Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für Zwei-Punkt- und Drei-Punkt-Funktionen in der Quantenelektrodynamik durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden, doch gelten diese Integralgleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen die vollen (dressed) renormierten Green-Funktionen dar durch einen wechselwirkungsfreien Anteil, die sogenannten nackten (bare) Green-Funktionen, und einen wechselwirkungsbehafteten Teil, der alle möglichen Wechselwirkungen der beteiligten Felder beinhaltet.

Die Dyson-Gleichung des Elektronpropagators

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:

• für den Elektron-Propagator: $S=S_{0}+S_{0}\Sigma S$
• für den Photon-Propagator: $D^{\mu \nu }=D_{0}^{\mu \nu }+D_{0}^{\mu \alpha }\Pi _{\alpha \beta }D^{\beta \nu }$
• für den Elektron-Photon-Vertex: $\Gamma _{\mu }=\gamma _{\mu }+\Lambda _{\mu }$

wobei

• die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
• die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also
  • $\Sigma$ die Elektron-Selbstenergie
  • $\Pi _{\alpha \beta }$ die Photon-Vakuumpolarisation.

Die ersten zwei Gleichungen sind Einteilchenfälle (n=1) der allgemeinen Form für n Teilchen, die heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

$G^{n}=G_{0}^{n}+G_{0}^{n}K^{n}G^{n}$

mit

• der vollen Green-Funktion $G^{n}$
• der Green-Funktion $G_{0}^{n}$ für n wechselwirkungsfreie Teilchen
• den irreduziblen Wechselwirkungen $K^{n}$.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

Siehe auch

• Bethe-Salpeter-Gleichung