Diskussion:Untergruppe

Untergruppen-Kriterium

Die Behauptung, wonach die beiden angeführten Untergruppen-Kriterien äquivalent sein sollen, leuchtet mir nicht ein.

Gegenbeispiel: In der mutliplikativen Gruppe der fünften Einheitswurzeln sind die zweite und die dritte zueinander invers. Damit ist das erste Kriterium erfüllt. Das hieße, die beiden genannten Einheitswurzeln würden zusammen mit der Eins eine Untergruppe bilden. Aber das Produkt der zweiten mit dem Inversen der dritten ist das Quadrat der zweiten mit sich selbst und ergibt die vierte Einheitswurzel. Also sind die beiden mitsamt der Eins nach dem zweiten Kritetrium keine Untergruppe. Widerspruch! --Heinrich Faust (16:14, 9. Nov. 2009 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. In der jetzigen Formulierung ist klar, dass beide Kriterien erfüllt sein müssen.FerdiBf (Diskussion) 17:38, 26. Mär. 2016 (CET)

Erzeugende Untergruppe

Hallo,

ich finde die Definition von Erzeugung einer Untergruppe nicht ganz korrekt. "$\langle E\rangle$ enthält das Neutrale Element von $G$ und alle Verknüpfungen von endlich vielen $a_{i}\in G$, die selbst oder deren Inverse in $E$ sind: " Wenn a_i in der Untergruppe enthalten ist, dann ist auch sein Inverses in der Untergruppe enthalten. (nicht signierter Beitrag von Peanoaxiom (Diskussion | Beiträge) 00:13, 5. Jul 2009 (CEST))

Hmm, ich verstehe momentan nicht ganz das Problem: Wenn ich irgendein $a\in \langle E\rangle$ habe und es sich damit als $a=a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n}$ mit $a_{i}\in E$ oder $a_{i}^{-1}\in E$ für alle $i=1,\ldots ,n$ schreiben läßt, so ist doch automatisch $a^{-1}=(a_{1}\cdot \ldots \cdot a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}\cdot \ldots \cdot a_{1}^{-1}$ und es gilt immer noch $a_{i}=(a_{i}^{-1})^{-1}\in E$ oder $a_{i}^{-1}\in E$ für alle $i=1,\ldots ,n$, also $a^{-1}\in \langle E\rangle$. Viele Grüße --Angela H. 15:38, 6. Jul. 2009 (CEST)

Naja, aber dein "Oder" stört mich (Ich geh mal von einer umgangssprachlichen Definition von "oder" aus). Das Inverse Element ist _immer_ in <E> enthalten. (nicht signierter Beitrag von Peanoaxiom (Diskussion | Beiträge) 18:44, 6. Jul 2009 (CEST))

Hmm, es ist ein nicht-ausschließendes „Oder“… Vermutlich liegt das Problem an folgendem: Man kann auch definieren, daß $\langle E\rangle$ die kleinste Untergruppe von $G$ ist, die die Menge $E$ enthält. Dann ist klar, daß das Inverse jedes Elementes mit drin liegen muß, da $\langle E\rangle$ abgeschlossen sein muß unter Inversenbildung, damit es überhaupt eine Gruppe sein kann. Andererseits ist hier einfach nur eine Menge von Elementen gegeben, die eine gewisse Form haben. Wenn ich dann nicht explizit fordere, daß auch Inverse mit drin liegen sollen, dann tun sie es einfach nicht (und manchmal bekommt man sogar etwas anderes raus). Viele Grüße --Angela H. 14:18, 7. Jul. 2009 (CEST)

Ach, vielleicht ist es auch folgendes: Die Teilmenge $E$ von $G$ muß nicht unbedingt zu jedem Element auch sein Inverses enthalten. Es kann also vorkommen, daß ein $a\in E$ ist, während das zu $a$ inverse Element $a^{-1}\notin E$ ist. Um dann wirklich eine Gruppe zu bekommen, nimmt man alle Elemente aus $E$ sowie deren inverse Elemente und bildet alle möglichen endlichen Verknüpfungen all dieser Elemente (und wenn man leere Verknüpfungen nicht mag, nimmt man stattdessen vorsichtshalber das neutrale Element der Gruppe mit dazu). Genau das besagt die Definition von $\langle E\rangle$ im Artikel. Viele Grüße --Angela H. 14:32, 7. Jul. 2009 (CEST)

Naja, aber im Text wird explizit gesagt, dass $E$ eine Untergruppe von $G$ ist. (nicht signierter Beitrag von Peanoaxiom (Diskussion | Beiträge) 17:44, 8. Jul 2009 (CEST))

Also, in dieser Fassung steht: $E\subseteq G$ eine Teilmenge von $G$. Man muß strikt zwischen der Menge $E$ und der von ihr erzeugten Untergruppe $\langle E\rangle$ unterscheiden.

Ich habe es nun trotzdem mal umformuliert, da der Text erst mit der „üblichen“ Definition anfing und dann noch eine neue Definition lieferte, ohne zu sagen, daß es sich dabei eigentlich eher um einen mathematischen Satz (oder einen Hilfssatz) handelt, der besagt, daß beides dasselbe ergibt. Viele Grüße --Angela H. 14:05, 9. Jul. 2009 (CEST)

Mmh,okay. Da habe wohl zu schnell gelesen. Ich finde folgende Definition, aber trotzdem einfacher zu verstehen:

Es sei $(G,\circ )$ eine Gruppe und $E$ eine nichtleere Teilmenge von $G$. Dann ist

$\langle E\rangle :=\{x_{1}^{q_{1}}\circ \cdots \circ x_{1k}^{q_{k}}|k\in \mathbb {N} ,x_{1},\ldots ,x_{k}\in Eundq_{1},\ldots ,q_{k}\in \{1,-1\}_{}\}$

Die kleinster Untergruppe von $G$ die $E$ enthält. (nicht signierter Beitrag von Peanoaxiom (Diskussion | Beiträge) 23:03, 14. Aug. 2009 (CEST))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Aktuell bestehen keine Unklarheiten.FerdiBf (Diskussion) 15:38, 12. Apr. 2016 (CEST)

Verschiedene Bezeichnungen?

Hi. Kann es sein, dass in dem Artikel zwei verschiedene Namen für das neutrale Element existieren (e und $\varepsilon$)? Gruppentheorie#Untergruppen enthielt zudem den Namen 1 als Bezeichnung für das neutrale Element. Also bitte korrigiert mich, aber ich kenne und sehe keinen Unterschied zwischen diesen Notationen und würde deshalb das "e" in allen Artikeln vorziehen. Neutrales Element nennt es übrigens auch nur e... --Swoon 00:01, 3. Jul 2006 (CEST)

$\varepsilon$ ist mir noch nicht begegnet, aber 1 und e sind übliche Bezeichnungen, aber manchmal haben die neutralen Elemente ja schon andere Namen, wie z.B. "id" bei irgendwelchen Gruppen von Abbildungen. Eine Vereinheitlichung mag ja ganz nett sein, gibt aber nicht die mathematische Realität wieder.--Gunther 00:12, 3. Jul 2006 (CEST)

Hallo, also ich finde das $\varepsilon$ hier unüblich und denke, es sollte durch e ersetzt werden. Das ist nach meiner Erfahrung eine weit verbreitete Bezeichnung für das Neutralelement, wenn man allgemein über Gruppen spricht. Gruß, Wasseralm 13:34, 3. Jul 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Das Epsilon kommt nicht mehr im Artikel vor. Eine Wikipedia-weite Vereinheitlichung ist weder möglich noch wünschenswert, denn, wie bereits gesagt, gibt es für bestimmte Gruppen bereits feste Bezeichungen der neutralen Elemente. FerdiBf (Diskussion) 15:28, 12. Apr. 2016 (CEST)

Obergruppe?

Hallo. Für die Ringstruktur gibt es ja auch Unterring und Oberring. Wieso nicht auch für Gruppen? Grüße --WissensDürster 13:46, 5. Feb. 2009 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Der Begriff Obergruppe ist erwähnt.FerdiBf (Diskussion) 15:29, 12. Apr. 2016 (CEST)

allgemein, Unterstruktur

Eigentlich gibt es doch dann zu (allen?) Strukturen Unter- und Obergruppen oder?! Es ist lediglich die Teilmengenrelation bzw. Inklusion angewandt auf die jeweilige Trägermenge der betrachteten Struktur, die verändert wird - dann werden entsprechende Eigenschaft überprüft, wenn noch vorhanden ist es z.B. eine Unterstruktur !? Wenn das ungefähr korrekt ist, sollte es auch irgendwo stehen ... Grüße --WissensDürster 15:37, 11. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe in der Einleitung auf den abstrakteren Begriff der Unterstrukur verwiesen.--FerdiBf (Diskussion) 15:39, 12. Apr. 2016 (CEST)