Dispersionsrelation

In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz $\omega$ und der Kreiswellenzahl $k$. Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

$\omega =\Omega (k)$.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

$\omega =v_{\text{Phase}}\cdot k$,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit $v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}$. In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit $v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}$ oder im dreidimensionalen Fall ${\vec {v}}_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} {\vec {k}}}}$.

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik

Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls. Die Dispersionsrelation $\omega (k_{\mathrm {z} })$ lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen

Die Dispersionsrelation der Optik als Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in nichtleitenden Medien lautet:

$\omega ={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}\,k=\Omega (k)$

mit der Permittivität $\varepsilon$ und der Permeabilität $\mu$. Die Phasengeschwindigkeit von Licht in einem Medium beträgt

$v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}={\frac {c}{n(\omega )}}=c_{\text{M}}$

mit der der Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$. Der (komplexe) Brechungsindex $n$ tritt in Abhängigkeit der Kreisfrequenz $\omega$ auf:

$n(\omega )={\sqrt {{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\,{\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}}}\quad {\text{und }}c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}$

mit der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon _{0}$ und der magnetischen Feldkonstante $\mu _{0}$. Die Gruppengeschwindigkeit

$v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {c}{n(\omega )+\omega {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}}$

kann je nach Vorzeichen von ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}$ deutlich von der Phasengeschwindigkeit abweichen. Normale Dispersion liegt für ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}>0$ vor und anomale Dispersion für ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \omega }}}<0$.

Teilchenphysik und Materiewellen

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

$\omega ={\frac {E}{\hbar }}$

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls $p$

${\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }},$

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung) der Materiewelle, z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

${\begin{aligned}&&E&={\frac {p^{2}}{2m}}\\\Rightarrow &&\hbar \,\omega &={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\\\Leftrightarrow &&\omega &={\frac {\hbar }{2m}}k^{2}=\Omega (k),\end{aligned}}$

wobei $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum und $m$ die Masse des Teilchens bezeichnet. Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle eines freien Teilchens beträgt

$v_{\text{Phase}}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}$

und die Gruppengeschwindigkeit:

$v_{\text{Gruppe}}={\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\hbar k}{m}}=2\cdot v_{\text{Phase}}$

Das Ergebnis erlaubt die klassische Beschreibung des freien Teilchens mit der Geschwindigkeit $v_{\text{Gruppe}}=v=p/m$ in Fällen, in denen diese gültig ist. Die Heisenbergsche Unschärferelation der Genauigkeit von Ort und Impuls kennt z. B. für ein Staubkorn keine beobachtbare Grenze.

Festkörperphysik

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.

Literatur

• Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f. 
• Dispersionsrelation. In: Ulrich Kilian u. Christine Weber (Hrsg.): Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 978-3-86025-296-3 (spektrum.de). 
• Dispersionsrelation. In: Harry Paul (Hrsg.): Lexikon der Optik. Spektrum Akademischer Verlag, 1999, ISBN 978-3-8274-0382-7 (spektrum.de).