Distanzfunktion

mathematische Funktion

Distanzfunktionen sind bestimmte reellwertige Abbildungen metrischer Räume, die die Eigenschaften der zugrunde liegenden Metrik auf einstellige Funktionen übertragen. Das Konzept von Distanzfunktionen wurde 2011 von Chazal, Cohen-Steiner und Mérigot eingeführt und besitzt unter anderem Anwendungsmöglichkeiten in der geometrischen und der stochastischen Maßtheorie sowie im Data-Mining.[1]

Definition

Bearbeiten

Sei   ein nicht-leerer metrischer Raum, dessen Metrik ohne Beschränkung der Allgemeinheit durch eine Norm   induziert sei (vgl. Satz von Kunugui).

Eine Distanzfunktion auf   ist nun eine Abbildung   (die also keine negativen Werte annimmt), mit den folgenden drei Eigenschaften:

  1. Die Funktion selbst ist 1-Lipschitz-stetig: Für je zwei Punkte   gilt also  
  2. Das Quadrat der Funktion ist 1-semikonkav: Dies ist äquivalent dazu, dass   eine konkave Funktion ist.
  3. Die Funktion divergiert, wann immer die Norm es tut: Für jedes Netz   in   mit   gilt auch  .

Pseudo-Distanzfunktion

Bearbeiten

Streng genommen genügt es bereits, die zweite und dritte Eigenschaft der obigen Definition zu fordern, da aus der 1-Semikonkavität des Quadrates einer Funktion bereits die 1-Lipschitz-Stetigkeit der ursprünglichen Abbildung folgt.[2] Allerdings ist die erste Eigenschaft anschaulich genau das, was eine Funktion distanzartig macht: Es lässt sich leicht nachrechnen, dass   genau dann 1-Lipschitz-stetig ist, wenn sie mit der Metrik   verträglich ist, wenn also für je zwei Elemente   stets   gilt.

In abschwächender Sprechweise wird eine Funktion   daher auch Pseudo-Distanzfunktion genannt, wenn sie 1-Lipschitz-stetig ist und mit der Norm divergiert.

Distanzfunktion zu einer Menge

Bearbeiten

Der Prototyp einer Distanzfunktion ist der Abstand zu einer kompakten Teilmenge  , der durch   erklärt wird.[3] Die Kompaktheit bewirkt hier, dass das Infimum stets für mindestens einem Punkt aus   tatsächlich angenommen wird. Die 1-Lipschitz-Stetigkeit folgt dann aus der Dreiecksungleichung.

Distanzfunktion zu einem Maß

Bearbeiten

Sei nun   zusätzlich mit einem Maß   versehen und   eine reelle Zahl, so lässt sich zeigen, dass durch

 

eine Pseudo-Distanzfunktion erklärt ist, wobei   die abgeschlossene Kugel um   mit Radius   bezeichne.[3]

Für jede reelle Zahl   heiße nun die Abbildung

 

die Distanzfunktion zum Maß   mit Parameter  .

Differenzierbarkeit

Bearbeiten

Nach dem Satz von Rademacher sind (Pseudo-)Distanzfunktionen fast überall metrisch differenzierbar, da sie Lipschitz-stetig sind.

Ist speziell   euklidisch, dann folgt aus dem Satz von Alexandrow mit der Semikonkavität des Quadrates auch die zweifache (totale) Differenzierbarkeit von Distanzfunktionen fast überall.

Dies ermöglicht eine eingehende Untersuchung von Distanzfunktionen und den zugrunde liegenden Räumen durch die Betrachtung des Gradienten vergleichbar mit der Morsetheorie in der Differentialtopologie.[4]

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: Geometric Inference for Probability Measures. In: Foundations of Computational Mathematics. Bd. 11, Nr. 6, 2011, ISSN 1615-3375, S. 733–751, doi:10.1007/s10208-011-9098-0, Webarchiv (PDF; 628 kB) (Memento vom 19. Dezember 2013 im Internet Archive).
  2. Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: Geometric Inference for Probability Measures. In: Foundations of Computational Mathematics. Bd. 11, Nr. 6, 2011, ISSN 1615-3375, S. 733–751, Proposition 3.1, doi:10.1007/s10208-011-9098-0, Webarchiv (PDF; 628 kB) (Memento vom 19. Dezember 2013 im Internet Archive).
  3. a b Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: Geometric Inference for Probability Measures. In: Foundations of Computational Mathematics. Bd. 11, Nr. 6, 2011, ISSN 1615-3375, S. 733–751, Section 3, doi:10.1007/s10208-011-9098-0, Webarchiv (PDF; 628 kB) (Memento vom 19. Dezember 2013 im Internet Archive).
  4. Karsten Grove: Critical Point Theory for Distance Functions. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Bd. 54, Nr. 3, 1993, ISSN 0082-0717, S. 357–385, (Grove gebraucht hier den Begriff distance function im Sinne obiger Definition, ohne jedoch die umfassende Theorie von Chazal et al. vorwegzunehmen.).