscheinlichkeit den kleineren Betrag "a" oder gewinnt durch den Tausch "a" hinzu.

Bei einem Verhältnis von 1:1000 ergibt sich dann halt: A=1000a => Man verliert durch den Tausch mit gleicher Wahrscheinlichkeit 999a oder gewinnt 999a hinzu. --Rebiersch (Diskussion) 19:13, 19. Jun. 2014 (CEST)

Nur so als Anmerkung: Die Frage von Explosivo bezieht sich nach meinem Verständnis auf den Abschnitt "Geschichte" und die Version von Maurice Kraitchik. Dort ist nicht von Umschlägen mit halbem oder doppeltem Inhalt, sondern von Geldbörsen mit mehr oder weniger Inhalt die Rede. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:07, 17. Jun. 2014 (CEST)

Nochmals: Die "Formel" gilt nur für den Fall, dass sich der aktuelle positive Ausgangswert A in Umschlag "A" befindet (bei aktuellem Umschlag-Paar "A und B" muss bekannt sein, dass Umschlag "A" den Ausgangswert enthält, der den Inhalt [Folgewert] des Umschlags "B" gleichwahrscheinlich mit 2A oder A/2 bestimmt hat). Nur dann enthält Umschlag "B" mit gleicher Wahrscheinlichkeit 2A oder A/2, sonst nicht. Nur dann ist B 5/4*A und A 4/5*B.

Sind die beiden Umschläge nicht als "Ausgangswert" resp. als "Folgewert" bekannt, so kann nur davon ausgegangen werden, dass beide entweder 1/3 und 2/3 des Gesamtwertes bzw. 2/3 und 1/3 des Gesamtwertes enthalten. Mehr nicht. Dann enthält jeder der beiden Umschläge in gleicher Weise 1/2 des Gesamtwertes.

Für diesen Fall muss die Formel berücksichtigen, dass A nur dann verdoppelt werden kann, wenn es sich um den kleineren der beiden Werte (1/3 des Gesamtwertes) handelt, und nur dann halbiert werden kann, wenn es sich um den größeren dr beiden Werte (2/3) handelt. Anstelle 2/3 und 1/3 könnte "A" und "a" verwendet werden, wobei gilt "A=2a"".

Dann müsste die Formel lauten:  ${1 \over 2}(2a)+{1 \over 2}\left({A \over 2}\right)={1 \over 2}desGesamtwertes={1 \over 2}(A+a)={1 \over 2}(A+b)={1 \over 2}(a+B)={1 \over 2}(B+b)$

Verdoppelt kann nur "a" werden, halbiert kann nur "A" werden. Bei unbekannten Umschlägen beträgt der Erwartungswert jeweils (2/3+1/3)/2 =  1/2 des Gesamtwertes. Gruß Gerhardvalentin (Diskussion) 16:49, 16. Okt. 2014 (CEST)

"Nach dieser Überlegung würde sich das Tauschen lohnen."

Wenn im zweiten Umschlag nur 50 Euro sind, lohnt es sich nicht. Daran kann auch die scharfsinnigste Überlegung nichts ändern. --217.226.72.97 17:49, 26. Jul. 2015 (CEST)

Sind im zweiten Umschlag nur 50 Euro? --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:36, 27. Jul. 2015 (CEST)

Entweder sind 200 oder 50 Euro drin, und in letzterem Fall lohnt sich das Tauschen offensichtlich nicht. Ob es sich lohnt, hängt nur vom Inhalt des Umschlags ab, nicht von Wahrscheinlichkeiten, die der Spieler in Unkenntnis des Inhalts annimmt. Oder wollten Sie mit Ihrer Frage auf Schrödingers Katze hinaus? Dann müsste der Betrag auf dem Scheck per Zufallsexperiment ohne menschliches Zutun bestimmt worden sein, und es müsste sichergestellt sein, dass er sich ohne Öffnen des Umschlags nicht ermitteln lässt (z.B. durch den Tonerverbrauch beim Drucken). Oder es handelt sich um Spezialpapier oder Spezialtinte, die den Betrag erst beim Öffnen des Umschlags zufällig festlegt. --217.226.80.175 20:22, 2. Aug. 2015 (CEST)

Das führt jetzt auf die philosophische Frage, ob Wahrscheinlichkeitsrechnung auf deterministische, aber unbekannte Situationen angewendet werden kann (z.B. auf Kartenspiele, nachdem die Karten bereits gegeben, aber noch nicht angesehen worden sind). Um diese Fragen geht es hier aber nicht. --NeoUrfahraner (Diskussion) 09:32, 3. Aug. 2015 (CEST)

PS: Wahrscheinlichkeit#Philosophie – Verständnisse_von_Wahrscheinlichkeit --NeoUrfahraner (Diskussion) 10:34, 3. Aug. 2015 (CEST)

Erklärung für Nichtmathematiker

Es ist zu lesen :

"Es handelt sich daher entweder um die 50/100- oder um die 100/200-Euro-Kombination. Daraus kann aber nicht geschlossen werden, dass unter der Bedingung, dass 100 Euro gefunden wurden, die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kombinationen gleich sind."

Und warum nicht ? Welche andere Kombination außer 50/100 oder 100/200 kann denn bitte beim Auffinden von 100 Euro sonst noch möglich sein ? (Vorgabe : In einem Umschlag befindet sich doppelt soviel wie im anderen). Bitte mal ein Beispiel, das diese Vorgabe erfüllt ? (nicht signierter Beitrag von 92.229.15.153 (Diskussion) 23:58, 9. Sep. 2014 (CEST))

Natürlich gibt es keine anderen Kombinationen, aber wenn nur genau zwei Möglichkeiten eintreten können, heißt das doch nicht automatisch, dass beide gleich wahrscheinlich sind. (Es kann kann morgen regen oder nicht. Das heißt aber nicht, dass die Regenwahrscheinlichkeit 50 % sein muss.) Zahlenbeispiele stehen doch im Artikel. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 09:29, 10. Sep. 2014 (CEST)

In einem idealen Spiel sind allerdings beide Wahrscheinlichkeiten gleich: Es gibt zwei Briefumschläge, einen mit Betrag A, einen mit Betrag 2A. Der gute Herr wählt nun einen aus und überlegt dann, zu wechseln. Fall 1: Er wechselt von A zu 2A, hat also einen Gewinn von A. Fall 2: Er wechselt von 2A zu A, hat also einen Verlust von A. Da er seinen Umschlag zufällig gewählt hat, ohne eine weitere Information zu besitzen, sind beide Fälle gleichwahrscheinlich, er erwartet also einen Gewinn von 0,5*A + 0,5*(-A) = 0. Dieses Ergebnis begründet das faire Spiel. Das vermeintliche Paradoxon ist nur herbeigeredete mathematische Verwirrung. (nicht signierter Beitrag von 93.217.226.217 (Diskussion) 10:44, 15. Feb. 2015 (CET))

Beim „Paradoxon“ geht es ja hauptsächlich nicht um eine „richtige“ Begründung, sondern darum herauszufinden, warum die – vielleicht erst mal vernünftig klingende – Argumentation im Abschnitt Die Umtauschsituation falsch ist. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:52, 15. Feb. 2015 (CET)

Wird etwas zum Paradox, nur weil man nicht in der Lage ist, die Aufgabe korrekt zu lösen? Würde man von Anfang an klar argumentieren, so gäbe es erst gar keine Verwirrung und das gesamte "Paradoxon" wäre eine simple Übungsaufgabe. Jedem Eingeweihte ist klar, wieso die "vernünftig klingende" Lösung falsch ist, und die nicht Eingeweihten werden durch solche angeblichen Paradoxien davon abgehalten, in die Mathematik einzusteigen. "Wenn schon ein Mathematiker seine eigene Materie paradox findet, wie kann dann ICH etwas verstehen?" (nicht signierter Beitrag von 2A02:810A:80:6F4:8CB8:EBB0:BD86:33CD (Diskussion | Beiträge) 10:35, 15. Apr. 2015 (CEST))

Was genau meinst du mit „die Aufgabe korrekt“ lösen? Die Aufgabe ist doch, eine Antwort auf die Frage „Worin liegt der Trugschluss dieser Argumentation?“ zu finden. Wenn die Lösung „jedem Eingeweihten“ klar ist, umso schöner. Aber für alle anderen gibt es eben diesen Artikel. -- HilberTraum (d, m) 13:35, 15. Apr. 2015 (CEST)

Im Artikel steht:"...wesentlich ist aber, dass das Paradoxon verschwindet, sobald man irgendeine konkrete Wahrscheinlichkeitsverteilung annimmt." Sollte das wirklich die einzige Möglichkeit sein, das Paradoxon aufzulösen? Um den Trugschluss in Herrn Schmidts Argumentation aufzudecken, müsste man doch eher mal seine Überlegung analysieren und feststellen, um welche Art von Erwartungswert es sich hierbei handelt, sowie hinterfragen, was die Faktoren 0,5 in seiner Formel bedeuten. Wenn sich nachweisen ließe, dass sein Ansatz in dieser Form unzulässig ist, würde das scheinbare Paradoxon doch überhaupt nicht entstehen, oder? --Geodel (Diskussion) 23:52, 28. Apr. 2015 (CEST)

Hmm? Es hängt doch davon ab, an welcher Stelle der Leser einen scheinbaren Widerspruch sieht. Viele dürften in der Aussage "Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind." diesen Widerspruch sehen. Bei genauer Betrachtung ist es aber keiner, sondern eine ungenaue Beschreibung der Situation. Tatsächlich ist es so, dass der Erwartungswert des andere Umschlags, also der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlag, sehr wohl immer höher sein kann, als der Wert des geöffneten Umschlags. Der andere (ungeöffnete) Umschlag wird aber immer nur in 50% der Fälle besser sein, also tatsächlich einen höheren Wert aufweisen als der geöffnete. (Interessanterweise ist es aber nicht möglich, dass der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags immer niedriger ist als der Wert des geöffneten Umschlags). --Rebiersch (Diskussion) 03:02, 11. Jul. 2015 (CEST)

Auf welcher Grundlage kann Schmidts Erwartungswert des anderen Umschlags immer höher sein? Welche Zusatzinformationen benötigt er dazu? --Geodel (Diskussion) 17:14, 9. Aug. 2015 (CEST)

Z.B. unter der Annahme (oder der Zusatzinformation), dass die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag ausgehend von einem konkreten vorgefundenen Betrag im geöffneten Umschlag immer größer sei als 1/3. --Rebiersch (Diskussion) 21:25, 10. Aug. 2015 (CEST)

Im Fall, dass die bed. W'keit für den doppelten Betrag genau 1/3 ist, sollte der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags also genau dem gefundenen Geldbetrag entsprechen. Wie würde denn eine solche Verteilung konkret aussehen? Und was ist mit einem als sicher existierend anzunehmenden Höchstbetrag? --Geodel (Diskussion) 17:29, 12. Aug. 2015 (CEST)

Eine Verteilung, bei der die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag immer genau 1/3 ist, wird sich nicht realisieren lassen. Ebenso wenig eine Verteilung, bei der die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag immer kleiner als 1/3 ist. Deshalb schrieb ich auch "immer größer sei als 1/3". Es gibt dann keinen Höchstbetrag. --Rebiersch (Diskussion) 21:40, 12. Aug. 2015 (CEST)

Kleine Anmerkung: Eine Verteilung, bei der die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag (mit Ausnahme des kleinsten Geldbetrags $k$) immer genau 1/3 ist, lässt sich schon angeben: Sei die Wahrscheinlichkeit für den kleineren Betrag $Z=2^{n}k$ gleich $q^{n}(1-q)$. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag (mit Ausnahme des kleinsten Geldbetrags $k$) immer genau $q/(1+q)$. Für $q>1/2$ ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit größer $1/3$ und der bedingte Erwartungswert des ungeöffneten Umschlag ist immer höher. Für $q<1/2$ ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit kleiner $1/3$ und der bedingte Erwartungswert des ungeöffneten Umschlag ist nur höher, wenn man im geöffneten Umschlag den kleinsten Geldbetrag $k$ findet. $q=1/2$ ist der Grenzfall, bei dem die bedingte Wahrscheinlichkeit (mit Ausnahme des kleinsten Geldbetrags $k$) immer gleich $1/3$ ist. --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:57, 13. Aug. 2015 (CEST)

Ja, aber lässt sie sich auch realisieren? Zum Beispiel in der Art wie für den Fall "größer 1/3", den wir vor Jahren hier ja schon mal diskutiert haben. (https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Umtauschparadoxon&oldid=50677590#neues_Beispiel_f.C3.BCr_eine_Verteilung_ohne_Maximalbetrag_und_ohne_Gleichverteilung_der_Einzelbetr.C3.A4ge) --Rebiersch (Diskussion) 07:27, 13. Aug. 2015 (CEST)

Was genau meinst Du jetzt mit "realisieren?" Mit echtem Geld geht es natürlich nicht, weil der Erwartungswert des nötigen Betrags unendlich ist; mit "Spielgeld" und z.B. der Inversionsmethode lässt sich natürlich jede beliebige Verteilung simulieren. --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:52, 13. Aug. 2015 (CEST)

Ich meinte es im Sinne von tatsächlichem Nachspielen. Ob Computersimulation oder echtes Nachspielen mit Würfel und/oder Lostrommel ist eigentlich egal. --Rebiersch (Diskussion) 13:39, 13. Aug. 2015 (CEST)

Dann ist die Antwort also: "Ja, es lässt sich realisieren". Der Fall mit q=1/2 entspricht übrigens Deiner Beschreibung, wobei statt gewürfelt einfach eine Münze geworfen werden kann. --NeoUrfahraner (Diskussion) 13:49, 13. Aug. 2015 (CEST)

Ich sehe gerade, dass ich Deine Einschränkung: "mit Ausnahme des kleinsten Geldbetrags" überlesen hatte. Mit einem kleinsten Geldbetrag geht es natürlich. Wenn genau dieser kleinste Geldbetrag aufgedeckt wird, lohnt sich das Tauschen auf jeden Fall. In den anderen Fällen ist es auf der Grundlage des bedingten Erwartungswertes egal. --Rebiersch (Diskussion) 14:06, 13. Aug. 2015 (CEST)

PS: ein schönes weiteres Beispiel um zu zeigen, dass "immer Tauschen" und "nie Tauschen" gleichwertig sind. --Rebiersch (Diskussion) 19:03, 13. Aug. 2015 (CEST)

Die obige Verteilung zeigt doch, dass es, abgesehen von einem als realistisch anzunehmenden Mindest- und Höchstbetrag, möglich ist, dass der ungeöffnete Umschlag immer besser oder aber immer schlechter ist. Das bedeutet aber, dass "immer tauschen" und "nie tauschen" nicht gleichwertig, sondern abhängig von der gegebenen Verteilung vorteilhaft ist oder eben nicht, oder? --Geodel (Diskussion) 15:29, 14. Aug. 2015 (CEST)

"Immer tauschen" und "nie tauschen" müssen immer gleichwertig sein. Sie sind es bei genauer Betrachtung auch. Der ungeöffnete Umschlag kann nicht immer besser sein, als der geöffnete. Wahrscheinlich hast Du dies auch nicht gemeint. Der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlag kann aber immer besser sein, als der Betrag des geöffneten Umschlags. Aber nur wenn es keinen Höchstbetrag gibt. Wenn der Höchstbetrag im geöffneten Umschlag ist, so ist der Betrag im ungeöffneten sicher der halbe Betrag. (Negative Beträge haben wir stillschweigend ausgeschlossen). Besonders gut deutlich wird es doch an NeoUrfahraners Beispiel mit einem kleinsten Geldbetrag und für alle anderen Beträge eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 für den doppelten Betrag. Ich finde sogar, dass es exemplarisch im Artikel aufgenommen werden sollte. --Rebiersch (Diskussion) 21:26, 14. Aug. 2015 (CEST)

Antwortversuch von meiner Seite: Geodel, was meinst Du exakt mit "immer besser" bzw. "immer schlechter"? Vermutlich meinst Du, dass der Erwartungswert immer höher bzw. immer niedriger wäre. Bei der angegebenen Verteilung ist aber der Erwartungswert bereits unendlich und wird auch durch "immer tauschen" nicht höher. Mathematisch gesehen "darf" man den bedingten Erwartungswert gar nicht berechnen, wenn der Erwartunsgwert nichts existiert (bzw. unenedlich ist). --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:19, 15. Aug. 2015 (CEST)

Wenn man realistischerweise von sowohl einem Mindest- als auch einem Höchstbetrag ausgeht, kann innerhalb dieser Grenzen eine Verteilung angegeben werden, die dazu führt, dass der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags immer höher ist ( q > 1/2 ) außer für den Höchstbetrag im geöffneten Umschlag, oder eine andere Verteilung, die dazu führt, dass der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags immer niedriger ist ( q < 1/2 ) außer für den Mindestbetrag im geöffneten Umschlag. Im Artikel steht aber der Satz:"Hingegen ist es durchaus möglich, dass der Erwartungswert vom ungeöffneten Umschlag ausgehend vom geöffneten Umschlag immer über dem tatsächlichen Wert des geöffneten Umschlags liegt." Von einem Höchstbetrag ist da keine Rede... --Geodel (Diskussion) 08:48, 16. Aug. 2015 (CEST)

Ich möchte aber gerne auf meine ursprüngliche Frage zurückkommen: wie lässt sich Schmidts Rechnung ohne Zusatzwissen begründen? --Geodel (Diskussion) 23:15, 15. Aug. 2015 (CEST)

Wo hast Du diese "ursprüngliche Frage" gestellt? Wo wird behauptet, dass sich Schmidts Rechnung ohne Zusatzwissen begründen lässt? --NeoUrfahraner (Diskussion)

Okay. in dieser Form habe ich die Frage nicht gestellt, aber auch diese Frage wird im Artikel nicht beantwortet. Das Paradoxon wird ja nur in gut einem dutzend Zeilen abgehandelt und das auch nur recht oberflächlich, der weitaus größte Teil des Artikels ( > 90% ) bschäftigt sich mit Verteilungen, zugehörigen Erwartungswerten und Gewinnstrategien, das eigentliche Thema bleibt dabei auf der Strecke. --Geodel (Diskussion) 14:25, 18. Aug. 2015 (CEST)

Ja, stimmt. Das eigentliche Paradox lässt sich, sobald der Denkfehler klar ist, in wenigen Zeilen auflösen. Der Rest des Artikels ist dann eigentlich nur mehr für die da, denen die verbale Erklärung zu oberflächlich ist und die daher "exakte" Argumente benötigen. --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:39, 18. Aug. 2015 (CEST)

Schmidt unterläuft ja nicht nur ein Irrtum. Ein wesentlicher Denkfehler wird im Artikel gar nicht thematisiert, nämlich dass er bei seiner Rechnung vom gefundenen Geldbetrag ausgeht. Die Unklarheiten ließen sich besser beseitigen, wenn im Artikel auch auf die Umtauschsituation, wie sie von Barry Nalebuff 1989 behandelt wird, Bezug genommen würde. Nalebuff, der im Abschnitt "Geschichte" als Quelle des Umtauschparadoxons genannt wird, formuliert ein anderes Szenario als das im Artikel, mit zwei Teilnehmern, die jeder einen Umschlag erhalten, wobei noch ein Münzwurf des Spielleiters eine Rolle spielt. Das Paradoxe ergibt sich bei ihm dadurch, dass beide Teilnehmer zu dem gleichen Schluss gelangen, es sei besser für sie, zu tauschen. --Geodel (Diskussion) 16:25, 20. Aug. 2015 (CEST)

Die Problemforumluerung bei Nalebuff hat durchaus etwas für sich; das Paradoxe wird darin evtl. für machen Leute klarer.

Wie komst Du darauf, dass es ein Denkfehler wäre, vom gefundenen Geldbetrag auszugehen? Nalebuff sagt das meinens Wissens nicht. Er verweist z.B. auf Sandy Zabell "He argues that it is improper to assume that gains and losses are equally likely no matter what Baba sees in his envelope". Vom gefundenen Geldbetrag ausgehen ist kein Problem, nur darf man nicht annehmen, dass Gewinn und Verlust bei jedem Geldbetrag gleich sind. Darunter findet sich übrigens die Formel Prob[Ali= 2X | Baba = X]=f(2X)/[f(X/2)+ f(2X)] wie sie so ähnlich auch bei uns im Artikel ist. Auch wenn im Detail anders argumentiert wird, sehe ich keine wesentlichen Unterschied in der Argumentation. --NeoUrfahraner (Diskussion) 17:31, 20. Aug. 2015 (CEST)

Bei Nalebuffs Version wird auch klar, dass die Teilnehmer sich in unterschiedlichen Positionen befinden und trotzdem beide zu dem Ergebnis gelangen, dass Tauschen aus ihrer Sicht Zusatzgewinn verspricht. Außerdem lokalisiert Nalebuff das Paradoxon, anders als im Artikel, unmittelbar an dieser Stelle, an der Ali die 10€ und Baba die 5 bzw. 20€ tauschen möchten. Leider verliert Nalebuff in seiner weiteren Argumentation diesen Ansatz aus den Augen...

Die Frage ist, ob Baba überhaupt in der Lage ist, eine bedingte W'keit aufgrund des von ihm gefundenen Geldbetrags zu berechnen. Dazu müssten u.a. die W'keiten auf der rechten Seite der Gleichung angegeben werden können. Auf Nalebuffs Szenario bezogen sind dann konkrete Fragen zu beantworten:

aus Sicht von Ali: wie groß ist die W'keit, 10€ zu finden?

aus Sicht von Baba: wie groß ist die W'keit, 20€ zu finden? Wie groß ist die W'keit, dass Ali 10€ findet und dass Ali 40€ im Umschlag findet? --Geodel (Diskussion) 15:41, 24. Aug. 2015 (CEST)

Solche Wahrscheinlichkeiten lassen sich angeben; sie sind aber aus der Aufgabenstellung nicht eindeutig bestimmt. --NeoUrfahraner (Diskussion) 17:04, 24. Aug. 2015 (CEST)

Auf welcher Grundlage lassen sich denn solche W'keiten angeben und wie sehen die dann konkret aus? --Geodel (Diskussion) 17:33, 25. Aug. 2015 (CEST)

Zunächst: Ali muss sich entscheiden, ob sie tauschen will. (Wenn sie sich nicht entscheidet, kommt in der Formulierung von Nalebuff kein Tausch zustande, das entspricht also der Entscheidung "Tausche nicht"). Auf welcher Grundlage kann sich Ali entscheiden? Sie kann beispielsweise das Horoskop befragen, Psychologie oder Erfahrung anwenden oder einfach blind raten. Auf der gleichen Grundlage kann Ali irgendeine Wahrscheinlichkeit p annehmen, dass der andere Umschlag besser ist (also $20 enthält) und 1-p, dass der andere Umschlag schlechter ist (also $5 enthält). Jeder Wert für p zwischen 0 und 1 (einschließlich der Grenzen) ist zunächst zumindest mathematisch zulässig. --NeoUrfahraner (Diskussion) 18:03, 25. Aug. 2015 (CEST)

Das beantwortet nicht meine Fragen, woher Baba die a-priori-W'keiten kennen könnte, dass Ali in ihrem Umschlag beispielsweise 10€ oder 40€ oder dass Baba beispielsweise 20€ in seinem Umschlag findet. In der Problemstellung lassen sich diese W'keiten jedenfalls nicht finden.

Deine Argumentation bzgl. Ali kann ich nicht nachvollziehen Ali entscheidet sich selbstverständlich zum Tausch, denn aufgrund des allen Teilnehmern bekannten Geldverteilungsverfahrens berechnet sie ihren Erwartungswert korrekt, und zwar unabhängig vom Geldbetrag; ihre Rechnung ist für jeden gefundenen Geldbetrag gültig. Baba hingegen befindet sich in einer anderen Position und darf mangels eindeutiger Informationen nicht von seinem gefundenen Geldbetrag auf einen Zugewinn durch Tauschen schließen. Seine Schlussfolgerung beruht auf einem Denkfehler. Im Übrigen ergibt sich das Paradoxon aus der Erwartung beider Teilnehmer, durch Tausch einen Zugewinn zu erzielen. Ob ein Tausch tatsächlich stattfindet oder nicht ist daher gleichgültig. --Geodel (Diskussion) 16:37, 29. Aug. 2015 (CEST)

Bzgl. Ali hast Du recht; meine Argumentation bezieht sich nur auf Baba. Baba braucht die a-priori-W'keiten allerdings nicht zu kennen; es reicht, wenn er irgendwie eine vermutet. Es stimmt auch, dass Baba nicht zwingend annehmen kann, dass Ali bei jedem gefundenen Betrag mit gleicher Wahrscheinlichkeit den halben oder den doppelten Betrag hat. Er darf aber selbstverständlich auch ohne eindeutige Informationen abhängig von seinem gefundenen Geldbetrag und seinen vermuteten Wahrscheinlichkeiten auf einen Zugewinn (oder auch Verlust) durch Tauschen schließen. Er muss sich nur bewußt sein, dass dieser Schluss nicht zwingend ist, sondern nur auf Vermutungen beruht. --NeoUrfahraner (Diskussion) 23:17, 29. Aug. 2015 (CEST)

Verstehe ich dich richtig: das Umtauschparadoxon beruht deiner Meinung nach nur auf subjetiven Vermutungen, die nirgends in der Problemstellung einen expliziten Rückhalt finden? Zunächst darf Baba also irgendwelche a-priori-W'keiten für Alis Geldbetrag vermuten und daraus auf einen Zugewinn durch Tauschen schließen, obwohl er bei anderen vermuteten a-priori-W'keiten auf einen Verlust durch Tausch schließen könnte? Und dann darf der Leser noch Vermutungen über Babas Vermutungen bei unterschiedlichen Geldbeträgen anstellen? Im Endeffekt könnten doch die Vermutungen des einen Lesers zu einer paradoxen Situation führen, die Vermutungen eines anderen Lesers jedoch nicht. Ich vermute demnach mal, dass das Umtauschparadoxon hier nur als ein Scherzproblem aufgefasst wird, bei dem ein paar Leute nur in W'keitsverteilungen und bed. Erwartungswerten schwelgen möchten (siehe z.B. den Thread Diskussion:Umtauschparadoxon#Exkurs_.2F_Zufallsvariablen_mit_unendlichem_Erwartungswert). Oder vermutest du etwas anderes? Dem Ziel "Erklärung für Nichtmathematiker" sind wir jedenfalls keinen Schritt näher gekommen... --Geodel (Diskussion) 17:35, 1. Sep. 2015 (CEST)

Welches Paradoxon ist für Dich kein "Scherzproblem", sondern ein "ernstes" (ist das das Gegenteil) Problem? --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:49, 2. Sep. 2015 (CEST)

Z.B. das Gefangenenparadoxon oder auch das Bertrands Box Paradoxon sind Fragestellungen, die mathematisch seriös behandelt werden. --Geodel (Diskussion) 10:25, 6. Sep. 2015 (CEST)

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Bedingte Erwartungen sind mathematisch ebenfalls seriös. --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:17, 7. Sep. 2015 (CEST)

Exkurs / Zufallsvariablen mit unendlichem Erwartungswert

Viele Lehrbücher definieren zwar bedingte Erwartungswerte nur für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert, aber mit etwas Sorgfalt und Abstraktion klappt das auch noch, wenn der Erwartungswert $+\infty$ oder $-\infty$ ist. Ein Buch, in dem das gleich so eingeführt wird, ist z. B. Erhan Cinlar: „Probability und Stochastics“. Wenn ich richtig sehe, wäre dieser etwas allgemeinere Begriff für bedingte Erwartungswerte an einigen Stellen des Artikels nötig. Grüße -- HilberTraum (d, m) 18:23, 16. Aug. 2015 (CEST)

Nun, "Immer Tauschen bringt nichts" bedeutet doch mathematisch, dass $E(E(Y-X|X))=\sum _{n}E(Y-X|X=n)P(X=n)=E(Y-X)=EY-EX=0$ (wobei $X$ der Betrag im geöffneten und $Y$ der Betrag im verschlossenen Umschlag ist). Die Beziehung $E(E(A|B))=EA$ gilt aber nur, wenn $EA$ existiert. Wenn ich schreibe, man "darf" den bedingten Erwartngswert nicht berechnen, wenn der Erwartungswert unendlich ist, meine ich genaugeneommen, dass $E(E(A|B))=EA$ nicht mehr gilt (auch wenn sich die bedingte Erwartung irgendwie verallgemeinern lässt). --NeoUrfahraner (Diskussion) 21:16, 16. Aug. 2015 (CEST)

Und wie ist $E(E(Y-X|X))$ bei einer "Verteilung, bei der die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag (mit Ausnahme des kleinsten Geldbetrags $k$) immer genau 1/3 ist" (dein Vorschlag einer Verteilung am 13. Aug. 2015) ? --Rebiersch (Diskussion) 21:36, 16. Aug. 2015 (CEST)

Im Fall, dass der kleinste Betrag aufgedeckt wird, erhält man $E(Y-X|X=1)=1$ und $P(X=1)={\frac {1}{2}}$, also $E(Y-X|X=1)P(X=1)=1\cdot {\frac {1}{2}}$.

In den anderen Fällen $n=2^{k}$ mit $k\geq 1$ ist $E(Y-X|X=2^{k})={\frac {1}{2}}(2^{k}-2^{k-1})=2^{k-2}$ und $P(X=2^{k})={\frac {1}{2^{k+1}}}$, also $E(Y-X|X=2^{k})P(X=2^{k})={\frac {1}{8}}$.

Man summiert also unendlich oft ${\frac {1}{8}}$ auf, erhält also eine divergente Reihe.

--NeoUrfahraner (Diskussion) 21:58, 16. Aug. 2015 (CEST)

Sind wir beim gleichen Beispiel? Ich versuche mal es an den konkreten Zahlen nachzuvollziehen. Zunächst wie es sich aus Sicht von Herrn Lemke darstellt: Herr Schmidt wird im genannten Beispiel in 1/4 der Fälle 25 Euro vorfinden und bei der Strategie "ich tausche immer" gegen 50 Euro eintauschen. Andererseits wird er mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 50 Euro vorfinden und gegen lediglich 25 Euro eintauschen, wenn er bei der Strategie bleibt. Der Zusatzgewinn durch die vermeintlich sinnvolle Strategie immer zu tauschen wäre also: 1/4*25-1/4*25+1/8*50-1/8*50+1/16*100-1/16*100+1/32*200-1/32*200 ...= 0. Also ist auch der Erwartungswert vom Zusatzgewinn durch Tauschen null und die Welt in Ordnung.

Die Sichtweise und mögliche Rechnung von Herrn Schmidt mit bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Erwartung vom Zusatzgewinn durch Tauschen ergibt einen scheinbaren Widerspruch obwohl der Erwartungswert vom Zusatzgewinn nicht unendlich groß wird. Es werden 25, 50, 100, 200 ... 25 * $2^{k}$ aufgedeckt. Mit den dazugehörigen Währscheinlichkeiten ergibt sich die Folge: 25*1/4, 50*(1/4+1/8), 100*(1/8+1/16)... . Wenn 25 Euro gefunden werden, ist der Erwartungswert beim Tauschen 50 Euro. Der Zusatzgewinn durch das Tauschen also 25 Euro. Das macht einen Erwartungswert vom Zusatzgewinn von 25/4 Euro pro Spiel, wenn ich nur bei 25 Euro tausche und sonst nie. Nun werden aber in 3/8 der Fälle 50 Euro aufgedeckt und ausgehend von 50 Euro mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit von 1/3 gegen 100 Euro eingetauscht und mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit von 2/3 gegen 25. Der Erwartungswert vom Zusatzgewinn wäre also, wenn 50 Euro aufgedeckt wurden 50 Euro - (25 Euro *2/3 + 100 Euro * 1/3)= 0 Euro. Da auch für alle größeren Beträge durch das gleichbleibende 1/3 : 2/3-Verhältnis der Erwartungswert immer so groß ist wie der aufgedeckte Betrag, ergibt sich ein Erwartungswert für den Zusatzgewinn beim Tauschen gegenüber Nichttauschen von (1/4 * 25 + 3/8 * 0 + 3/16 * 0 + 3/32 * 0 ... + 0) Euro = 25/4 Euro pro Spiel. --Rebiersch (Diskussion) 00:57, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ja, ich habe zu schnell geantwortet; Deine Rechnung ist zahlenmäßig richtig. Anmerken möchte ich nur, dass 25/4 nicht der "Erwartungswert für den Zusatzgewinn" ist, sondern das ist, was man formal erhält, wenn man in die Formel für den Erwartungswert für den Zusatzgewinn einsetzt (ohne zu überprüfen, ob die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Formel erfüllt sind). --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:13, 17. Aug. 2015 (CEST)

@Rebiersch: Eine Argumentation mit der Rechnung 1/4*25-1/4*25+1/8*50-1/8*50+1/16*100-1/16*100+1/32*200-1/32*200 ...= 0 ist so erstmal unzulässig, weil hier eine divergente Reihe summiert wird. Solche Summen haben die Mathematiker über Jahrhunderte beschäftigt (siehe z. B. en:History of Grandi's series), aber man lässt sie am besten undefiniert, weil man sonst völlig Unsinniges „beweisen“ könnte.

Quetsch. Ausgerechnet die Reihe, bei der Summanden, die zusammen aufgeführt werden eine Briefumschlagkombination repräsentieren sei unzulässig? Man darf keine divergenten Reihen bilden? Gerade der Beleg, dass "immer tauschen" und "nie tauschen" gleichwertig sind, sei unsinnig? Für Nichtmathematiker sind das schwer verdauliche Aussagen. --Rebiersch (Diskussion) 16:34, 17. Aug. 2015 (CEST)

Wieso meinst Du, dass Du "immer tauschen" und "nie tauschen" wären gleichwertig belegt hättest? Nach obiger Rechnung hättest Du ja bei "immer tauschen" durchschnittlich 25/4 Euro pro Spiel mehr als bei "nie tauschen". --NeoUrfahraner (Diskussion) 19:16, 17. Aug. 2015 (CEST)

@Rebiersch: Du hast mit deinen formal richtigen Rechnungen ja selbst gesehen, dass man bei divergenten Reihen zu unterschiedlichen Summationsergebnissen (0 oder 25/4) kommt, je nachdem auf welche Weise man die Werte zusammenfasst. Das ist wie bei der „Rechnung“

0 = (1-1)+(1-1)+(1-1)+… = 1-1+1-1+1-1+… = 1+(-1+1)+(-1+1)+… = 1

-- HilberTraum (d, m) 20:40, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ja sicher sind die Ergebnisse anders. Es sind doch auch unterschiedliche Betrachtungen. @ NeoUrfahraner: Nein, es ist doch offensichtlich eine falsche Summenbildung und hat durchaus Ähnlichkeit mit dem Zwei-Jungen-Problem. (s.u.). Richtig wäre doch hier die Schlussfolgerung, wenn man immer bis zu einem festgelegten Betrag tauscht, so hat man einen Vorteil. Der Vorteil resultiert doch aus dem festgelegten Betrag. Genauer eigentlich aus der Annahme, dass man ab einem bestimmten Betrag nicht mehr tauscht. Tauscht man in jedem Fall, so geht der Vorteil verloren. --Rebiersch (Diskussion) 23:42, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ad falsche Summenbildung: In der Formel $E(E(A|B))=\sum _{n}E(A|B=B_{n})P(B=B_{n})$ gibt es keine "richtige" oder "falsche" Summenbildung. Wie HilberTraum angemerkt hat, geht es hier um das Problem divergenter Reihen, genauer um absolute Konvergenz.

Wenn $\sum _{n}|E(A|B=B_{n})P(B=B_{n})|$ (beachte die Betragsstriche) konvergiert, ist es völlig egal, in welcher Reihenfolge Du aufsummiert, Du erhältst immer das gleiche Ergebnis $E(E(A|B))=\sum _{n}E(A|B=B_{n})P(B=B_{n})=EA$.

Wenn hingegen $\sum _{n}|E(A|B=B_{n})P(B=B_{n})|$ divergiert, ist das Ergebnis der Summe abhängig von der Reihefolge der Summenbildung, $E(E(A|B))=\sum _{n}E(A|B=B_{n})P(B=B_{n})$ ist nicht eindeutig berechenbar und daher je nach Reihenfolge der Summenbildung gleich $EA$ oder auch nicht.

Die Bedingung "absolute Konvergenz" entspricht also im Wesentlichen der Bedingung "endlicher Erwartungswert".

Ad Zwei-Jungen-Problem: siehe unten.

Bzgl.der Schlussfolgerung, dass man einen Vorteil haben kann, wenn man immer bis zu einem festgelegten Betrag tauscht, sind wir uns einig. Das ist aber unabhängig von der Frage, ob der Erwartungswert endlich oder unendlich ist. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:05, 18. Aug. 2015 (CEST)

In der Schlussfolgerung scheinen wir uns somit einig zu sein. Falsche Summenbildung war unglücklich formuliert. Ich meine nicht, dass falsch gerechnet wurde. Es ist die ungeeignete Summenbildung um zu klären ob immer tauschen sinnvoll ist. Noch ein Versuch zur Klärung: Gegen die Bildung der Folge: (1/4 * 25) , (3/8 * 0) , (3/16 * 0) , (3/32 * 0) ... Spricht doch ersteinmal überhaupt nichts. (1/4 * 25) entspricht dann dem Erwartungswert vom Zusatzgewinn beim Tauschen, wenn 25 Euro aufgedeckt wurden, 3/8 * (25 Euro *2/3 + 100 Euro * 1/3) ist der Erwartungswert vom Zusatzgewinn beim Tauschen, wenn 50 Euro aufgedeckt wurden und so weiter. Da kein Glied dieser Folge negativ ist wäre eine Schlussfolgerung: Tauschen ist für keinen Betrag schlechter als Nichttauschen. Wenn ich anfange eine Reihe zu bilden 1/4 * 25 + 3/8 * 0 ... und nur die beiden ersten Glieder betrachte, so wäre die Schlussfolgerung: Wenn ich bei 25 und 50 Euro immer tausche und bei höheren Beträgen zunächst einmal nicht (und daher unberücksichtigt lasse), so ist die Summe positiv. Tauschen bis 50 Euro muss sich daher lohnen immer unter der Voraussetzung, dass ich bei höheren Beträgen nicht tausche. Wenn ich die Summenbildung fortsetzte komme ich zu dem Ergebnis, dass sich ein Tausch bis zu jedem ausgedachten Betrag in dieser Reihe lohnt (Aber nur wenn ich bei höheren Beträgen nicht tausche oder sie unberücksichtigt lasse). Ich komme aber nicht zu dem Ergebnis, dass es sich auch lohnt wenn ich unabhängig vom Betrag immer tausche. --Rebiersch (Diskussion) 08:27, 18. Aug. 2015 (CEST)

"Gegen die Bildung der Folge: (1/4 * 25) , (3/8 * 0) , (3/16 * 0) , (3/32 * 0) ... Spricht doch ersteinmal überhaupt nichts" Ja, ersteinmal. Bei geneauerem Hinsehen siehst Du aber, dass Du genauso anders aufteilen könntest (Z ist dabei der kleiner Betrag in den beiden Umschlägen, P(X=n, Z=n) die Wahrscheinlichkeit, dass der kleiner Betrag Z ist und X=n aufgedeckt wird etc. ).

$E(E(Y-X|X))=\sum _{n}E(Y-X|X=n,Z=n)P(X=n,Z=n)+\sum _{n}E(Y-X|X=n,Z=n/2)P(X=n,Z=n/2)$

$=\sum _{n}n\cdot P(X=n,Z=n)-\sum _{n}{\frac {n}{2}}P(X=n,Z=n/2)$

Auch gegen diese Rechnung spricht ersteinmal nichts, außer, dass dann beide Summen divergent und das Ergebnis unbestimmt ist. Das Ergebnis hängt also wesentlich davon ab, in welcher Reihenfolge man aufsummiert, und diese Reihenfolge ist letzlich willkürlich. --NeoUrfahraner (Diskussion) 09:15, 18. Aug. 2015 (CEST)

Bei der Folge (1/4 * 25) , (3/8 * 0) , (3/16 * 0) , (3/32 * 0) ... sehe ich weder eine Divergenz noch eine plausible Möglichkeit es anders aufzuteilen. --Rebiersch (Diskussion) 22:08, 18. Aug. 2015 (CEST)

Umformulierung bzgl. bedingte Erwartungswerte nur für Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert?

@NeoUrfahraner: Ich meinte oben gar nicht die Fragestellung, ob es sich lohnt, immer zu tauschen. Sondern nur die im Artikel angesprochene Frage, ob es Verteilungen gibt, bei denen es sich immer (bei jedem aufgedeckten Betrag) lohnt zu tauschen ($E(Y|X=n)>n$ für alle $n$). Dort heißt es „Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert.“ Wenn man bedingte Erwartungswerte nur für Zufallsvariable mit endlichem Erwartungswert (wie sie meist eingeführt werden) kennt, könnte man anzweifeln, ob die Argumentation davor überhaupt zulässig ist. -- HilberTraum (d, m) 09:48, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ich verstehe. Im diskreten Fall steht allerdings eh dort:

"dies ist genau dann der Fall, wenn $p_{n}>{\tfrac {p_{n/2}}{2}}$ gilt. Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen $n$ erfüllen, lassen sich konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert."

Das sollte man zur Klarheit durch "Verteilungen, die die Bedingung $p_{n}>{\tfrac {p_{n/2}}{2}}$ für alle möglichen $n$ erfüllen ..." ersetzen.

Im stetigen Fall steht tatsächlich

"Es existieren auch stetige Verteilungen, so dass $E(Y\mid X=x)>x$ für alle $x$ gilt."

Das könnte man ebenfalls durch "Es existieren auch stetige Verteilungen, so dass $f(x)>{\tfrac {1}{4}}f(x/2)$ für alle $x$ gilt." ersetzen. Durch diese Formulierungen vermeidet dann, soweit ich den Text überblicke, bedingte Erwartungswerte für Zufallsvariable mit unendlichem Erwartungswert. --NeoUrfahraner (Diskussion) 10:55, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ja, aber den Bedingungen $p_{n}>{\tfrac {p_{n/2}}{2}}$ und $f(x)>{\tfrac {1}{4}}f(x/2)$ sieht man ja nicht unbedingt einfach so an, dass sie „Tauschen lohnt sich“ bedeuten. Und hergeleitet werden sie ja mit Hilfe des bedingten Erwartungswerts. -- HilberTraum (d, m) 13:00, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ja, hergeleitet werden diese Bedingungen (unter der unausgesprochenen Annahme, dass der Erwartungswert existiert), um jene n bzw. x zu finden, für die sich ein Tausch lohnt. Wenn es im Test nicht klar werden sollte, dass diese Ungleichungen "Tauschen lohnt sich für dieses n bzw. x" bedeuten, dann kann man das im Text noch klarer herausstreichen. Diese Bedingungen für die Wahrscheinlichkeiten bzw. Dichte lassen sich jedenfalls unabhängig davon formulieren, ob der Erwartungswert existiert oder nicht. In weiterer Folge sollte es dann meines Erachtens ausreichend sein, zu sagen, dass "Tauschen lohnt sich (nach diesem Kriterium) für alle n bzw. x" auf einen "Widerspruch" (einen unendlichen Erwartungswert, wobei jetzt erst ausgesprochen wird, dass dieser Fall von Anfang an ausgeschlossen worden ist) führt, ohne auf die Frage einzugehen, ob in diesem (ausgeschlossenen) Fall die Herleitung mittels bedingtem Erwartungswert noch gültig wäre oder nicht. --NeoUrfahraner (Diskussion)

Vor allem sollte aber auch darauf hingewiesen werden, dass aus einer getroffenen Praemisse "der Tausch lohnt sich für jedes n" (im Sinne von jedes n isoliert betrachtet) nicht folgt, dass es sich für alle n (im Sinne alle zusammen, d.h. immer Tauschen) lohnt. Es könnte sonst leicht das Mißverständnis entstehen, dass schon die Prämisse "der Tausch lohnt sich für jedes n" unplausibel sein müsse. --Rebiersch (Diskussion) 20:46, 17. Aug. 2015 (CEST)

Ist das denn so? Jetzt mal ganz unmathematisch („gesunder Menschenverstand“) Wenn sich eine Strategie („Tausch“) in jeder einzelnen denkbaren Situation lohnt, wieso sollte es sich dann nicht lohnen, diese Strategie immer anzuwenden? Notfalls müsste/sollte man halt die mathematische Definition von „lohnen“ entsprechend anpassen. -- HilberTraum (d, m) 21:16, 17. Aug. 2015 (CEST)

Mal losgelöst vom Umtauschparadoxon und unmathematisch geantwortet. Ja, sicher ist das so. Wenn sich eine Strategie nur aufgrund einer Wahrscheinlichkeitsrechnung "immer" lohnt und gleichzeitig ein Totalverlust möglich ist, dann wird ein Totalverlust auf lange Sicht auch eintreten. Wenn man an der Börse immer alles setzt, dann wird man irgendwann einmal alles verlieren, auch wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Totalverlust klein ist. Selbst hier gilt es. Auch andersherum gilt: Wer von sinkenden Preisen für Computer ausgeht, kommt möglicherweise jeden Tag zum Ergebnis, dass man besser am nächsten Tag kauft und kauft daher nie. Oder bei medizinischen Maßnahmen: Wer tatsächlich immer jede Pille schluckt, weil rechnerisch die Lebenserwartung unter der Einnahme höher sei als ohne Medikament, wird wahrscheinlich an einer Nebenwirkung sterben und alles verlieren. Und in diesen Fällen wird üblicherweise lediglich mit der unbedingten Wahrscheinlichkeit gerechnet. Bei Rechnungen mit der bedingten Wahrscheinlichkeit wird es noch skurriler. Das Umschlagparadoxon hat aus meiner Sicht eine gewisse Ähnlichkeit mit: "Ein Sohn, der an einem Dienstag geboren wurde", da es hier auch um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht. Bei diesem Beispiel kann man statt "Dienstag" jeden anderen Tag der Woche einsetzen und erhält immer 13/27 als Ergebnis. Ein Ergebnis, das "immer" besser ist, als 1/3. ich glaube es reicht an Beispielen, sonst schreibe ich noch wie es kam, dass mein Navi auf das Umtauschparadoxon hereingefallen ist ,-) --Rebiersch (Diskussion) 23:21, 17. Aug. 2015 (CEST)

Zwei-Jungen-Problem

Das Zwei-Jungen-Problem ist nach meinem Verständnis leidiglich eine Variante des Bertrand-Paradoxon (Wahrscheinlichkeitstheorie). Es kommt darauf an, wie das dazugehörige Wahrscheinlichkeitsexperiment definiert ist bzw. was die Aussage "Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde." exakt bedeutet. Angenommen ein Mann hat zwei Söhne, Anton und Bernhard. Anton ist an einem Montag, Bernhard an einem Dienstag geboren. Wenn ich jetzt frage:

"Hast Du einen Sohn?" (Antwort: ja)

"Nenne den Namen eines Sohnes" (Antwort: "Anton").

"Ist Anton an einem Dienstag geboren?" (Antwort: "nein").

Bei dieser Fragestellung ist also die Frage "Ist mindestes eines davon ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde?" zu verneinen. Bei der von Dir vorgelegten Rechnung hingegen wird die Frage mit "ja" beantwortet, weil der andere Junge an einem Dienstag geboren wurde. Die unterschiedlichen Antworten kommen daher, weil die Frage und damit das Wahrscheinlichkeitsexperiment missverständlich definiert ist. Sprachlich geht es darum, ob "der an einem Dienstag geboren wurde" als restriktiver oder als explikativer Relativsatz zu verstehen ist. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:47, 18. Aug. 2015 (CEST)

Die Ausgangssituation war: "mindestens ein Sohn ist an einem Dienstag geboren" und nicht: "ein zufällig ausgewählter Sohn ist an einem Dienstag geboren". --Rebiersch (Diskussion) 13:08, 18. Aug. 2015 (CEST)

Ja, so ist es anscheinend gemeint. Je nachdem, welche dieser beiden Interpretation man wählt, kommt man aber zu einem anderen Ergebnis. Ich sehe das Zwei-Jungen-Problem daher primär als sprachliches Problem (was ist jetzt wirklich gemeint?) und nicht als mathematisches Problem. Die dazugehörige Mathematik bzw. bedingte Wahrscheinlichkeit ist nicht weiter überraschend, wenn die Ausgangssituation unmissverständlich beschrieben wird. --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:01, 18. Aug. 2015 (CEST)

Was bedeutet "so ist es anscheinend gemeint"? Genau so steht es im verlinkten Artikel. Wörtlich: Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde. In Deinem Beispiel war es halt Bernhard. --Rebiersch (Diskussion) 22:04, 18. Aug. 2015 (CEST)

"so ist es anscheinend gemeint" bedeutet, dass es (erst) *nach* der Rechnung klar ist. Die Rechnung setzt implizit voraus, dass derjenige, der den Satz "Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde" spricht, auch weiß, welches Geschlecht das andere Kind hat, an welchem Wochentag es geboren ist, und die Frage "Ist mindestens eins davon ein Junge, der an einem Mittwoch geboren wurde" beantworten kann. Ist in der oben angegebenen Familie von Anton und Bernhard der Satz "Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Mittwoch geboren wurde" richtig oder falsch? Betrachten wir eine anderen Mann mit dem Sohn Christian und noch einem zweiten Kind. Christian ist ebenfalls an einem Montag geboren; über das andere Kind wissen wir hingegen nichts. Welcher der Sätze "Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Montag geboren wurde", "Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde" und "Mindestens eins davon ist ein Junge, der an einem Mittwoch geboren wurde" ist in der Familie von Christian richtig bzw. falsch? --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:43, 19. Aug. 2015 (CEST)

Den erst Abschnitt verstehe ich nicht. Wenn ich morgen diesen Satz spreche und damit "alle Väter mit genau zwei Kindern, von denen mindestens ein Kind ein Junge ist, der an einem Dienstag geboren wurde" zur Demo auf dem Marktplatz aufrufe, so ist doch eindeutig beschrieben wer von mir eingeladen wurde. Viele kommen nicht, weil sie die Bedingung sicher nicht erfüllen. Einige kommen nicht weil sie den Wochentag ihre Kinder nicht kennen oder aus anderen Gründen. Eingeladen waren sie aber trotzdem. Die erste Frage im Text ist aus den Angaben nicht zu beantworten. Bei Christian irritiert lediglich die Zusatzangabe "ebenfalls an einem Montag". Wer wurde denn sonst noch an einem Montag geboren? --Rebiersch (Diskussion) 13:57, 19. Aug. 2015 (CEST)

Zur letzen Frage: Anton aus obigem Beispiel ist an einem Montag geboren.

Zur Demo: Wenn Du "alle Väter mit genau zwei Kindern, von denen mindestens ein Kind ein Junge ist" zur Demo II aufrufst und sagst, sie sollen die Geburtsurkunde des Sohnes mitbringen, dort die Geburtsurkunde des Sohnes anschaust und diejenigen, deren Sohn am Dienstag geboren ist, dalässt, diejenigen, deren Sohn an einem anderen Tag geboren ist, wieder wegschickst, so erfüllen alle verbleibenden Väter am Marktplatz ebenfalls die Bedingung "Mindestens eins der Kinder ist ein Junge, der an einem Dienstag geboren wurde.", bei Demo II ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Sohn auch ein Junge ist, eine andere als bei Demo I. --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:26, 19. Aug. 2015 (CEST)

Und wie soll man "die" Geburtsurkunde "des" Sohnes mitbringen, wenn man 2 Söhne hat? Wählt man sie zufällig aus (im Sinne von die Geburtsurkunde eines beliebigen Sohnes) oder darf man nicht kommen, weil 2 Söhne niemals genau eine Geburturkunde haben? Im ersten Fall wären wir bei "ein zufällig ausgewählter Sohn ist an einem Dienstag geboren" im zweiten Fall blieben nur Väter mit "genau einem Sohn, der zudem an einem Dienstag geboren ist". Diese Väter haben dann auch genau eine Tochter. Natürlich könnte man auch von der zweiten Gruppe der Väter mit genau einem Sohn behaupten, dass sie ebenfalls die Bedingung erfüllen mindestens einen Sohn zu haben. Es bleibt aber eine zuvor ausgewählte Subgruppe (Teilmenge) aller Väter mit mindestens einem Sohn. --Rebiersch (Diskussion) 23:12, 19. Aug. 2015 (CEST)

Je nachdem, welche der von Dir vorgeschlagenen Varianten von "der" Gebursurkunde man wählt, steht dann eben eine andere Subgruppe aller Väter mit mindestens einem Sohn am Marktplatz. Dabei wird aber in den unterschiedlichen Subgruppen der Anteil der Väter mit zwei Söhnen natürlich ebenfalls unterschiedlich sein. In der von Dir verlinkten Version des Zwei-Jungen-Problems ist aber bei der Aufgabenstellung nicht gesagt, welche Variante die "richtige" ist. Erst bei der Lösung wird klar, dass der Autor die von Dir vorgeschlagene Demo I meint. Damit sind wir eben beim Bertrand-Paradoxon (Wahrscheinlichkeitstheorie), das besagt, dass Wahrscheinlichkeiten nicht wohldefiniert sein müssen, wenn der zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum bzw. die Methode, die die Zufallsvariable von Interesse produziert, nicht eindeutig definiert ist. --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:43, 20. Aug. 2015 (CEST)

PS: Hab gerade entdeckt: Junge-oder-Mädchen-Problem. Wichtig ist in diesem Zusammenhang der Satz Gardner gab ursprünglich die Antworten 1/2 bzw. 1/3, musste aber später zugeben, dass die zweite Frage nicht eindeutig gestellt ist. Die Antwort kann auch 1/2 sein, abhängig davon, wie die Information über das Geschlecht eines der Kinder erhalten wurde. --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:59, 20. Aug. 2015 (CEST)

Ich kenne das Originalzitat von Gardner nicht. In dem Fall mag es stimmen. Bei einer entsprechenden Analogie: ich habe 2 Laplacemünzen geworden, von denen jetzt mindestens eine Wappen zeigt, wäre es genauso eindeutig wie beim Dienstag-Problem im verlinkten deutschen Artikel. Angeblich sei das Original-Zitat jedoch "I have two children, one of whom is a boy born on a Tuesday. What's the probability that my other child is a boy?". Sollte dies so stimmen, dann wäre deine Kritik lediglich für das Originalzitat berechtigt. Allerdings halte ich in diesem Fall nur 1 Schlussfolgerung für plausibel: wir wissen es nicht", weil wir die Umstände nicht kennen, wie es zu der Aussage gekommen ist, dass eines der Kinder ein am Dienstag geborener Junge sei. --Rebiersch (Diskussion) 17:44, 20. Aug. 2015 (CEST)

Deine Schlussfolgerung ist plausibel. Ich habe übrigens noch folgendes dazu entdeckt: en:Boy_or_Girl_paradox#Information_about_the_child "It is much more easy to imagine the following scenario. We know Mr. Smith has two children. We knock at his door and a boy comes and answers the door. We ask the boy on what day of the week he was born." --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:26, 21. Aug. 2015 (CEST)

Ja. Auch eine Parallele zum Umtauschparadoxon. Je nachdem welches Auswahlverfahren man vor Augen hat, ändert sich die Wahrscheinlichkeit Junge/Mädchen oder auch nicht. Zudem ist die unbedingte Wahrscheinlichkeit für Mädchen tatsächlich nicht 0,5 sondern etwas kleiner. So wie die bedingte Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag beim Umtauschparadoxon auch nicht immer mindestens 0,5 sein kann. Sie kann aber dicht an 0,5 liegen. Das ist ja auch alles im Artikel auch erklärt. Nicht ausreichend im Artikel erklärt ist, weshalb die Aussage "Wenn die Rechnung von Herrn Schmidt für jeden beliebigen Betrag das Ergebnis lieferte, dass sich Tauschen lohne, so bräuchte er den Umschlag gar nicht zu öffnen, sondern könnte gleich den anderen Umschlag nehmen." falsch ist. --Rebiersch (Diskussion) 10:30, 21. Aug. 2015 (CEST)

Unendlicher Erwartungswert / Teil 1

Verstehe ich richtig, dass Du Dich hier auf den Fall eines unedlichen Erwartungswertes beziehst? --NeoUrfahraner (Diskussion)

Ich versuche es ganz allgemein zu betrachten. Wenn es so wäre, dass sich Tauschen sicher lohnt, so könnte man tatsächlich gleich tauschen. Ich behaupte: Wenn es sich nur aufgrund des Erwartungswertes immer lohnt (Schmidts Rechnung), so muss man selbstverständlich erst den Umschlag öffnen. Einfach weil es kein sicherer Gewinn ist, sondern nur ein fiktiver Gewinn auf der Basis des geöffneten Betrages. --Rebiersch (Diskussion) 22:28, 21. Aug. 2015 (CEST)

Hast Du einen Vorschlag, wie man das im Artikel formulieren könnte? --NeoUrfahraner (Diskussion) 20:34, 22. Aug. 2015 (CEST)

Man könnte zum Beispiel feststellen, dass sich ein Tausch aufgrund des Erwartungswertes schon lohnt, wenn die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag immer größer als 1/3 ist. Wenn die Differenz von Erwartungswert abzüglich geöffneten Betrag immer mindestens 1 Euro ist, so lohnt es sich auf der Basis des Erwartungswertes zu Tauschen. Der göffnete Umschlag zeigt in diesem Fall einen Wert, der 1 Euro unter dem Erwartungswert des ungeöffnete Umschlag liegt. Wenn jemand zusichert, dass man sowohl beim Tausch von A nach B statistisch 1 Euro gewinnt, andererseits jedoch auch beim Tausch von B nach A, dann wäre es noch kein Grund eine der beiden Seiten zu bevorzugen.

Selbst wenn der bedingte Erwartungswert wie Schmidt ihn berechnet sowohl beim Tausch von B nach A 25% beträgt, andererseits auch beim Tausch von B nach A, so wäre dies immer noch kein Grund eine der beiden Seiten zu bevorzugen. --Rebiersch (Diskussion) 21:49, 23. Aug. 2015 (CEST)

In dem betreffenden Abschnitt geht es um die Erklärung, warum die Situation paradox ist, d.h. um die Erklärung, was ein echter Widerspruch wäre (der danach aufzulösen ist). An dieser Stelle passen so detaillierte Erklärungen nicht hin. Evtl. wäre es besser, die oben von Geodel vorgechlagene Formulierung von Nalebuff zu verwenden (bei der zwei Empfänger die Umschläge erhalten und der gegenseitige Tausch scheinbar für beide vorteilhaft wäre). Damit ließe sich evtl. einfacher erklären was widersprüchlich wäre. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:28, 24. Aug. 2015 (CEST)

Nicht im Abschnitt "Das Paradoxon" aber als Zusatz unter Denkfalle passt es doch sehr gut. Gekürzt und etwas umgestellt: Wenn der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags immer mindestens 1 Euro höher ist, als der Geldbetrag im geöffneten Umschlag, so lohnt es sich auf der Basis des Erwartungswertes das Tauschen. Der göffnete Umschlag zeigt in diesem Fall einen Wert, der 1 Euro unter dem Erwartungswert des ungeöffnete Umschlag liegt. Unter der Annahme, dass man sowohl beim Tausch von A nach B statistisch 1 Euro gewinnt, andererseits jedoch auch beim Tausch von B nach A, dann wäre es noch kein Grund eine der beiden Seiten zu bevorzugen. --Rebiersch (Diskussion) 13:46, 24. Aug. 2015 (CEST)

Im Abschnitt "Denkfalle" findet sich bereits der Satz: "Hingegen ist es durchaus möglich, dass der Erwartungswert vom ungeöffneten Umschlag ausgehend vom geöffneten Umschlag immer über dem tatsächlichen Wert des geöffneten Umschlags liegt". Meinst Du, dass das genauer erläutert gehört? --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:06, 24. Aug. 2015 (CEST)

Auf jeden Fall. Klar ist, dass Erwartungswert vom Gewinn gegen unendlich streben kann (!), wenn ich gedanklich unbegrenzt hohe Beträge zulasse. Das ist aber eigentlich nichts besonderes. Der geöffnete Umschlag enthält aber immer einen endlichen Betrag und der berechnete Erwartungswert vom ungeöffneten ist dann auch nur endlich. Wenn es aber ausgehend von 25 Euro sinnvoll ist zu tauschen, bei 50 Euro auch und zudem bei jedem möglich größeren Betrag, könnte jemand auf die Idee kommen, dass wir es hier mit einem tatsächlichen Widerspruch zu tun haben. --Rebiersch (Diskussion) 19:22, 24. Aug. 2015 (CEST)

Weiter unten (im Abschnitt "Diskrete Verteilungen") haben wir dazu den Satz: "Für so eine a-priori-Verteilung ist der gegebene Vorteil der Tauschentscheidung für jeden vorgefundenen Wert im geöffneten Umschlag zwar nicht intuitiv, aber nicht paradox." Reicht das, oder muss das dann genauer begründet werden (z.B. mit der Begründung, dass dabei divergente Reihen summiert werden?) --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:05, 25. Aug. 2015 (CEST)

Unendlicher Erwartungswert / Teil 2

(zurückgerückt wegen besserer Lesbarkeit) Nun, zum einen steht es weiter unten und nicht leicht auffindbar, zum anderen im Abschnitt "Diskrete Verteilungen". Ich hatte doch die Beispielformulierung gennannt, dass sich ein Tausch aufgrund des Erwartungswertes schon lohnt, wenn die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag immer größer als 1/3 ist. Wenn die Differenz von Erwartungswert abzüglich geöffneten Betrag immer mindestens 1 Euro ist, so lohnt es sich auf der Basis des Erwartungswertes das Tauschen. Konkretes und einfachstes Beispiel, das mir hierbei einfällt: kleinster Betrag 25 Euro (beim Tauschen also sicher 50 Euro). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden von Herrn Lemke so gewählt, dass der Erwartungswert genau 1 Euro über dem geöffneten Betrag liegt. Die Folge der Zusatzgewinne wäre (zur besseren Übersicht lasse ich "Euro" mal weg):

(25+25-25, 50+1-50, 100+1-100, 200+1-200,... 25*2 hoch (n-1)+1-25 * 2 hoch (n-1)

mit den dazugehörigen bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalte somit die Folge

p1(25+25-25), p2(50+1-50), p3(100+1-100), p4(200+1-200),... pn(25*2 hoch (n-1)+1-25 * 2 hoch (n-1))

oder auch

25p1, p2, p3, p4 ... pn.

Als Reihe aufsummiert zu:

S= (25*p1 + p2 + p3 + p4 ... + pn) Euro

Ich sehe auch hier keine divergente Reihe. --Rebiersch (Diskussion) 17:45, 25. Aug. 2015 (CEST)

Wenn Du die Summe anders aufteilst (Wie viel gewinnt man durchschnittlich, wenn man gewinnt; wie viel verliert man durchschnittlich, falls man verliert), so erhältst Du divergente Reihen (d.h. der Durchschnittsgewinn im Fall eines Gewinns ist unendlich, der Durchschnittsverlust im Fall eines Verlusts ist unendlich). --NeoUrfahraner (Diskussion) 18:08, 25. Aug. 2015 (CEST)

Du meinst bestimmt, wenn man die Folge anders aufteilt. Bei der Folge könnte man es so machen, habe ich aber nicht gemacht. Weshalb sollte ich auch? --Rebiersch (Diskussion) 01:01, 26. Aug. 2015 (CEST)

Ob Du persönlich anders aufteilst, ist nicht wichtig. Wichtig ist, dass jemand anderer anders aufteilen und zu einem anderen Ergebnis kommen könnte. --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:58, 26. Aug. 2015 (CEST)

Dein Argument verstehe ich nicht. Rein formal sind die deine beiden Aussagen natürlich richtig. Wer so rechnet sollte keine Rolle spielen. Aber ob überhaupt mit divergenten Reihen gerechnet wird, spielt eine große Rolle. In diesem Fall war ich es nun einmal, der überhaupt keine divergente Reihe gebildet hat. Die Argumentation war auch nicht, dass sich "unendlicher Gewinn" und "unendlicher Verlust" aufheben. Stört dich irgendetwas am vorläufigen Ergebnis: S= (25*p1 + p2 + p3 + p4 ... + pn) Euro oder befürchtest du lediglich, dass jemand eine unplausible Schlußfolgerung ziehen könnte. --Rebiersch (Diskussion) 11:45, 26. Aug. 2015 (CEST)

Die Frage war eigentlich, ob der Satz "Für so eine a-priori-Verteilung ist der gegebene Vorteil der Tauschentscheidung für jeden vorgefundenen Wert im geöffneten Umschlag zwar nicht intuitiv, aber nicht paradox." so wie er jetzt im Artikel steht, ausreichend ist, oder ob er weiter begründet werden muss. Damit ist die Frage, ob Dich irgendetwas am vorläufigen Ergebnis: S= (25*p1 + p2 + p3 + p4 ... + pn) Euro stört. --NeoUrfahraner (Diskussion) 12:54, 26. Aug. 2015 (CEST)

So wie er jetzt im Artikel steht, ist es nicht ausreichend. 2 Gründe hatte ich schon oben genannt. Ausführlicher formuliert: vor allem folgt er im Abschnitt diskrete Verteilungen auf die Aussage: Verteilungen, die diese Bedingung für alle möglichen n erfüllen, lassen sich konstruieren, besitzen dann aber keinen endlichen Erwartungswert. Das könnte mißverstanden werden. Unbeantwortet bleibt vor allem von welchen Erwartungswert die Rede ist. Vom Gesamtgewinn? Wenn Herr Schmidt auf jeden Fall den halben Betrag erhält, so ist dies kein Wunder. Alles andere wäre tatsälich widersprüchlich. Oder vom Zusatzgewinn? Wenn der Zusatzgewinn in einer konstanten Relation zum aufgedeckten Betrag steht, so verwundert dies auch nicht. Die Argumentation im Artikel verlangt geradezu nach der Betrachtung mindestens einer Verteilung, bei der sich Tauschen bei jedem Betrag lohnt, obwohl der Erwartungswert vom Zusatzgewinn endlich ist. Das vorläufige Ergebnis könnte noch ein wenig umgestellt und vielleicht in eine allgemeine Form gebracht werden. Ich sehe jedoch nichts was stört oder unplausibel sein sollte. Vor allem sehe ich keine unendlichen Beträge, keine unerlaubten Rechenoperationen oder eine divergente Reihe. --Rebiersch (Diskussion) 00:02, 27. Aug. 2015 (CEST)

Im betreffenden Abschnitt ist von der Verteilung von Z, als von der Verteilung des kleineren Betrags die Rede, somit ist auch der Erwartungswert von Z gemeint (das könnte man durchaus deutlicher herausstreichen). Der größere Betrag 2Z hat damit ebenfalls Erwartungswert unendlich, der Betrag X im geöffneten Umschlag hat Erwartungswert unendlich, der Betrag Y im geschlossenen Umschlag hat Erwartungswert unendlich. Egal, welche Tauschstrategie man anwendet, wenn man das Szenario unendlich oft wiederholt, gewinnt man im Durchschnitt unendlich viel. Der Erwartungswert des Zusatzgewinns bei irgendeiner Tauschstrategie (wie viel gewinnt man mehr, wenn man unendlich oft wiederholt und diese Tauschstrategie anwendet, verglichen damit, dass man nie tauscht) ist somit unendlich minus unendlich und mathematisch undefiniert. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:14, 27. Aug. 2015 (CEST)

Eins ist zumindest sicher: Unter der Tauschstrategie "ich tausche immer" ist der Zusatzgewinn 0 Euro und mathematisch sehr wohl definiert. Ich denke der Fehler in der Argumentationskette ist mehr als offensichtlich. --Rebiersch (Diskussion) 19:58, 27. Aug. 2015 (CEST)

Wo ist er denn? --NeoUrfahraner (Diskussion) 20:27, 27. Aug. 2015 (CEST)

Es ist eine Art Zirkel-Fehlschluss in der Form: Wenn ich f(n) unendlich groß werden lasse und g(n) auch unendlich groß werden lasse, so ist y=f(n)-g(n) = unendlich - unendlich und damit mathematisch undefiniert. (Tatsächlich kann y=f(n)-g(n) sehr wohl definiert sein) --Rebiersch (Diskussion) 23:43, 27. Aug. 2015 (CEST)

Zunächst/Teil 1: ich habe nicht geschrieben, dass der Zusatzgewinn (das wäre y(n)=f(n)-g(n) in Deinem Beispiel) undefiniert ist, sondern dass der Erwartungsgewinn des Zusatzgewinns (das wäre lim y(n), lim jeweils für n gegen unendlich) undefiniert ist.

Bleiben wir bei Deinem Beispiel: Wenn lim f(n) und lim g(n) existieren, dann gibt es schöne Rechenregeln, z.B.

$\lim \left(f(n)-g(n)\right)=\lim f(n)-\lim g(n)$

Es gilt dann auch, dass für z(n)=f(n)-g(n+1) der Grenzwert lim z(n) existiert und lim z(n)=lim y(n) ist, also

$\lim \left(f(n)-g(n)\right)=\lim \left(f(n)-g(n+1)\right)$.

Wenn f(n) und g(n) gegen unendlich gehen, gilt das nicht mehr. Es kann dann passieren, dass

$\lim \left(f(n)-g(n)\right)\neq \lim \left(f(n)-g(n+1)\right)$.

(Ein solches Beispiel wirst Du leicht finden können). Das Ergebnis ist also wesentlich von der "richtigen" Nummerierung abhängig. In unserem Beispiel des Umtauschparadoxon müsste man also zuerst klären, welche Nummerierung "richtig" ist (sofern es eine richtige gibt). --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:53, 28. Aug. 2015 (CEST)

Teil 2 / Zurück zum Umtauschparadoxon: Die Zufallsgröße G (Zugewinn wenn man immer tauscht) nimmt

den Wert G=z mit Wahrscheinlichkeit P(Z=z)/2

und den Wert G=-z mit Wahrscheinlichkeit P(Z=z)/2

an (Z ist wieder der kleinere Betrag in den Umschlägen). Der Erwartungswert von G existiert, wenn der Erwartungswert von Z existiert. Wenn der Erwartungswert von Z unendlich ist, existiert der Erwartungswert von G nicht. Man könnte natürlich argumentieren, dass er 0 ist, weil die z und -z gleich wahrscheinlich sind und man für gewisse Nummerierungen 0 als Ergebnis erhält. Wenn man anders nummeriert, kann man aber (im Fall EZ unendlich) zu einem anderen Ergebnis kommen. Verteilungen ohne Erwartungswert sind nichts Verbotenes, bekanntestes Beispiel ist die Cauchy-Verteilung.

Praktisch bedeutet das, dass das Gesetz der großen Zahlen nicht mehr gilt.

Wenn Du die Umtauschsituation n Mal nachspielst, den Gewinn jeweils mit G(1), G(2) etc. bezeichnest, und den durchschnittlichen Gewinn

$m_{G}(n)={\frac {G(1)+G(2)+\dots G(n)}{n}}$

ausrechnest, so wird im Fall, dass der Erwartungswert von Z endlich ist, $m_{G}(n)$ immer näher zu 0 gehen, d.h. der durchschnittliche Gewinn nähert sich dem Erwartungswert an.

Ist hingegen der Erwartungswert von Z unendlich, so wird $m_{G}(n)$ auch für große n immer wieder beliebig groß oder beliebig klein und konvergiert nicht gegen 0, d.h. der d.h. der durchschnittliche Gewinn kümmert sich sozusagen nicht um Deine Erwartungen. Das, was Du formal irgendwie als "Erwartungswert" ausrechnest (Deine Summe S oben), hat in der Praxis keine Bedeutung. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:21, 28. Aug. 2015 (CEST)

ad Teil 1) Nein, du hattest zwar geschrieben: Der Erwartungswert des Zusatzgewinns bei irgendeiner Tauschstrategie ... ist somit unendlich minus unendlich und mathematisch undefiniert. Und diese Aussage ist falsch. Dies festzuhalten halte ich für elementar wichtig. Mein Gegenbeispiel war, dass unter der Tauschstrategie "ich tausche immer" der Zusatzgewinn 0 Euro ist. Wenn der Zusatzgewinn 0 Euro ist, so ist auch der Erwartungswert vom Zusatzgewinn 0 Euro. Somit sind sowohl Zusatzgewinn als auch Erwartungswert vom Zusatzgewinn bei mindestens einer Tauschstrategie definiert und keinesfalls unendlich groß.

ad Teil 2) Meine Summe S stellt tatsächlich so etwas wie einen Erwartungswert dar. Ob es in der Praxis eine Bedeutung hat, lassen wir mal dahingestellt. Dass die Bedeutung in der Praxis gerade von dir angezweifelt wird, wundert mich aber schon. Schließlich ist so etwas wie der Erwartungswert vom Zusatzgewinn bei der Strategie "ich tausche bis zu einem festgelegten Betrag von 25 * 2 hoch (n-1) und nicht bei den höheren Beträgen". (Natürlich nur bei der zuvor bezeichneten Verteilung und nicht bei anderen wie bei deiner Betrachtung). Es ist jedoch keinesfalls der Erwartungswert vom Zusatzgewinn bei der Strategie "ich tausche immer". Dieser Erwartungswert vom Zusatzgewinn bleibt immer 0 Euro. --Rebiersch (Diskussion) 15:17, 28. Aug. 2015 (CEST)

Was verstehst Du unter Zu(satz)gewinn? Ich meine mit "Zusatzgewinn beim Tauschen" den Unterschied Y-X zwischen dem Betrag Y im noch geschlossenen und den Betrag X im bereits geöffneten Umschlag, wenn man die Umtauschsituation ein Mal spielt. Finde ich z.B. 100 Euro, so ist der Zusatzgewinn entweder 100 (wenn im anderen Umschlag 200 Euro sind) oder -50 (wenn im anderen Umschlag 50 Euro sind). Der Zusatzgewinn beim einmaligen Tauschen ist nie 0 (sofern man nicht 0 im geöffneten Umschlag findet). Wie bezeichnst Du den Unterschied zwischen den Beträgen in den Umschlägen, wenn man die Umtauschsituation ein Mal spielt? --NeoUrfahraner (Diskussion) 22:03, 28. Aug. 2015 (CEST)

Wenn Du nur einmal spielst, so sind nur 2 Beträge aus genau 1 Umschlagkombination möglich. Zum Beispiel 50 und 100 Euro. Man gewinnt also 50 Euro oder verliert 50 Euro. Der Zusatzgewinn ist somit O Euro. Das ist dann der Zusatzgewinn aus genau einer konkreten Umschlagkombination. Oder auch, wenn du es lieber verschwurbelt formuliert magst. "der unbedingte Erwartungswert vom Zusatzgewinn beim Tauschen gegenüber Nichttauschen aus einer Umtauschkombination". Wenn Du sagt, dass ausgehend von 100 Euro sowohl 50, als auch 200 Euro möglich seien, so spielst du das Ganze zumindest gedanklich 2 mal durch. Einmal mit der Umschlagkombination (50,100) und das andere Mal mit der Umschlagkombination (100,200). Zu Deiner konkreten Frage: Mein Vorschlag für eine Bezeichnung des Unterschieds zwischen den Beträgen in den Umschlägen , wenn man die Umtauschsituation ein Mal spielt wäre: Differenzbetrag. Wenn wir den kleineren Betrag (wie schon mehrfach vorgeschlagen) kB nennen und den größeren 2kB, so ist der Differenzbetrag kb. Wenn dir das Vorzeichen wichtig ist: entweder -kB oder +kb. Du kannst diesen Differenzbetrag auch gerne anders nennen. Wichtig bleibt, dass bei der aktuellen Schilderung des Umtauschparadoxons im Artikel die prognostische Einschätzung der Strategie "immer Tauschen" keinen Vorteil bringt gegenüber der prognostischen Einschätzung der Strategie "nie tauschen". Mit anderen Worten "nie Tauschen" ist genauso schlecht wie die Strategie "immer Tauschen". Deine Aussage "Der Erwartungswert des Zusatzgewinns bei irgendeiner Tauschstrategie (wie viel gewinnt man mehr, wenn man unendlich oft wiederholt und diese Tauschstrategie anwendet, verglichen damit, dass man nie tauscht) ist somit unendlich minus unendlich und mathematisch undefiniert." ist falsch. Wenn du einen undefinierter Term dabei herausbekommst, so liegt es nicht daran, dass der Erwartungswert des Zusatzgewinns bei der Strategie immer Tauschen nicht definiert ist, sondern an etwas anderem --Rebiersch (Diskussion) 00:27, 29. Aug. 2015 (CEST)

Mit "ein Mal spielen" meine ich den gesamten Durchgang vom Beginn des Füllens bis zur abgeschlossenen Tauschentscheidung:

1. Einen Umschlag mit dem Betrag Z (kB bei Dir) füllen. Die Wahrscheinlichkeiten P(kB=n) seien dabei vorgegeben.
2. Den doppelten Betrag 2Z (2kB) in den anderen Umschlag,
3. einen der beiden öffnen (beide gleichwahrscheinich), darin findet sich der Betrag X (im noch geschlossenen Umschlag der Betrag Y), und
4. dann entscheiden, ob man tauscht.

Damit sind bei einem Durchgang (je nach der gegebenen Verteilung) mehrere Kombinationen möglich (insbesondere kommen bei mehreren Durchgängen unterschiedliche Kombinationen). Den Betrag Y-X (also kB bzw. -kB) können wir gerne so wie von Dir vorgeschlagen "Differenzbetrag" nennen (und nicht mehr so wie von mir verwendet "Zusatzgewinn"). Nennen wir ihn kurz D. D ist eine Zufallsgröße, die

1. mit Wahrscheinlichkeit 1/2 P(kB=n) den Wert n annimmt, und
2. mit Wahrscheinlichkeit 1/2 P(kB=n) den Wert -n annimmt.

Zumindest wenn der Erwartungswert von kB existiert, existiert auch der Erwartungswert von D und ist Null. Das was Du "Zusatzgewinn" nennst, ist der Erwartungswert des Differenzbetrags D und ist, zumindest wenn der Erwartungswert von kB existiert, gleich 0. Sind wir uns so weit einig? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:38, 29. Aug. 2015 (CEST)

"Einmal komplett durchspielen" ist natürlich etwas anderes als "einmal spielen". Wenn man es komplett durchspielen kann, so erhält man den Zusatzgewinn (z.b. bei dem Vergleich der Strategien "ich tausche immer" gegenüber der Strategie "ich tausche nie"). Das Ergebnis ist bei kompletten Durchspielen immer 0 Euro. Wenn es keinen Höchstbetrag gibt, so wird es mit dem kompletten Durchspielen schwierig. Bei der Betrachtung 2kB versus kB ist ein komplettes Durchspielen aber nicht nötig. Da der Zusatzgewinn aus jeder denkbaren Umschlagkombination (kB;2kB) 0 Euro ist. Natürlich nur unter der Voraussetzung, dass größerer Betrag und kleinerer Betrag beim Durchspielen mit der gleichen Häufigkeit gewählt werden. Die Verteilung der Umschlagkombinationen und damit der Erwartungswert spielt keine Rolle. Das Ergebnis bleibt gleich: 0 Euro.

Wenn man andere Tauschstrategien vergleicht. Z.B. ich tausche bis 100 * 2 hoch n, kann es durchaus sein, dass der Erwartungswert für immer größere n undefiniert sein kann.

Richtig ist also die Aussage: "Der Erwartungswert des Zusatzgewinns bei irgendeiner Tauschstrategie (wie viel gewinnt man mehr, wenn man unendlich oft wiederholt und diese Tauschstrategie anwendet, verglichen damit, dass man nie tauscht) kann auch mal unendlich minus unendlich und somit mathematisch undefiniert sein.".

Wenn ich es richtig überblicke müssen mindestens 3 Bedingungen erfüllt sein, damit der Erwartungswert vom Zusatzgewinn bei einer Tauschstrategie undefiniert wird:

Bedingung 1: Die untersuchte Tauschstrategie muss anders lauten als "immer tauschen" oder "nie tauschen".

Bedingung 2: Diese anders lautende Tauschstrategie muss zudem mindestens 1 Variable enthalten. (Tausche bis 357 Euro, führt niemals zu einem unendlich großen Zusatzgewinn)

Bedingung 3: Der Erwartungswert des Gesamtwertes des Umschlages darf nicht endlich sein. Dies beinhaltet, dass weder kB noch Z endlich sein dürfen.

Ich weiß nicht wie Du es durchspielen willst. Einig sind uns auch nicht in allen Punkten. Der Differenzbetrag in einem Umschlag ist niemals null (stimmt). Das was ich "Zusatzgewinn" nenne, ist jedoch nicht der Erwartungswert des Differenzbetrags bei jeder Tauschstrategie. Der Zusatzgewinn und damit auch der Erwartungswert vom Zusatzgewinns hängt von der Tauschstrategie ab und ist nicht schon deshalb 0, weil ein Erwartungswert von kB existiert. --Rebiersch (Diskussion) 13:22, 29. Aug. 2015 (CEST)

Begriffsklärungen

Reden wir wirklich völlig aneinander vorbei? Mit "durchspielen" meine ich nicht, alle Möglichkeiten je genau ein Mal durchspielen, sondern den gesamten Durchgang vom Beginn des Füllens mit einem zufällig gewählten Betrag kb bis zur abgeschlossenen Tauschentscheidung durchspielen. Ausführlich ist z.B. folgendermaßen:

Zuerst lege ich mich auf irgendeine Verteilung fest. z.B. würfeln,

bei 1 ist kB=25

bei 2 ist kB=50

bei 3 ist kB=100,

bei 4 ist kB=200,

bei 5 ist kB=400,

bei 6 ist kB=800.

Nun würfle ich das erste Mal und erhalte z.B. 3. kB(1) ist dann 100 und kommt in den ersten Umschlag. In den zweiten Umschlag kommen 200. Nun lasse ich eine Person ziehen, die nicht gesehen hat, welcher Umschlag wie viel enthält. Sie findet z.B. 200. Nach dem Tausch hat sie 100. Ich notiere: X(1)=200, Y(1)=100; D(1)=Y(1)-X(1)=-100. Die Summe der Differenzen ist SD(1)=-100. Die durchschnittliche Differenz ist mD(1)=SD(1)/1=-100. Das war das erste Spiel.

Nun würfle ich das zweite Mal und erhalte z.B. 4. kB(2) ist dann 200 und kommt in den ersten Umschlag. In den zweiten Umschlag kommen 400. Nun lasse ich eine andere Person ziehen, die nicht gesehen hat, welcher Umschlag wie viel enthält. Sie findet z.B. 200. Nach dem Tausch hat sie 400. Ich notiere: X(2)=200, Y(2)=100; D(2)=Y(2)-X(2)=+200. Die Summe der Differenzen ist jetzt SD(2)=SD(1)+D(2)=-100+200=+100. Die durchschnittliche Differenz mD(2) ist SD(2)/2=+100/2=50. Das war das zweite Spiel.

Nun würfle ich das dritte Mal und erhalte z.B. 4. kB(3) ist dann 200 und kommt in den ersten Umschlag. In den zweiten Umschlag kommen 400. Nun lasse ich eine andere Person ziehen, die nicht gesehen hat, welcher Umschlag wie viel enthält. Sie findet z.B. 400. Nach dem Tausch hat sie 200. Ich notiere: X(3)=400, Y(3)=200; D(3)=Y(3)-X(3)=-200. Die Summe der Differenzen ist jetzt SD(3)=SD(2)+D(3)=100-200=-100. Die durchschnittliche Differenz mD(3) ist SD(3)/3=-100/3=-33,33. Das war das dritte Spiel.

Das kann ich beliebig oft wiederholen. Du kannst das ebenfalls beliebig oft wiederholen, kommst aber wahrscheinlich im Detail zu anderen Zahlen. --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:59, 29. Aug. 2015 (CEST)

Was soll da schon herauskommen? Da man bei einem Standardwürfel keine 7 würfeln kann und wenn du sowohl bei 25, 50, 100, 200, 400, 800 als auch 1600 Euro tauschst, werden sich auf lange Sicht Gewinne und Verluste ausgleichen und in diesem Fall die durchschnittliche Differenz gegen 0 Euro gehen. Vielleicht ist Deine untersuchte Strategie aber eine andere und Du tauschst über 800 Euro nicht mehr. (Das kann ich doch nicht wissen.) Dann strebt die gemessene duchschnittliche Differenz nicht gegen 0 Euro, sondern gegen 1600/12 Euro. Oder habe ich Dich schon wieder falsch verstanden? --Rebiersch (Diskussion) 16:11, 29. Aug. 2015 (CEST)

Nun, anscheinend haben wir so weit das gleiche Verständnis. Ob man jetzt 7 würfeln kann oder nicht ist nicht so wichtig. Hier in meinem Beispiel habe ich zwar bei 6 aufgehört; wenn Du willst kannst Du aber natürlich auch mehr Würfeln nehmen oder bei 6 weiterwürfeln oder irgenwie anders den Betrag kB festlegen.

Interessanter ist die Aussage, dass auf lange Sicht "die durchschnittliche Differenz gegen 0 Euro" geht. Woher willst Du das wissen? Du brauchst dazu ein Gesetz der großen Zahlen. Dieses setzt aber voraus, dass der Erwartungswert von kB endlich ist. Umgekehrt gesagt, wenn wir eine andere Verteilung von kB wählen, und bei dieser anderen Verteilung bei der der Erwartungswert von kB unendlich ist, kann es sein, dass die durchschnittliche Differenz nicht gegen 0 geht, sondern beliebig weit herumschwankt, auch wenn man das Spiel noch so oft wiederholt. --NeoUrfahraner (Diskussion) 23:28, 29. Aug. 2015 (CEST)

PS: Ich habe die nächsten drei Wochen nur eingeschränkten Internetzugang; es kann sein, dass ich nicht oder nur sehr verzögert antworte. --NeoUrfahraner (Diskussion) 23:30, 29. Aug. 2015 (CEST)

Einige Anmerkungen:

In deinem Beispiel ist der Erwartungswert von kB aber endlich.

Ich habe deine Formulierung "durchschnittliche Differenz zwar übernommen" Meine ursprüngliche Bezeichung Differenzbetrag bezog sich aber auf die Frage nach der Bezeichnung des Unterschieds zwischen den Beträgen in den Umschlägen, wenn man die Umtauschsituation ein Mal spielt. Der Differenzbetrag in den Umschlägen bleibt immer der gleiche.

Sicher kann es sein, dass der Zusatzgewinn beliebig weit schwankt. Zum Beispiel wenn die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag immer deutlich größer ist, als 1/3. Ein Beispiel hierfür hatte ich ja selbst genannt: (https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Umtauschparadoxon&oldid=50677590#neues_Beispiel_f.C3.BCr_eine_Verteilung_ohne_Maximalbetrag_und_ohne_Gleichverteilung_der_Einzelbetr.C3.A4ge) Nicht aber, wenn die Differenz von Erwartungswert abzüglich geöffneten Betrag ein konstaner Betrag ist. Noch einmal mein Beispiel: kleinster Betrag 25 Euro (beim Tauschen also sicher 50 Euro). Die bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden von Herrn Lemke so gewählt, dass der Erwartungswert genau 1 Euro über dem geöffneten Betrag liegt. Wenn sich aber Herr Schmidt aufgrund des Erwartungswertes tauscht, so wird er es auch machen, wenn der Erwartungswert nur 1 Euro höher ist. --Rebiersch (Diskussion) 02:31, 30. Aug. 2015 (CEST)

Ja, in meinem Beispiel ist der Erwartungswert von kB endlich. Beim Beispiel geht es ja nur darum, zu erklären, was unter "ein Spiel" (gesamten Durchgang vom Beginn des Füllens mit einem zufällig gewählten Betrag kb bis zur abgeschlossenen Tauschentscheidung) zu verstehen ist. Wie ich geschrieben habe, kannst Du auch ein anderes Verfahren zur Festlegung von kB wählen. Bei manchen Verfahren wird der Erwartungswert von kB endlich, bei anderen unendlich sein. Es sollte nur klar werden, was "ein Spiel" dann bedeutet, nämlich weiterhin den gesamten Durchgang vom Beginn des Füllens mit einem zufällig gewählten Betrag kb bis zur abgeschlossenen Tauschentscheidung, wobei sich dann leidglich die Regeln zum Bestimmen des kleineren Betrags geändert haben, alles andere aber gleich bleibt.

Ob Du das, was ich als "durchschnittliche Differenz" bezeichnet habe, irgendwie anderes nennen willst, ist mir egal. Wir müssen uns aber darauf einigen, worum es sich bei dem Ding handelt, bei dem die Frage ist, ob sich "auf lange Sicht Gewinne und Verluste ausgleichen und gegen 0 Euro gehen", und welchen Namen wir diesem Ding geben wollen. Es geht jedenfalls um das, was "auf lange Sicht" passiert, wenn das Spiel oft wiederholt wird, und nicht darum, was passiert, wenn man nur ein einziges Mal spielt und dann aufhört.

ZUm letzten Punkt: Was meinst Du mit "dass der Zusatzgewinn beliebig weit schwankt"?. Ich habe jedenfalls davon gesprochen, dass die "durchschnittliche Differenz" (wenn wir uns vorläufig auf diesen Namen einigen können) beliebig weit schwanken kann. Diese kann jedenfalls auch dann beliebig weit schwanken, wenn "der Erwartungswert genau 1 Euro über dem geöffneten Betrag liegt". Wenn ich z.B. 100 EUR im Umschlag finde, ist der Differenzbetrag weiterhin entweder +100 und -50, je nachdem ob kB 50 oder 100 ist, ganz egal, ob die bedingte Erwartung +1 oder -1 oder sonst irgendein Betrag ist. --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:27, 30. Aug. 2015 (CEST)

Genau das ist doch der Punkt. Wenn man ein Spiel gedanklich durchgeht oder tatsächlich nachspielt, wird man feststellen, dass der Differenzbetrag zwischen den den Beträgen bei einer konkreten Umschlagkombination immer gleich bleibt. (Falls ein Notar es beobachtet und sie am Ende nicht gleichgeblieben ist, so wurde betrogen). Die berechnete Differenz wechselt lediglich das Vorzeichen. Du hast aber die Differenz zwischen dem geöffneten Betrag und den aus Sicht von Herrn Schmidt möglichen Beträgen berechnet. Das ist ja auch völlig in Ordnung. Das ist aber eine andere Differenz und sollte daher auch konkreter bezeichnet werden. Es ja leider so, dass Herr Schmidt bei der Teilnahme auf jeden Fall gewinnt. Das ist nach meiner Bezeichung der sichere Gewinn. Wenn er 100 Euro öffnet, so ist der sichere Gewinn vor der Tauschentscheidung zunächst 50 Euro. Wenn er nicht tauscht, ist der Zusatzgewinn durch dieses Nichttauschen weitere 50 Euro. Er nimmt also 100 Euro mit nach Hause. Er könnte durch Tauschen aber auch 50 Euro verlieren (Zusatzgewinn= - 50 Euro) oder 100 Euro gewinnen (Zusatzgewinn= 100 Euro). Bei einer Verdoppelung der Beträge in den Umschlägen verdoppelt sich auch der Differenzbetrag. Ich möchte daher gern bei der Bezeichnung Zusatzgewinn bleiben (Extragewinn oder Gewinn vom Typ B wäre auch möglich, Differenzbetrag macht es aber unklarer).

Ich finde man sollte ohnehin fordern, dass am Ende beide Umschläge geöffnet werden und Herr Schmidt als Ausgleich einen Betrag an eine gemeinnützige Organisation spenden muss. Ich schlage das arithmetische Mittel aus den tatsächlichen Werten in beiden Umschlägen vor. --Rebiersch (Diskussion) 11:20, 30. Aug. 2015 (CEST)

Wir reden anscheinend immer noch aneinander vorbei. Daher nochmals zurück an den Anfang. Bei meinem "ersten Spiel" oben war kB 100, im zuerst geöffneten Umschlag war 200, der Differenzbetrag ist -100.

Zitat: "dass der Differenzbetrag zwischen den den Beträgen bei einer konkreten Umschlagkombination immer gleich bleibt."

Stimmt. Der Differenzbetrag beim ersten Spiel ist und bleibt -100.

Zitat: "Die berechnete Differenz wechselt lediglich das Vorzeichen."

Stimmt nicht. Der Differenzbetrag beim ersten Spiel ist und bleibt -100, er wechselt nicht das Vorzeichen. Beim nächsten Spiel kommen neue Beträge in die Umschläge, es kann sein, dass wieder 100 und 200 hineinkommen, es können aber auch ganz andere Beträge hineinkommen. Der Differenzbetrag beim nächsten Spiel kann 100, -100 oder ganz ein anderer Betrag sein. In meinem Beispiel oben war der Differenzbetrag beim zweiten Spiel +200.

Zitat: "Du hast aber die Differenz zwischen dem geöffneten Betrag und den aus Sicht von Herrn Schmidt möglichen Beträgen berechnet."

Stimmt nicht. Ich berechne immer die Differenz zwischen dem Betrag im vorerst noch verschlossenen Umschlag und den Betrag im bereits geöffneten Umschlag. Beim ersten Spiel wurde 200 gefunden; ich berechne nur die Differenz beim Wechsel zum anderen Umschlag, in dem sich 100 befinden. Dass "aus Sicht von Herrn Schmidt" auch 400 möglich gewesen wäre, ist für meine Berechnung der Differenz unwichtig.

So weit einverstanden? --~~

Möglicherweise habe ich dein Beispiel nicht richtig verstanden. Was passiert, wenn beim Würfeln gleich mehrfach hintereinander eine 3 kommt? --Rebiersch (Diskussion) 20:25, 1. Sep. 2015 (CEST)

Wenn mehrfach hintereinander eine 3 kommt, so kommt nach jedem Wurf 100 in einen, 200 in einen anderen Umschlag. Je nachdem, welcher Umschlag zuerst geöffnet wird, ist die Differenz entweder +100 oder -100. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:35, 2. Sep. 2015 (CEST)

Beispiel:

3 kommt bei Spiel/Wurf 4: Angenommen, Umschlag mit 100 wird zuerst aufgemacht. D(4) = +100.

3 kommt bei Spiel/Wurf 5: Angenommen, Umschlag mit 100 wird zuerst aufgemacht. D(5) = +100.

3 kommt bei Spiel/Wurf 6: Angenommen, Umschlag mit 200 wird zuerst aufgemacht. D(6) = -100. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:42, 2. Sep. 2015 (CEST)

Wenn man nur diese 3 Spiele betrachtet, hätte ich formuliert: Vor dem Tauschen war die Summe der Gewinne 400 Euro, nach dem Tauschen 500 Euro. Der Zusatzgewinn unter der Strategie "ich tausche immer" war 100 Euro. Der durchschnittliche Zusatzgewinn unter der Strategie ("ich tausche immer") war 33,3 Euro. Die Frage "Wie groß waren die Differenzbeträge in den Umschlägen?" hätte ich hingegen beantwortet mit jedesmal 100 Euro. --Rebiersch (Diskussion) 14:40, 2. Sep. 2015 (CEST)

Oben hast Du geschrieben "Wenn Du nur einmal spielst, so sind nur 2 Beträge aus genau 1 Umschlagkombination möglich. Zum Beispiel 50 und 100 Euro. Man gewinnt also 50 Euro oder verliert 50 Euro. Der Zusatzgewinn ist somit O Euro." Jetzt ist für Dich der Zusatzgewinn doch wieder von Null verschieden. "Differenz" willst Du auch nicht, weil für Dich die Differenz kein Vorzeichen hat. Mir ist es an sich völlig egal, wie wir den "Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" nennen, aber auf irgendetwas müssen wir uns einigen. Schlag bitte ein neues Wort vor (weder "Zusatzgewinn" noch "Dfferenz"), das wir zur Bezeichnung für "Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" verwenden können, sonst kommen wir nicht weiter. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:09, 4. Sep. 2015 (CEST)

Als neues Wort für Gewinn schlage ich den Begriff Erlös vor (Profit oder Ertrag wären auch geeignet). Da man bei ausländischen Aktiengeschäften auch zwischen Gewinnen aus Kursschwankungen und Gewinnen aus Wertsteigerungen der Aktie unterscheidet, schlage ich es hier in Analogie auch vor. (Ob es wichtig weiss ich nicht. Es schadet aber nicht.) Wenn Herr Schmidt 100 Euro mitnimmt, so schlage ich vor diese 100 Euro Gesamterlös zu nennen. Die Höhe des Erlöses wird duch 2 Faktoren bestimmt. Dem Wert der halben Umschlagkombination (A) und die Änderung beim Tauschen (B). Wenn jemand in Deinem Beispiel statt einer 2 eine 3 würfelt so nennen wir es Zusatzerlös(A), die Änderung durch das Tauschen Zusatzerlös(B). Der Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" wäre nach dieser Terminologie: Zusatzerlös(A). Einverstanden? --Rebiersch (Diskussion) 23:34, 4. Sep. 2015 (CEST)

Du hast jetzt "Zusatzerlös(A)" einerseits als

Wenn jemand in Deinem Beispiel statt einer 2 eine 3 würfelt so nennen wir es Zusatzerlös(A),

andererseits als

Der Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" wäre nach dieser Terminologie: Zusatzerlös(A).

definiert. Was gilt jetzt? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:15, 5. Sep. 2015 (CEST)

Sorry, das war von mir falsch formuliert. Der Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" fällt lediglich in die Kategorie Zusatzerlös(A). Vom Zahlenwert her ist der genannte Betrag gleich mit dem Zahlenwert des kleineren Betrages in der Umtauschkombination. Es ist somit lediglich der schon jetzt sichere Anteil am Zusatzerlös (A). --Rebiersch (Diskussion) 22:38, 5. Sep. 2015 (CEST)

Jetzt sind wir immer noch keinen Schritt weiter. Wie willst Du denn jetzt den "Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" bezeichnen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:54, 6. Sep. 2015 (CEST)

Wir nähern uns langsam.

Sichtweise 1: Da in der konkreten Situation beide Beträge aus einer Umschlagkombination (kB, 2kB) stammen wäre die Differenz entweder kB oder -kB. Mein Namensvorschlag wäre in diesem Fall um es in der Diskussion auseinanderzuhalten: berechneter oder ermittelter Zusatzerlös(A) bei dem Boden einer unbedingten Wahrscheinlichkeitsrechnung > kurz: unbedingter Zusatzerlös(A).

Sichtweise 2: Bei bedingter Wahrscheinlichkeitsrechnung: bedingter Zusatzerlös(A). --Rebiersch (Diskussion) 10:42, 6. Sep. 2015 (CEST)

Begriffsklärungen / Teil 2

Gut, dann bezeichnen wir ab sofort den "Betrag im noch verschlossenen Umschlag" minus "Betrag im bereits geöffneten Umschlag" kurz und prägnant als "berechneter oder ermittelter Zusatzerlös(A) bei dem Boden einer unbedingten Wahrscheinlichkeitsrechnung > kurz: unbedingter Zusatzerlös(A)." Du erlaubst, dass ich das mit U abkürze und mit U(s) den betreffenden Wert bei Spiel/Wurf s, mit SU(s) die Summe der U über alle Spiele von 1 bis s und mit mU(s) den Durchschnittswert (arithmetisches Mittel) der U über die Spiele von 1 bis s bezeichne. Für die 6 Spiele/Würfe oben haben wir dann:

• kB(1)=100, X(1)=200, U(1)=-100, SU(1)=-100, mU(1)=-100
• kB(2)=200, X(2)=200, U(2)=200, SU(2)=100, mU(2)=50
• kB(3)=200, X(3)=400, U(3)=-200, SU(3)=-100, mU(3)=-33,33...
• kB(4)=100, X(4)=100, U(4)=100, SU(4)=0, mU(4)=0
• kB(5)=100, X(5)=100, U(5)=100, SU(5)=100, mU(5)=20
• kB(6)=100, X(6)=200, U(6)=-100, SU(6)=0, mU(6)=0.

Einverstanden? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:35, 7. Sep. 2015 (CEST)

Ja. --Rebiersch (Diskussion) 23:14, 7. Sep. 2015 (CEST)

Gut. Wir können nun die Spielregeln ein wenig variieren, indem wir das Verfahren ändern, mit dem kB bestimmt wird. Nennen wir das Verfahren oben das "Würfelverfahren".

Ein anderes Verfahren (vgl. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Umtauschparadoxon&diff=144995596&oldid=144995329 ) wäre, von 25 EUR auszugehen und eine Münze zu werfen. Kommt Adler, nimmt man den Betrag; kommt Kopf, verdoppelt man den Betrag. Den Münzwurf und die Verdoppelung wiederholt man so lange, bis erstmals Adler kommt. Die Wahrscheinlichkeit $P(kB=25\cdot 2^{n})$ ist dann $1/2^{n+1}$. Nennen wir es St. Petersburg-Verfahren (nach dem Sankt-Petersburg-Paradoxon).

Ein drittes Verfahren könnte sein, kB so zu wählen, dass wie von Dir vorgeschlagen, der formale berechnete bedingte Erwartungswert des Betrags im noch verschlossenen Umschlag immer genau 1 EUR über dem Betrag im bereits geöffneten Umschlag liegt. Nennen wir es das "Rebiersch-Verfahren".

So weit einverstanden? --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:00, 8. Sep. 2015 (CEST)

Ja. Ich bin gespannt, ob sich unsere Ergebnisse unterscheiden. (In den nächsten 2 Wochen bin ich aber viel unterwegs - Antworten können also dauern). --Rebiersch (Diskussion) 22:12, 8. Sep. 2015 (CEST)

Wenn Du mit "unsere Ergbnisse" die mU(s) bei den verschiedenen Verfahren meinst, so sind sie ja zufällig und daher höchstwahrscheinlich unterschiedlich. Interessant ist aber die Frage, was "auf lange Sicht" (für große s) mit mU(s) passiert.

1. Beim obigen "Würfelverfahren" sind die Voraussetzungen für das Gesetz der großen Zahlen erfüllt, insbesondere hat mU den Erwartungswert 0. mU(s) geht daher für große s fast sicher gegen den Erwartungswert, also gegen 0.
2. Beim St. Petersburg-Verfahren sind die Voraussetzungen für das Gesetz der großen Zahlen nicht erfüllt. Wir können daher nicht sagen, was mit mU passiert; insbesondere können wir nicht sagen, ob mU in der Nähe von 0 bleibt oder sehr viel größer oder sehr viel kleiner als 0 wird. --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:51, 9. Sep. 2015 (CEST)

Mit "Ergebnisse" meinte ich genau das, was du als "was auf lange Sicht (für große s) mit mU(s) passiert" beschreibst, aber auch die Quintessenz. Beim "Würfelverfahren" und beim "St. Petersburg-Verfahren" sind wir uns einig. --Rebiersch (Diskussion) 00:17, 10. Sep. 2015 (CEST)

Gut. Was passiert Deiner Meinung nach auf lange Sicht/für große s mit mU(s), wenn man kB nach dem Rebiersch-Verfahren auswählt? Das gleiche wie beim Würfelverfahren (Gesetz der großen Zahlen gilt), das gleiche wie beim St. Petersburg-Verfahren (Gesetz der großen Zahlen gilt nicht) oder irgend etwas ganz anderes? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:09, 10. Sep. 2015 (CEST)

mU(s) wird auch undulieren, lediglich weniger stark als beim St. Petersburg-Verfahren. --Rebiersch (Diskussion) 01:46, 11. Sep. 2015 (CEST)

Gut. Lassen wir vorerst die Frage zur Seite, was "undulieren" und mehr oder weniger "stark undulieren" bedeuten soll. Wenden wir uns wieder dem Erwartungswert zu. Im Fall des "Würfelverfahrens" sieht man die (oder besser eine) Bedeutung des Erwartungswertes. Der Erwartungswert ist nicht bloß eine Formel, die man einfach so ausrechnet. Wenn das Gesetz der großen Zahlen gilt, gibt der Erwartungswert einer Zufallsgröße den Wert an, dem sich der Durchschnittswert dieser Zufallsgröße auf lange Sicht annähert, wenn das Spiel/Zufallsexperiment oft wiederholt wird. Einverstanden? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:37, 12. Sep. 2015 (CEST)

Ja. (Sprachen wir aber nicht gerade über mU(s)? mU(s) kann bei deinem "St. Petersburg-Verfahren" und keinen Erwartungswert darstellen. mU(s) konvergiert nicht und geht für große s weder gegen $-\infty$ noch gegen $+\infty$).--Rebiersch (Diskussion) 00:56, 13. Sep. 2015 (CEST)

Was bedeutet S?

Dein Einwand bzgl. St. Petersburg-Verfahren ist berichtigt; ich habe mich oben tatsächlich nur auf das "Würfelverfahren" beschränkt. Die nächste Frage geht aber in die entsprechende Richtung: Was bedeutet die von Dir vorgeschlagene Reihe S= (25*p1 + p2 + p3 + p4 ... + pn) Euro ? Worauf muss man beim Ergebnis (Summe) achten und welche Schlüsse kann man aus dem Ergebnis (Summe) ziehen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 05:58, 13. Sep. 2015 (CEST)

Meine Summe S ist so etwas wie der Erwartungswert vom bedingten Zusatzerlös bei der Strategie "ich tausche bis zu einem festgelegten Betrag von 25 * 2 hoch (n-1) und nicht bei den höheren Beträgen". (Natürlich nur bei der zuvor bezeichneten Verteilung und nicht bei anderen wie bei deiner Betrachtung). Es ist nicht der Erwartungswert bei der Strategie "immer tauschen". --Rebiersch (Diskussion) 23:46, 14. Sep. 2015 (CEST)

Was bedeutet "bedingter Zusatzerlös bei der Strategie xxx"?

Was bedeutet "bedingter Zusatzerlös bei der Strategie xxx"? (jetzt ohne "Erwartungswert")? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:04, 15. Sep. 2015 (CEST)

Es entspricht der Sicht von Herrn Schmidt oder einem Beobachter, der die Verteilung der Umschläge von Herrn Lemke kennt. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten wurden von Herrn Lemke so gewählt, dass der Erwartungswert genau 1 Euro über dem geöffneten Betrag liegt. Die Folge der Zusatzerlöse wäre (zur besseren Übersicht lasse ich "Euro" mal weg) unter Annahme, dass Herr Schmidt bei jedem Betrag tauscht:

(25+25-25, 50+1-50, 100+1-100, 200+1-200,... 25*2 hoch (n-1)+1-25 * 2 hoch (n-1)

mit den dazugehörigen bedingten Wahrscheinlichkeiten erhalte somit die Folge

p1(25+25-25), p2(50+1-50), p3(100+1-100), p4(200+1-200),... pn(25*2 hoch (n-1)+1-25 * 2 hoch (n-1))

oder auch

(bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös, wenn 25 Euro aufgedeckt wurden), (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 50 Euro aufgedeckt wurden, (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 100 Euro aufgedeckt wurden), (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 200 Euro aufgedeckt wurden)...

Als Reihe aufsummiert zu:

S=(bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös, wenn 25 Euro aufgedeckt wurden) + (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 50 Euro aufgedeckt wurden) + (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 100 Euro aufgedeckt wurden) + (bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös wenn 200 Euro aufgedeckt wurden)...

S= (25*p1 + p2 + p3 + p4 ... + pn) Euro

Hingegen ist der unbedingte Erwartungswert vom Zusatzgewinn aus jeder Umschlagkombination 0 Euro. Herr Schmidt gewinnt kB oder verliert kB mit gleicher Wahrscheinlichkeit. --Rebiersch (Diskussion) 01:18, 17. Sep. 2015 (CEST)

Meine Frage war nicht, was "bedingter Erwartungswert vom Zusatzerlös" bzw. "der unbedingte Erwartungswert vom Zusatzgewinn" sein soll, sondern was "bedingter Zusatzerlös bei der Strategie xxx"? (jetzt ohne "Erwartungswert") ist. Oder anders gefragt: Was ist der Unterschied zwischen dem "bedingten Zusatzerlös bei der Strategie xxx" und dem "Erwartungswert vom bedingten Zusatzerlös bei der Strategie xxx"? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:57, 17. Sep. 2015 (CEST)

Siehe Erwartungswert. In diesem Fall: Der Erwartungswert vom bedingten Zusatzerlös bei der Strategie (ich tausche bis zu einem festgelegten Betrag von 25 * 2 hoch (n-1) und nicht bei den höheren Beträgen) beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, das heißt wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.--Rebiersch (Diskussion) 00:28, 18. Sep. 2015 (CEST)

Was ist konkret das zugrunde liegende Experiment, das wiederholt wird?

Ja. Meine Frage ist nun: was ist konkret das zugrunde liegende Experiment, das wiederholt wird, und welches Ergebnis wird dabei gemessen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:48, 18. Sep. 2015 (CEST)

1. Schritt: Man denkt sich eine beliebige natürliche Zahl n aus und überprüft durch Wiederholung, ob der bedingte Zusatzerlös für die Strategie ich tausche bis 25 * 2 hoch (n-1) Euro tatsächlich bei mindestens 1 Euro pro Spiel liegt. --Rebiersch (Diskussion) 00:37, 21. Sep. 2015 (CEST)

Ich denke mir z.B. 7 aus. Was muss ich jetzt wiederholen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:53, 21. Sep. 2015 (CEST)

Gut, n=7 bedeutet, dass man bei 25, 50, 100, 200, 400, 800 und 1600 Euro tauschen wird. Gedanklich oder mit (Computer)-Simulation muss jetzt nur noch Herr Lemke beliebig häufig Doppelumschläge nach einer Verteilung erzeugen, bei der der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags mindestens 1 Euro über dem Wert des geöffneten Umschlag liegt. --Rebiersch (Diskussion) 00:45, 23. Sep. 2015 (CEST)

Was macht Hr. Lemke mit den erzeugten Doppelumschlägen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:01, 23. Sep. 2015 (CEST)

Wie im Artikel beschrieben: "Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei Briefumschläge mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“ --Rebiersch (Diskussion) 00:13, 25. Sep. 2015 (CEST)

Das macht er also mit zwei Briefumschlägen. Was aber macht er mit den anderen erzeugten Doppelumschlägen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:43, 25. Sep. 2015 (CEST)

Immer wieder zwei Briefumschläge anbieten. --Rebiersch (Diskussion) 00:05, 27. Sep. 2015 (CEST)

Wem bietet er immer wieder zwei Umschläge an? --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:33, 27. Sep. 2015 (CEST)

Herrn Schmidt oder einer anderen Person. Da Du schon mit "Ich denke mir z.B. 7 aus. Was muss ich jetzt wiederholen?" geantwortet hast, darf Herr Lemke bei gedanklicher Wiederholung auch gerne Dir die beiden immer wieder neu erzeugten Umschläge anbieten. --Rebiersch (Diskussion) 18:54, 28. Sep. 2015 (CEST)

Was macht nun Herrn Schmidt oder die andere Person mit den immer wieder neu erzeugten Umschlägen? --NeoUrfahraner (Diskussion) 20:27, 28. Sep. 2015 (CEST)

Herr Schmidt oder die andere Person wählt zufällig (zum Beispiel durch Münzwurf) einen der beiden Umschläge und öffnet diesen gewählten Umschlag. --Rebiersch (Diskussion) 22:36, 28. Sep. 2015 (CEST)

Und dann? --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:22, 29. Sep. 2015 (CEST)

... wird der zweite Umschlag geöffnet und Herr Schmidt wird zunächst feststellen, dass bei beliebig häufiger Wiederholung (1) ein Tausch bei dem Minimalbetrag von 25 Euro immer sinnvoll gewesen wäre und (2) bei allen höheren Beträgen ein Tausch aufgrund des ermittelten bedingten Erwartungswertes ausgehend vom geöffneten Betrag sinnvoll gewesen wäre, weil der bedingte Zusatzerlös für die Strategie ich tausche nur bei 25 * 2 hoch (n-1) Euro tatsächlich 1 Euro pro Spiel annnähert. (3) Zudem wird er feststellen, dass sich auch die Strategie "ich tausche bis zu einem festgelegten Betrag 25 * 2 hoch (n-1)" auf lange Sicht gelohnt hätte. (4) Er wird feststellen, dass sich die Strategie "ich tausche immer" auf lange Sicht bei beliebig häufiger Wiederholung nicht lohnt, (5) weil der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n nicht gegen mutmaßliche 1 Euro strebt, sondern gegen 0 Euro. --Rebiersch (Diskussion) 22:07, 29. Sep. 2015 (CEST)

der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n

Bleiben wir zunächst bei Punkt (5). Wie misst/berechnet/beobachtet Herr Schmidt den durchschnittlichen Zusatzerlös? --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:42, 30. Sep. 2015 (CEST)

Er fängt bei n=1 an. Er tauscht also immer bis einschließlich 25 Euro (das bedeutet im ausgedachten Beispiel genau bei 25 Euro). Wenn z.B. 100 mal 25 Euro aufgedeckt wurden, berechnet er 100 mal 25 Euro gegen 50 Euro getauscht = 2500 Euro Zusatzerlös > 25 Euro durchschnittlicher Zusatzerlös (für n=1).

Danach kommt n=2. Er tauscht also immer bis einschließlich 50 Euro. Wenn sowohl 25 als auch 50 Euro mindestens 100 mal aufgedeckt wurden, wird der durchschnittliche Zusatzerlös für n=2 berechnet. Also Gewinne aus dem Tausch von 25 zu 50 Euro zuzüglich Gewinne aus dem Tausch von 50 Euro zu 100 Euro, abzüglich der Verluste durch den Tausch von 50 zu 25 Euro. Die Gesamtsumme wird durch die Anzahl der Tauschvorgänge geteilt. --Rebiersch (Diskussion) 14:17, 30. Sep. 2015 (CEST)

Das verstehe ich nicht. Angenommen, er findet in den ersten 3 Umschlagpaaren zuerst 25, dann 50, dann wieder 25 Euro. Was ist jetzt der durchschnittliche Zusatzerlös? --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:42, 30. Sep. 2015 (CEST)

Für n=1 (Tausch bei 25 Euro) läßt es sich angeben. Er wird zweimal tauschen (beim ersten und beim dritten Mal). In beiden Fällen findet er im verschlossenen Umschlag 50 Euro. Gesamtzusatzerlös = 2*25 Euro = 50 Euro. Der durchschnittliche Zusatzerlös = 50/2 Euro = 25 Euro.

Bei n=2 tauscht er auch, wenn er 50 Euro findet. Nehmen wir an, dass im bislang verschlossenen Umschlag 100 Euro sind. So wäre der durchschnittliche Zusatzerlös beim Tauschen (25+50+25)/3 Euro = 100/3 Euro. Findet er statt 100 Euro nur 25 Euro, so wäre der durchschnittliche Zusatzerlös (25-25+25)/3 Euro = 25/3 Euro --Rebiersch (Diskussion) 21:19, 30. Sep. 2015 (CEST)

Bleiben wir dabei, das er in den ersten 3 Umschlagpaaren zuerst 25, dann 50, dann wieder 25 Euro findet. Was erhalte ich für n=3? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:55, 1. Okt. 2015 (CEST)

Bei n=3 tauscht er auch, wenn er 100 Euro findet. Bevor losgerechnet wird, sollte dieser Betrag auch mindestens einmal im geöffneten Umschlag sein. Sinnvoll wird es jedoch erst bei einer großen Anzahl an Wiederholungen. --Rebiersch (Diskussion) 08:22, 1. Okt. 2015 (CEST)

Was ist dann der "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n", wenn erst 3 Umschlagpaare geöffnet wurden? --NeoUrfahraner (Diskussion) 08:46, 1. Okt. 2015 (CEST)

3 Umschlagpaare bedeutet, dass maximal 3mal getauscht wurde. Das ist selbst für n=1 eine viel zu geringe Anzahl an Wiederholungen. --Rebiersch (Diskussion) 19:30, 1. Okt. 2015 (CEST)

Wie viele Umschlagpaare sind nötig, um den "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" angeben zu können? --NeoUrfahraner (Diskussion) 23:19, 1. Okt. 2015 (CEST)

Eine seltsame Frage. Einen "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" kann man immer angeben. Bei einer geringen Anzahl von Tauschvorgängen macht diese Angabe aber wenig Sinn. --Rebiersch (Diskussion) 01:50, 3. Okt. 2015 (CEST)

Was ist dann der "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n", wenn erst 3 Umschlagpaare geöffnet wurden (unabhängig von der Frage, wieviel Sinn diese Angabe hat)? --06:52, 3. Okt. 2015 (CEST)

Ich kann es Dir nicht beantworten. Es war aber Dein Vorschlag mit einer festen Anzahl von Umschlagpaaren zu rechnen. --Rebiersch (Diskussion) 08:55, 3. Okt. 2015 (CEST)

Hast Du nicht gesagt: Einen "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" kann man immer angeben? --NeoUrfahraner (Diskussion) 18:54, 3. Okt. 2015 (CEST)

Ja, das habe ich geschrieben. Im gleichen Sinne, wie man auch den Blutdruck von 3 zufällig ausgewählten Personen angeben kann und Blutdruckdifferenzen berechnen kann. Sinn macht dies wenig. Wenn man aber wissen will, wie sich der durchschnittliche Blutdruck in einer Population altersabhängig (z.B. im Alter von 10, 20, 40 und 80 ... Jahren in Analogie zum Tausch bei 25, 50, 100, 200 ... Euro verändert), sollte man zunächst einmal aus jeder (!) Subgruppe genügend Probanden und Meßwerte haben. --Rebiersch (Diskussion) 00:34, 4. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe doch gesagt "unabhängig von der Frage, wieviel Sinn diese Angabe hat". Aber gut, dann sind wir eben wieder bei der Frage wie viele Umschlagpaare nötig sind, um den "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" sinnvoll angeben zu können. --NeoUrfahraner (Diskussion) 17:48, 4. Okt. 2015 (CEST)

Das läßt sich in dieser Form nicht beantworten. Allenfalls läßt sich die Anzahl der Briefumschlagkombinationen für ein vorgegebenes fixes n und einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Wäre ich Herr Schmidt, so wäre ich zufrieden, wenn sich die 1. Nachkommastelle bei einem vorgegebenen n nicht mehr verändert und würde dann mit der Überprüfung von n+1 fortfahren. Auch für einen sehr skeptischen Herr Schmidt sollten für n=2 über 1000 aufgedeckte Umschläge mit dem Wert 50 eine ausreichend große Anzahl sein. Für hohe n sind hingegen 1000 aufgedeckte Umschläge mit dem Wert 25 * 2 hoch (n-1) Euro nicht mehr ausreichend. Es ist ähnlich wie bei meinem Beispiel einer Untersuchung, ob sich der durchschnittliche Blutdruck in einer Population altersabhängig verhält. Möglicherweise läßt sich der durchschnittliche Blutdruck von 10jährigen aus einer kleinen Gruppe noch zuverlässig ermitteln. Der Anteil der 80jährigen ist nicht nur kleiner als der Anteil der 10jährigen an der Gesamtpopulation, zudem ist noch eine deutlich größere Anzahl von 80jährigen erforderlich. --Rebiersch (Diskussion) 23:54, 4. Okt. 2015 (CEST)

Deine Aussage war: "(5) weil der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n nicht gegen mutmaßliche 1 Euro strebt, sondern gegen 0 Euro." Wie viele Umschlagpaare sind nötig, damit sich die 1. Nachkommastelle nicht mehr verändert, damit also "der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" zwischen minus und plus 0.1 zu liegen kommt? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:53, 5. Okt. 2015 (CEST)

Ich glaube nicht, dass sich der berechnete durchschnittliche Zusatzerlöse mit wachsender Anzahl von Umschlagpaaren für längere Zeit in einem so engen Bereich von minus und plus 0.1 bewegen wird. Geschrieben hatte ich: "Wäre ich Herr Schmidt, so wäre ich zufrieden, wenn sich die 1. Nachkommastelle bei einem vorgegebenen n nicht mehr verändert und würde dann mit der Überprüfung von n+1 fortfahren." --Rebiersch (Diskussion) 14:24, 6. Okt. 2015 (CEST)

Was bedeutet dann, dass der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n gegen 0 Euro strebt? --NeoUrfahraner (Diskussion) 15:08, 6. Okt. 2015 (CEST)

Auf jeden Fall bedeutet es nicht, dass 0 Euro in diesen Fall ein Grenzwert ist, dem der durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n beliebig nah kommt. "Immer größer gewähltes n" bei einem von Herrn Schmidt beobachteten Datensatz von Doppelumschlägen, bedeutet nichts anderes als ab einem konkreten n bei diesem Datensatz immer zu tauschen. --Rebiersch (Diskussion) 23:38, 6. Okt. 2015 (CEST)

Können wir uns darauf einigen, dass der "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" weder gegen 0 noch gegen irgend einen anderen Grenzwert strebt, sondern vielmehr divergent ist? --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:37, 7. Okt. 2015 (CEST)

Auf jeden Fall. Wichtig ist mir aber, dass sich die Divergenz um Null herum bewegt. Damit meine ich, dass man immer wieder auch negative Werte erhält. Oder anders formuliert: Das Vorzeichen wird immer wieder wechseln. Das ist doch der entscheidene Unterschied zwischen dem "Rebiersch-Fall" und dem "Sankt-Petersburg-Fall". --Rebiersch (Diskussion) 13:47, 7. Okt. 2015 (CEST)

Wie kann man überprüfen "dass sich die Divergenz um Null herum bewegt"? Bisher hast Du ja noch gar nicht gesagt, wie viele Umschlagpaare nötig sind, um den "durchschnittliche Zusatzerlös mit immer größer gewähltem n" sinnvoll angeben zu können. Wenn man den Wert nicht sinnvoll angeben kann, kann man auch nicht überprüfen, ob "sich die Divergenz um Null herum bewegt". --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:05, 7. Okt. 2015 (CEST)

Weshalb sollte dies nicht möglich sein? --Rebiersch (Diskussion) 23:31, 7. Okt. 2015 (CEST)

Wenn es möglich ist, Deine Behauptungen zu überprüfen, dann zeige endlich, wie man Deine Behauptungen überprüft. Ansonsten ist die Diskussion von meiner Seite aus beendet. --NeoUrfahraner (Diskussion) 06:28, 8. Okt. 2015 (CEST)

Um meine letzte Behauptung zu überprüfen muss man nur beobachten ob sich das Vorzeichen bei beliebig häufiger Wiederholung immer wieder ändert oder nicht. Sie wäre widerlegt, wenn es ab einer einer bestimmten Anzahl von Wiederholungen zu keinem Vorzeichenwechsel mehr käme. Eine andere Form der Widerlegung fällt mir nicht ein und halte daher Deinen Vorschlag die Diskussion hier zu beender für überaus sinnvoll. --Rebiersch (Diskussion) 16:26, 8. Okt. 2015 (CEST)

Alternative Umtauschsituation

"Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und zeigt ihm zwei Briefumschläge. Mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen diesen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“ gibt er ihm einen Briefumschlag. Herr Schmidt öffnet den Umschlag und findet 100 Euro"

Inwiefern ändert sich nun Schmidts Überlegung? --Geodel (Diskussion) 15:37, 28. Apr. 2015 (CEST)

Sie ändert sich möglicherweise nicht. Weshalb sollte sie sich ändern? --Rebiersch (Diskussion) 03:07, 11. Jul. 2015 (CEST)

Auf welcher Grundlage berechnet Schmidt den Erwartungswert? --Geodel (Diskussion) 23:32, 7. Aug. 2015 (CEST)

Das kann hier keiner wissen. Aus den bisherigen Angaben kann der Erwartungswert nicht berechnet werden. Herr Schmidt im Artikel vermutet aber offensichtlich, dass ausgehend von 100 Euro im geöffneten Umschlag 50 Euro und 200 Euro gleich wahrscheinlich sind. --Rebiersch (Diskussion) 14:43, 8. Aug. 2015 (CEST)

Warum kann Schmidt hier den Erwartungswert nicht berechnen, im Artikel aber schon; was ist die Grundlage für seine Vermutung? --Geodel (Diskussion) 17:09, 9. Aug. 2015 (CEST)

Herr Schmidt sagt es uns nicht. Möglich wäre ein Zusatzwissen und/oder Erfahrungen mit Herrn Lemke. Der Denkfehler läge dann beim Leser wenn er vermutet, dass Herr Schmidt bei jedem Betrag so handelte. Möglich wäre auch, dass Herr Schmidt das Indifferenzprinzip anwendet: „Wenn keine Gründe dafür bekannt sind, um eines von verschiedenen möglichen Ereignissen zu begünstigen, dann sind die Ereignisse als gleich wahrscheinlich anzusehen.“ In diesem Fall sieht er die Größenordnung des aufgefundenen Eurobetrages zumindest im Bereich 50 bis 200 Euro als unbedeutend an. Der Denkfehler läge wieder beim Leser, wenn er vermutet, dass Herr Schmidt bei jedem Betrag so handelte. Vielleicht betrachtet Herr Schmidt es auch als Gedankenexperiment: ob Euro, Kieselsteine, Punkte oder einfach eine Ziffer spielt bei dieser Betrachtung keine Rolle. Es sind beliebig hohe Beträge vorstellbar. --Rebiersch (Diskussion) 20:32, 9. Aug. 2015 (CEST)

Darf denn Schmidt das Indifferenzprinzip im obigen Szenario überhaupt anwenden? Und wieso sollte ein Leser willkürliche Annahmen (Zusatzwissen und/oder Erfahrungen mit Lemke), die nicht im Text stehen, benutzen, um einen Widerspruch aufzulösen, den dieser Leser durch seine Denkfehler, wie du sagst, erst selbst erzeugt? Dann gibt es das Umtauschparadoxon objektiv also gar nicht... --Geodel (Diskussion) 15:46, 14. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Er darf das Indifferenzprinzip auf jeden Fall auf die ungeöffneten Umschläge anwenden, wenn man davon ausgeht, dass sich die ungeöffneten Umschläge von außen nicht unterscheiden. Er wird mit 50%iger Wahrscheinlichkeit den unbekanten einfachen Betrag und mit 50%iger Wahrscheinlichkeit den unbekannten doppelten Betrag zuerst öffnen. Er sollte möglicherweise das Indifferenzprinzip nicht auf die beiden Möglichkeiten "halber Betrag" und "doppelter Betrag" ausgehend von jeden denkbaren Beträg im geöffneten Umschlag anwenden. Hat er im aktuellen Beispiel auch nicht gemacht. Andere Schilderungen des Umtauschparadoxons unterscheiden sich in diesem Punkt. Ad 2: Dass ein Leser willkürliche Annahmen ... die nicht im Text stehen benutzen soll, um einen Widerspruch aufzulösen, habe ich nie geschrieben. Geschrieben habe ich: "der Denkfehler läge dann beim Leser wenn er vermutet, dass Herr Schmidt bei jedem Betrag so handelte". Ad 3: Das Umtauschparadoxon als Idee und Beschreibung in der Literatur gibt es sicher. Wie so häufig bei Paradoxien besteht aber kein tatsächlicher Widerspruch, sondern nur ein oder mehrere vermeintliche Widersprüche, die aber benannt und aufgelöst werden sollten. --Rebiersch (Diskussion) 02:57, 16. Aug. 2015 (CEST)

ad 1.1) Du sagst:"Er darf das Indifferenzprinzip auf jeden Fall auf die ungeöffneten Umschläge anwenden, wenn man davon ausgeht, dass sich die ungeöffneten Umschläge von außen nicht unterscheiden." Das gilt wohl für die Umtauschsituation im Artikel, aber gilt das auch für das obige alternative Szenario?

ad 1.2) Du sagst:"Er sollte möglicherweise das Indifferenzprinzip nicht auf die beiden Möglichkeiten "halber Betrag" und "doppelter Betrag" ausgehend von jeden denkbaren Beträg im geöffneten Umschlag anwenden." Darf Schmidt denn das Indifferenzprinzip anwenden, wenn er nicht von jedem denkbaren Betrag sondern nur von diesem bestimmten Betrag im geöffneten Umschlag ausgeht?

ad 2) Dann ist es aber doch der Leser, der im Artikel den Widerspruch erzeugt, indem er Schmidt unterstellt, dass er bei jedem Betrag so handelte. Ohne diese willkürliche Unterstellung also auch kein Paradoxon, oder?

ad 3) Vor dem Öffnen eines Umschlags sind beide Umschläge "offensichtlich gleichwertig" (so steht es im Artikel). Nach dem Öffnen eines Umschlags ist aber laut Schmidts Rechnung der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags höher als der gefundene Betrag, obwohl er nicht wissen kann, ob er den kleineren oder den größeren Geldbetrag gefunden hat. Ist das etwa kein Widerspruch? --Geodel (Diskussion) 09:49, 16. Aug. 2015 (CEST)

ad 1.1) Aber nur für die beiden Ereignisse "einfacher Betrag" und "doppelter Betrag".

ad 1.2) Ich denke schon. Er sollte es dann nur konkret benennen.

ad 2) Welcher Widerspruch? Der scheinbare Widerspruch, dass der Erwartungswert immer besser sein kann, obwohl die Umschläge vor dem Öffnen gleichwertig waren oder der tatsächliche Widerspruch, dass "immer Tauschen" besser ist als "nie Tauschen" ?

ad 3) Ich sehe bei dieser Schilderung keinen tatsächlichen Widerspruch. Zum einen haben wir zwei unterschiedliche Situationen "vor der Öffnen" versus "nach dem Öffnen", "Erwartungswert" versus "aufgedeckter Betrag" zum anderen beruht die Rechnung ja lediglich auf der Vermutung, dass ausgehend von 100 Euro die Ereignisse 50 Euro und 200 Euro gleich wahrscheinlich seien. Das könnte bei 100 Euro so sein, muss es aber nicht. --Rebiersch (Diskussion) 12:59, 16. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Das Indifferenzprinzip gilt doch sowieso nur für die beiden Ereignisse "einfacher Betrag" und "doppelter Betrag", und auch dann nur für die Umtauschsituation im Artikel, wenn Schmidt einen der beiden Umschläge zufällig wählt. Im obigen Alternativ-Szenario gilt das nicht, weil Lemke einen bestimmten Umschlag an Schmidt übergibt, also Willkür und nicht Zufall eine Rolle spielt. Ausgehend von einem konkreten Geldbetrag im geöffneten Umschlag ist das Indifferenzprinzip auf die beiden Möglichkeiten "halber Betrag" und "doppelter Betrag" im anderen verschlossenen Umschlag in beiden Umtauschsituationen nicht anwendbar, weil es sich hier nur um bedingte W'keiten handeln kann.

ad 2) Wer erzeugt denn diese scheinbaren oder tatsächlichen Widersprüche?

ad 3) Aufgrund welcher Informationen in der Problemstellung darf Schmidt denn vermuten, dass ausgehend von 100 Euro im geöffneten Umschlag die Ereignisse 50 Euro und 200 Euro im verschlossenen Umschlag gleich wahrscheinlich seien? --Geodel (Diskussion) 22:53, 22. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Von "willkürlich einen der beiden Umschläge wählen" war bislang nie die Rede. Worin besteht für dich der Unterschied zwischen willkürlich und zufällig auswählen?

ad 2) Ich glaube kaum, dass man einen tatsächlich Widerspruch "erzeugen" kann, allenfalls einen scheinbaren. Ein scheinbarer Widerspruch kann zum Beispiel durch Denkfehler, mathematische Fehler oder sprachliche Ungenauigkeiten entstehen.

ad 3) Vermuten darf Herr Schmidt zunächst einmal alles. Informationen, die seine Vermutung in Deinem Beispiel begründen, hast Du uns nicht mitgeteilt. --Rebiersch (Diskussion) 01:44, 26. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Dein Einwand ist insofern berechtigt, als man unterschiedliche Konzepte nicht vermischen sollte. Die Wahl des Umschlags erfolgt im Artikel "zufällig", was bedeuten soll, dass die W'keit, den größeren Betrag zu finden, exakt 1/2 beträgt. Wie Schmidt diese Zufallswahl genau durchführt, wird allerdings nicht weiter erklärt. Falls allerdings die Umschläge identisch sind bzw. keine äußeren Merkmale verraten, in welchem Umschlag sich der größere Geldbetrag befindet, darf Schmidt einen Umschlag willkürlich auswählen und wegen des Indifferenzprinzips annehmen, dass die W'keit, den größeren Betrag zu finden, ebenfalls 1/2 beträgt. Im Alternativszenario wählt Schmidt aber den zu öffnenden Umschlag nicht selbst, sondern er wird ihm von Lemke übergeben. Weil jetzt Willkür von Lemke, der den Inhalt der Umschläge ja kennt, eine Rolle spielt, gilt das Indifferenzprinzip hier nicht und die W'keit den größeren Betrag zu finden ist unbekannt. Die Frage ist nun, ob Schmidt trotzdem die gleichen Überlegungen wie im Artikel anstellt?

ad 2) Es geht darum, an welcher Stelle das Paradoxon auftaucht. Im Artikel wird das Paradoxe nicht darin erkannt, dass sich nach Schmidts Überlegung Tauschen lohnen würde, unabhängig davon, ob er den kleineren oder größeren Geldbetrag gefunden hat. Stattdessen wird behauptet, das Paradoxon ergäbe sich, falls seine Rechnung für jeden beliebigen Geldbetrag das Ergebnis lieferte, dass sich Tauschen lohne. Diese Annahme ist aber nicht Teil der Problemstellung, sie wird hinzugedichtet. Im Unterschied zum Artikel entsteht bei Nalebuff das Paradoxon dadurch, dass sowohl Ali als auch Baba ihre Umschläge jeweils tauschen möchten:"But this is paradoxical. The sum of the amount in both envelopes is whatever it is. Trading envelopes cannot make both participants better off."

ad 3) Die Informationen, die Schmidts (falsche) Vermutung begründen, stehen im Problemtext.. --Geodel (Diskussion) 17:44, 26. Aug. 2015 (CEST)

Wenn Du willkürlich im Sinne von "unter Kenntnis des Inhalts bewußt ausgewählt" verstehst, macht eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung keinen Sinn. --Rebiersch (Diskussion) 13:30, 29. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Das meine ich so nicht. Die Folgen von Willkür sind abhängig vom Informationsstand des Handelnden. Wenn Schmidt einen Umschlag aus zwei für ihn nicht unterscheidbaren Umschlägen willkürlich auswählt, gilt das Indifferenzprinzip und er darf die W'keit, den größeren Betrag zu finden, als 1/2 betrachten. Wenn Lemke einen Umschlag willkürlich an Schmidt übergibt, ist für Letzteren die W'keit, den größeren Betrag darin zu finden, unbekannt und eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung macht keinen Sinn. Es könnte natürlich viele persönliche Gründe für Schmidt geben, zu tauschen oder nicht zu tauschen, diese Gründe sind aber nicht Bestandteil der Problemstellung und somit auch nicht quantifizierbar. Letztendlich könnte seine Neugier siegen und er tauscht, um den Inhalt des anderen Umschlags kennenzulernen.

ad 2) ???

ad 3) Wenn Lemke Schmidt beschenken möchte, kann man davon ausgehen, dass Ersterer den Inhalt der Umschläge nicht nur kennt, sondern auch die Geldbeträge selbst festgelegt hat. Er könnte z.B. in den einen Umschlag seinen von ihm als Geschenk vorgesehenen Geldbetrag und in den anderen Umschlag den halben Betrag gelegt haben. Damit liegen beide Geldbeträge fest. Nachdem Schmidt nun einen Umschlag zufällig ausgewählt hat, hat er mit der W'keit 1/2 den größeren, ihm allerdings unbekannten, Geldbetrag gewählt. Öffnet er jetzt den Umschlag und findet z.B. 100€, kann er nicht auf den Inhalt des anderen Umschlags schließen, weil die Geldbeträge von Lemke willkürlich festgelegt wurden und sich somit einer eindeutigen Wahrscheinlichkeitsbetrachtung entziehen. --Geodel (Diskussion) 00:05, 30. Aug. 2015 (CEST)

ad1) Ich schrieb: "Wenn Du willkürlich im Sinne von "unter Kenntnis des Inhalts bewußt ausgewählt" verstehst, macht eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung keinen Sinn". Jetzt schreibst Du: "Wenn Lemke einen Umschlag willkürlich an Schmidt übergibt, ist für Letzteren die W'keit, den größeren Betrag darin zu finden, unbekannt und eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung macht keinen Sinn." Offensichtlich kommst Du zum gleichen Ergebnis.

ad3) Wurden die Beträge die sich in beiden Umschlägen befinden jetzt willkürlich festgelegt oder wurde der Umschlag willkürlich übergeben?

ad2) Das steht im Abschnitt Paradoxon. Gehen wir es mal rückwärts durch. Sind die ungeöffneten Umschläge für Herrn Schmidt gleichwertig? --Rebiersch (Diskussion) 23:55, 30. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Bitte auch diesen Satz oben lesen:"Wenn Schmidt einen Umschlag aus zwei für ihn nicht unterscheidbaren Umschlägen willkürlich auswählt, gilt das Indifferenzprinzip...".

ad 2) Was steht im Abschnitt "Paradoxon"? Und was meinst du mit "gleichwertig"?

ad 3) Sowohl im Artikel als auch im Alternativszenario wurden die Geldbeträge willkürlich festgelegt und in Letzterem wurde ein Umschlag willkürlich übergeben. --Geodel (Diskussion) 15:19, 31. Aug. 2015 (CEST)

ad1) Wir haben doch schon beide übereinstimmend festgestellt, dass eine Wahrscheinlichkeitsbetrachtung bei willkürlicher Auswahl keinen Sinn macht. Das Indifferenzprinzip ist aber ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie.

ad2) Da steht als letzter Satz: Es kann aber nicht sein, dass der andere Umschlag immer besser ist, da ja beide Umschläge vor dem Öffnen offensichtlich gleichwertig sind. Da es Dein alternatives Beispiel ist, hättest du zumindest beantworten können, ob in deinem Beispiel die ungeöffneten Umschläge für Herrn Schmidt gleichwertig sind. Wenn Du es nicht kannst, kann es auch kein anderer.

ad3) Du unterstellst jetzt plötzlich, dass auch im Artikel die Geldbeträge willkürlich festgelegt wurden. Der Begriff taucht im gesamten Artikel aber nicht ein einziges Mal auf. --Rebiersch (Diskussion) 22:46, 31. Aug. 2015 (CEST)

ad 1) Sag einmal: liest du meine Beiträge eigentlich? Bitte auch diesen Satz oben lesen:"Die Folgen von Willkür sind abhängig vom Informationsstand des Handelnden."

ad 2) Ich halte den gesamten Abschnitt "Paradoxon" für fragwürdig, insbesondere den letzten Satz. Aber okay, ich versuche dir trotzdem zu folgen: in meinem Beispiel sind die ungeöffneten Umschläge für Herrn Schmidt nach der Übergabe eines Umschlags durch Lemke nicht "gleichwertig".

ad 3) Der Begriff "Willkür" muss auch nicht auftauchen. Wenn keine anderen Informationen in der Problembeschreibung explizit gegeben sind, z.b. eine W'keitsverteilung der möglichen Geldbeträge, ist es hinreichend, dass Willkür nicht ausgeschlossen werden kann (außerdem liegt es nahe, dass Lemke sein Geldgeschenk selbst festlegt). Deswegen ist klar, dass sich für Schmidt der Geldbetrag im ungeöffneten Umschlag auch im Artikel einer eindeutigen Wahrscheinlichkeitsbetrachtung entzieht. --Geodel (Diskussion) 17:15, 1. Sep. 2015 (CEST)

Das Problem ist nicht das Lesen der Sätze, sondern die Mehrfachbedeutungen des Begriffes "Willkür". Ich hätte zum Beispiel formuliert: "Eine willkürliche Handlung wird nicht durch Zufall, sondern in erster Linie durch die Absicht (den Willen) des Handelnden bestimmt". Dann wäre möglicherweise auch sofort klar geworden, worauf Du hinaus willst. Wenn du Dein Beispiel völlig losgelöst aus dem Kontext des Artikels betrachtest, kann auch die Information "es ist der doppelte Betrag" willkürlich mitgeteilt worden sein. (Siehe hierzu die Diskussion des Dienstagsproblems). Wenn diese Information willkürlich war und beim nächsten Mal auch lauten könnte 1,5fach oder 3fach, so ist es kein Beispiel mehr für das Umschlagparadoxon, sondern ein Beispiel für das Zwei-Zettel-Spiel. Dieser Umstand muss im Artkelbeispiel tatsächlich noch eindeutig dargestellt werden. --Rebiersch (Diskussion) 19:57, 1. Sep. 2015 (CEST)

Die Information "...In beiden [Umschlägen] befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen." ist natürlich willkürlich mitgeteilt worden. Trotzdem darf man davon ausgehen, dass diese Information korrekt ist, also dass Lemke nicht lügt. Andernfalls wäre das Umtauschparadoxon ein Scherz und damit keine mathematisch eindeutige Behandlung möglich. Und ein nächstes Mal (mit anderen Informationen) ist in der Problembeschreibung nicht vorgesehen.

Um noch mal zusammenzufassen: Im Artikel gilt nach der (willkürlichen) Wahl eines Umschlags durch Schmidt das Indifferenzprinzip, somit kann er die W'keit, den größeren Geldbetrag gewählt zu haben, als 1/2 betrachten. In meinem Alternativszenario gilt dies nicht, weil ihm ein Umschlag (willkürlich) von Lemke übergeben wurde; die W'keit, den größeren Geldbetrag erhalten zu haben, ist unbekannt. --Geodel (Diskussion) 16:28, 3. Sep. 2015 (CEST)

Zitat: Die Information "...In beiden [Umschlägen] befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen." ist natürlich willkürlich mitgeteilt worden. Ich kann nur staunen: Es könnte also sein, dass Herr Lemke es bei kleinen Beträgen mitteilt und bei großen Beträgen nicht mehr? Wichtig ist aber, dass bei allen Schilderungen des Umtauschparadoxons immer vom doppelten Betrag ausgegangen wird und nicht manchmal vom dreifachen oder vierfachen Betrag. Das ist ein entscheidender Unterschied zum Zwei-Zettel-Spiel. Dies muss daher auch klar im Beispiel herausgestellt werden. Es sind auch nie 3 Umschläge oder nur 1 Umschlag. Sonst endet es hier wie beim Ziegenparadoxon mit Vermutungen, dass hinter der Beispielschilderung kein Muster stünde. --Rebiersch (Diskussion) 22:28, 3. Sep. 2015 (CEST)

Ich verstehe deinen Einwand nicht. Die Situation ist hier doch klar und eindeutig formuliert: Lemke möchte Schmidt beschenken. Dazu hat er zwei Umschläge mit Geld bestückt, die er Schmidt mit den Worten "...In beiden [Umschlägen] befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen." zeigt. Weder ist von kleinen oder großen Geldbeträgen noch von einem oder drei Umschlägen die Rede. Was ist dein Problem? --Geodel (Diskussion) 14:16, 4. Sep. 2015 (CEST)

Es wird zu einem Problem, wenn jemand argumentiert: "Die Information sei natürlich willkürlich mitgeteilt worden." In diesem Punkt kann das aktuelle Beispiel tatsächlich missverstanden werden. Nehmen wir an Herrn Lemke stünden tatsächlich nur 3 Umschlagkombinationen (50,100); (100,200) bzw. (100,300) Euro mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu Verfügung. Herr Schmidt will die bedingten Erwartungswerte ausgehend von 100 Euro berechnen. Somit wäre 200 Euro zunächst das richtige Ergebnis. Wenn Herr Lemke aber immer die oben formulierte Information mitteilt, dann bringt er nie die Kombination (100, 300) Euro mit und das richtige Ergebnis ist 125 Euro. Wenn er sie nur mitteilt, wenn alle Beträge unter 200 Euro liegen, so wäre das richtige Ergebnis in der geschilderten Situation 50 Euro. --Rebiersch (Diskussion) 23:40, 4. Sep. 2015 (CEST)

Meine Güte, du klammerst dich jetzt an diesem Wort "willkürlich" fest. Damit ist doch nur gemeint, dass Lemke von sich aus Schmidt eine zusätzliche Information gibt. Natürlich könnte Lemke auch sagen "In einem Umschlag befindet sich ein größerer Geldbetrag als im anderen.", was ja auch stimmen würde, das tut er aber nicht. In diesem Zusammenhang hat der Begriff "willkürlich" überhaupt keine tiefere Bedeutung.

Wie kommst du darauf, dass Lemke mehrere unterschiedliche Umschlagkombinationen zur Verfügung stehen? Wir hatten bereits bemerkt, dass es ausreicht, wenn er einen Umschlag mit einem Geldbetrag, welcher seinem Geldgeschenk entspricht, und den anderen Umschlag mit dem halben Betrag bestückt. Von mehr als einer Umschlagkombination ist auch im Problemtext nirgends die Rede. --Geodel (Diskussion) 11:01, 6. Sep. 2015 (CEST)

Es muss nicht so sein, könnte aber. Nichts spricht dagegen. Wenn Deine Vorstellung vom Umtauschparadoxon zuträfe (immer nur 1 Umschlagkombination), dann sollte Herr Schmidt den 100 Euro-Umschlag auch nehmen. Nicht weil er sicher gewinnt. Das wird er nur, wenn 100 Euro der kleinstmögliche Betrag wäre. Er wird bei deiner Betrachtung die 100 Euro nehmen, um schon beim 2. Angebot bei tatsächlicher oder gedanklicher Wiederholung zu wissen, ob ein Tausch sinnvoll ist (wenn im verschlossenen Umschlag 200 Euro waren) oder nicht (wenn im verschlossenen Umschlag 50 Euro waren). Ergo: "The Other Person’s Envelope is Always Greener". --Rebiersch (Diskussion) 22:25, 8. Sep. 2015 (CEST)

Korrektur: Der eigentliche Denkfehler ist (doch) die Verletzung des Indifferenzprinzips

Der eigentliche Denkfehler ist nicht die Verletzung des Indifferenzprinzips. Das sieht man am einfachsten an einer veränderten Problemstellung.

Variation der Problemstellung

Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei Briefumschläge mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag und beide Geldbeträge sind verschieden. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“

Herr Schmidt öffnet einen zufällig ausgewählten der beiden Umschläge und findet x Euro.

Erste Überlegung

Er überlegt: „Beide Umschläge enthalten unterschiedliche Geldbeträge. Nennen wir den kleineren Betrag a und den größeren Betrag b. Wenn mein gefundener Betrag x gleich a ist, enthält der andere Umschlag den Betrag b; wenn mein gefundener Betrag x gleich b ist, enthält der andere Umschlag den Betrag a. Die Wahrscheinlichkeit ist in beiden Fällen gleich ½, deshalb ist der Erwartungswert für meinen Umschlag gleich ½·a+½·b, und der für den anderen Umschlag ist auch gleich ½·a+½·b. Beide Erwartungswerte sind gleich (a+b)/2, deshalb ist es egal, welchen Umschlag ich nehme.“

Zweite Überlegung

Er überlegt: „Beide Umschläge enthalten unterschiedliche Geldbeträge. Nennen wir den kleineren Betrag a und den größeren Betrag b. Die Differenz beider Geldbeträge beträgt d = b-a mit d > 0. In meinem Umschlag habe ich den Betrag x gefunden, also befindet sich im anderen Umschlag entweder der Betrag x+d oder der Betrag x-d. Die Wahrscheinlichkeit ist in beiden Fällen gleich ½, deshalb ist der Erwartungswert für den anderen Umschlag gleich ½·(x+d)+½·(x-d), und das ist wieder exakt gleich x. Der Erwartungswert für den anderen Umschlag ist genauso groß wie der Geldbetrag in meinem Umschlag, deshalb ist es egal, welchen Umschlag ich nehme.“

Dritte Überlegung

Er überlegt: „Beide Umschläge enthalten unterschiedliche Geldbeträge. Nennen wir den kleineren Betrag a und den größeren Betrag b. Der Quotient beider Geldbeträge beträgt q = b/a mit q > 1. In meinem Umschlag habe ich den Betrag x gefunden, also befindet sich im anderen Umschlag entweder der Betrag x·q oder der Betrag x/q. Die Wahrscheinlichkeit ist in beiden Fällen gleich ½, deshalb ist der Erwartungswert für den anderen Umschlag gleich ½·(x·q)+½·(x/q), und das ist gleich ((q²+1)/(2q))·x. Wegen q > 1 ist q-1 > 0. Aus der binomischen Formel (q-1)² = q²-2q+1 folgt wegen (q-1)² > 0 die Ungleichung q²+1 > 2q. Wegen q > 0 ist folglich auch der Faktor (q²+1)/(2q) > 1 und der Erwartungswert für den anderen Umschlag ist somit größer als der Geldbetrag in meinem Umschlag. Deshalb sollte ich auf jeden Fall den anderen Umschlag nehmen.“

Diskussion

Nur die erste Überlegung ist korrekt, die anderen beiden Überlegungen sind fehlerhaft. Warum ist die zweite Überlegung falsch? Der Erwartungswert des anderen Umschlags ist auch in diesem Fall gleich (a+b)/2. Da der gefundene Geldbetrag entweder x = a oder x = b ist und da a ≠ b gilt, folgt somit x ≠ (a+b)/2. Der Erwartungswert des anderen Umschlags kann folglich gar nicht so groß wie der im eigenen Umschlag gefundene Geldbetrag x sein. Deshalb ist es auch nicht zulässig, den gefundenen Wert x für die Berechnung des Erwartungswertes zu verwenden. Ebenfalls ist es unzulässig, diesen (falsch berechneten) Erwartungswert des anderen Umschlags mit dem gefundenen Wert x im eigenen Umschlag zu vergleichen. Obwohl der eigene Umschlag den Betrag x enthält, ist der Erwartungswert des eigenen Umschlags nicht x, sondern (a+b)/2. Und der Erwartungswert des anderen Umschlags darf nicht mit dem Inhalt des eigenen Umschlags verglichen werden, sondern muss mit dem Erwartungswert des eigenen Umschlags verglichen werden. Aus genau diesem Grund ist auch die dritte Überlegung fehlerhaft.

Was bedeutet das für das Umtauschparadoxon?

Wenn der Geldbetrag im eigenen Umschlag zum Beispiel x = 100 Euro ist, stimmt es zwar, dass der Geldbetrag im anderen Umschlag entweder 50 Euro oder 200 Euro ist. Jedoch darf ich den Erwartungswert des anderen Umschlags nicht mit diesen beiden möglichen Geldbeträgen berechnen. Es ist also falsch zu behaupten, der Erwartungswert wäre ½·50 Euro + ½·200 Euro = 125 Euro, und tatsächlich ergibt jede Kombination p·50 Euro + (1-p)·200 Euro mit 0 ≤ p ≤ 1 einen falschen Erwartungswert. Die Erwartungswerte beider Umschläge sind in Wahrheit beide gleich (a+b)/2, wenn mit a der kleinere Geldbetrag und mit b der größere Betrag bezeichnet wird. Es gibt genau zwei verschiedene Möglichkeiten: Entweder ist der kleinere Geldbetrag a = 100 Euro, dann ist der größere Betrag b = 200 Euro. Oder es ist der größere Geldbetrag b = 100 Euro, dann ist der kleinere Betrag a = 50 Euro. Die Erwartungswerte beider Umschläge sind also entweder gleich 150 Euro oder gleich 75 Euro.

Zusammenfassung

Was kann ich also folgern, wenn ich den Geldbetrag x > 0 in meinem Umschlag finde und weiß, dass sich die beiden Geldbeträge um einen Faktor q > 1 unterscheiden? Ich kann dann nur folgern, dass entweder der kleinere Geldbetrag a = x ist, dann ist der größere Betrag b = x·q. Oder es ist der größere Geldbetrag b = x, dann ist der kleinere Betrag a = x/q. Die Erwartungswerte beider Umschläge sind in jedem Fall beide gleich (a+b)/2, also entweder gleich ((1+q)/2)·x oder gleich ((1+q)/(2q))·x. Auf keinen Fall darf ich den Erwartungswert des anderen Umschlags über die Formel p·(x/q)+(1-p)·(x·q) mit 0 ≤ p ≤ 1 berechnen. Der eigentliche Irrtum beim Umtauschparadoxon liegt somit nicht in einer fehlerhaften Anwendung des Indifferenzprinzips, sondern darin, dass der Erwartungswert des anderen Umschlags falsch berechnet wird und dieser falsch berechnete Erwartungswert nicht mit dem Erwartungswert des eigenen Umschlags, sondern mit dem Inhalt des eigenen Umschlags verglichen wird.

Korrektur

Dummerweise war ich mit den obigen Ausführungen im Irrtum, weil mir das Konzept des bedingten Erwartungswertes unbekannt war. Tatsächlich ist der Inhalt x des eigenen Umschlags ein bedingter Erwartungswert, nämlich ganz einfach E(X|X=x). Und der Vergleich dieses bedingten Erwartungswertes findet statt mit dem bedingten Erwartungswert E(Y|X=x) des anderen Umschlags, nicht mit dem Erwartungswert E(Y). Der bedingte Erwartungswert E(Y|X=x) ist auch korrekt berechnet worden, nur die Annahme, dass die bedingten Wahrscheinlichkeiten immer gleich ½ sind, führt auf einen Widerspruch. Das eigentliche Problem ist somit tatsächlich eine falsche Anwendung des Indifferenzprinzips.

--2A00:6020:15EB:8D00:B792:CCD5:E408:CF50 09:46, 24. Mai 2019 (CEST)

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