Dolbeault-Kohomologie

Theorie für komplexe Mannigfaltigkeiten

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

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Im Folgenden werde mit   die Menge der  -Differentialformen bezeichnet. Sei   eine  -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit,   eine offene Teilmenge und

 

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

 

 -ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt   Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach   Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von   ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

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Aus diesem  -ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt  -te Dolbeault-Kohomologie und wird durch   notiert. Die  -te Kohomologiegruppe der  -ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die  -te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

 

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

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Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit   wird die Garbe der holomorphen  -Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit   bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die  -te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen  -Formen   isomorph zur  -ten Kohomologiegruppe der  -ten Dolbeault-Kohomologie   ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

 

Literatur

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  • P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
  • Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).