Diskussion:Wahrheit/Archiv/2013

Gelöschter Abschnitt

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In der Aussagenlogik kann jeder Aussage ein Wahrheitswert zugeordnet werden. Ist diese Zuordnung auf dem Weg der logischen Ableitung möglich, spricht man auch von Entscheidbarkeit. Ein logischer Kalkül, in dem jede wohlgeformte (d.h. korrekt gebildete) Aussage entscheidbar ist, heißt vollständig.

wurde gelöscht mit der Begründung "hier wird einiges durcheinander geworfen: Prädikatenlogische Kalküle sind vollständig, aber die Theorie ist nicht vollständig, die Aussagen in dem Sinne nicht entscheidbar. Zusammenhang Wahrheitswertzuordnung<>Ableitung unklar, weg" (Version vom 2. August 2013, 15:16 Uhr Chricho (Diskussion | Beiträge). Diese Begründung kann ich nicht nachvollziehen. Wo ist im Abschnitt von der Vollständigkeit einer Theorie die Rede? "Aussagen in dem Sinne nicht entscheidbar" worauf bezieht sich das?-- Leif Czerny 20:46, 3. Aug. 2013 (CEST)

Eine Ableitung ist keine „Zuordnung eines Wahrheitswertes“. Zuordnung von Wahrheitswerten erfolgt über Interpretationen, das ist etwas ganz anderes und muss auch nicht eindeutig sein.
Ein Kalkül heißt vollständig (bzgl. einer Semantik), wenn jede bzgl. dieser Semantik allgemeingültige Aussage in dem Kalkül ableitbar ist, das hat mit Entscheidbarkeit nichts zu tun. Dagegen heißt eine Theorie – nicht aber ein Kalkül allein – vollständig, wenn jede (wohlgeformte) Aussage Element der Theorie ist oder ihre Negation Element der Theorie ist, was man auch „entscheidbar“ nennt. Es sah für mich so aus, als seien hier diese beiden Begriffe vermengt worden.
Außerdem ist es nicht nachvollziehbar, warum in der Einleitung ausgerechnet die Aussagenlogik thematisiert werden soll.

Grüße --Chricho ¹ ² ³ 00:03, 12. Aug. 2013 (CEST)

Hallo Chricho, schön, dass Du dich doch noch meldest. In einem Logischen Kalkül ist nicht automatisch jeder Aussage ein Wahrheitswert zugeweisen. Richtig ist, dass üblicherweise vor allem atomaren Aussagen im Rahmen einer Interpretation oder Belegung Wahrhetswerte zuweisen. Damit sind aber auch die Wahrheitswerte komplexerer Aussagen innerhalb dieser Interpretation bestimmt, andere Aussagen, nämlich die Tautologien sind in jeder Interpretation wahr, ihre Negationen in jeder falsch. Gemeint ist in dem von dir zur streichung vorhergesehenen Satz wohl, das für alle Aussagen entscheidbar ist, ob sie aus den gegebenen Axiomen folgen - und jetzt können wir uns wieder darum Streuten, ob eine Belegung ncith etwas ganz anderes ist als ein Axiom. Den unterschied, den Du Zwischen kalkülen und "Theorien" aufmachst, kenne ich wiederum unter diesem Namen nicht, sehe aber, dass es im Artikel Vollständikeit (Logik) ebenso gehalten wird. einen zusammenhang zwischen der Entscheidbarkeit der Gültigkeit eines Satzes in einer Solchen Theorie und ihrer Vollständigkeit sehe ich durchaus. Vermutlich würde die einleitung des Artikels aber auch mit einem verweis auf Logik und Wahrheitswert auskommen.-- Leif Czerny 18:33, 12. Aug. 2013 (CEST)

Sorry, ich hatte es auf der Beobachtungsliste übersehen, die Erinnerung per Revert hat geholfen.

Vollständigkeit einer Theorie ist wie gesagt als Entscheidbarkeit (wobei das etwas anderes als Entscheidbarkeit im Sinne der Berechenbarkeitstheorie ist) aller Sätze bzgl. dieser Theorie definiert. Einen kurzen Verweis halte ich auch für sinnvoller, mit der Bemerkung, dass es da verschiedene Konzepte gibt (wenn man in der Logik von einer Definition von Wahrheit (siehe den Undefinierbarkeitssatz von Tarski) spricht, meint man etwa etwas anderes als mit Wahrheit in einem Modell). --Chricho ¹ ² ³ 20:14, 12. Aug. 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: -- Leif Czerny 17:00, 17. Aug. 2013 (CEST)