Die Duffin–Schaeffer-Vermutung ist ein 2019 von Dimitris Koukoulopoulos und James Maynard bewiesener und ursprünglich 1941 R. J. Duffin und A. C. Schaeffer vermuteter Lehrsatz der analytischen Zahlentheorie.

Sei   eine beliebige Funktion, die positive Werte annimmt. Dann gibt es genau dann für Lebesgue-fast alle   unendlich viele rationale Zahlen   mit teilerfremden   mit

 ,

wenn

 

mit der Eulerschen Phi-Funktion   gilt.

Die Hinrichtung folgt aus dem Borel-Cantelli-Lemma. Koukoulopoulos und Maynard bewiesen 2019 die Rückrichtung.

Beispiele

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Für   folgt aus dem Approximationssatz von Dirichlet, dass alle irrationale Zahlen   die gewünschte Eigenschaft haben. Der Satz von Chintschin gibt die Aussage der Duffin-Schaeffer-Vermutung für den Fall, dass   eine monoton fallende Folge und   ist.

Literatur

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  • Duffin-Schaeffer: Khintchine's problem in metric diophantine approximation, Duke Math. J. 8, 243–255 (1941)
  • Koukoulopoulos-Maynard: On the Duffin-Shaeffer conjecture, Ann. Math. 192, 251–307 (2020)
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