Doob-Dynkin-Lemma

Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien $X$ und $Y$ zwei Abbildungen $\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$. In Anwendungen ist $\Omega$ in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X$ und $Y$ sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man $Y$ bereits aus $X$ berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion $h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ gibt, so dass $Y=h\circ X$.

Ist nun ${\mathcal {A}}$ eine σ-Algebra auf $\Omega$ und ist $X$ ${\mathcal {A}}$-messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion $h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit $Y=h\circ X$, dass auch $Y$ ${\mathcal {A}}$-messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man ${\mathcal {A}}$ so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

${\mathcal {A}}=\sigma (X):=\{X^{-1}(B);\,B\subset \mathbb {R} ^{n}\,{\rm {Borelmenge}}\}$,

die sogenannte von $X$ erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen $X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es gibt eine Borel-messbare Funktion $h:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ mit $Y=h\circ X$.
2. $Y$ ist $\sigma (X)$-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist $Y$ bezüglich der von $X$ erzeugten σ-Algebra messbar, so kann $Y$ keine Information enthalten, die nicht bereits in $X$ steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen

• A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
• M. M. Rao, R. J. Swift: Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7