Ellipsograph des Archimedes

Mechanismus

Der Ellipsograph, Ellipsenzirkel des Archimedes[1] oder Stuckateurzirkel[2][3] ist ein Mechanismus, der die Form einer Ellipse erzeugt.

Ellipsograph des Archimedes als 3D-Animation
Einstellbarer Ellipsograph, hergestellt circa 1900

Er besteht im Wesentlichen aus drei unterschiedlichen Bauteilen:

  1. einer Grundplatte mit zwei rechtwinklig zueinander liegenden Führungsnuten (andere Konfigurationen sind technisch möglich, aber unüblich),
  2. einem Zeichenarm mit der Halterung für den Zeichenstift bei Punkt sowie zwei Gelenkaugen und ,
  3. zwei Kulissensteine mit Lagerbolzen, eingeschoben in den Führungsnuten der Grundplatte, verbinden die Grundplatte im Punkt und mit dem damit beweglichen Zeichenarm.

Der Abstand zwischen Zeichenstift und dem ersten Gelenkauge sei , der Abstand zwischen den Gelenken . Durch Variieren von und können bezüglich Größe und Form unterschiedliche Ellipsen gezeichnet werden. So ist die Länge der großen Halbachse und die Länge der kleinen Halbachse .[4]

Die Geschichte dieses Mechanismus ist nicht gesichert. Es wird angenommen, dass Proklos den Mechanismus kannte,[5] aber eventuell war der Mechanismus bereits zu archimedischen Zeiten bekannt.

Es existiert ein britisches Patent für diesen Mechanismus von 1894.[6]

Der Mechanismus ist auch bekannt als:

  • Archimedischer Ellipsograph[7]
  • Der Ellipsograph des Proklos[8]

Mathematische Grundlagen

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Skizze vom Ellipsograph mit den Kenngrößen und eingezeichnetem Viertel der Ellipse,[9] Animation, Start nach 30 s Pause

Wie in der nebenstehenden Skizze zu sehen ist, hat die Strecke   die gleiche Länge wie die Halbachse   und die Strecke   die gleiche Länge wie die Halbachse   der Ellipsenlinie  .[5] Da die beiden rechtwinkligen Dreiecke   und   zueinander ähnlich sind, ist folgerichtig der Winkel   der Z-Winkel von  .

Für die allgemeine Bestimmung des Punktes   im kartesischen Koordinatensystem gilt nach dem Satz des Pythagoras

 , daraus folgt
 ,
 , somit ist
 .

Die mit dem Mechanismus vom Ellipsographen und dem Zeichenstift im Punkt   erzeugbare Linie ist eine sogenannte Ellipse in der 1. Hauptlage, denn wird für die große Halbachse   die Länge   sowie für die kleine Halbachse   die Länge   eingesetzt, entspricht die gefundene Gleichung der für die Ellipse in der 1. Hauptlage:

 .

Äquivalenz zu den Cardanischen Kreisen

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Cardanische Kreise (schwarz) und Ellipsograph (grau). Der Momentanpol ist mit einem pinkfarbenen Punkt markiert. Zwei beispielhafte Ellipsen erscheinen rot und hellblau.

Als Cardanische Kreise bezeichnet man eine geometrische Anordnung, bei der ein kleiner Kreis in einem doppelt so großen feststehenden Kreis abrollt. Die ausgeführte Bewegung ist dieselbe, die der Zeichenarm ausführt. Die Strecke   liegt hierbei auf einem Durchmesser des kleinen Kreises. Somit kann mit einem Spirograph eine Ellipse[10] erzeugt werden, wenn das innere Zahnrad halb so viele Zähne hat wie das Hohlrad, in dem es abrollt. Diese Analogie veranschaulicht auch, dass sich der Momentanpol des Zeichenarms auf dem Außenkreis mit dem Radius   bewegt.

Anwendungen

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Der Mechanismus wurde als Physikspielzeug für Kinder verkauft.[11]

Ein US-Patent benutzt das Prinzip des Ellipsographen für einen Ellipsenschneider.[12]

Varianten

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Literatur

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Chris Sangwin: The wonky trammel of Archimedes, This article provides brief notes on an ancient problem: the ellipsograph of Archimedes. (PDF) In: citeseerx.ist.psu.edu. School of mathematics, University of Birmingham …, 25. Juli 2008, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 9. April 2017.

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Commons: Ellipsenzirkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. Ellipsenzirkel. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 5: Differenzgeschäfte–Erde. Bibliographisches Institut, Leipzig / Wien 1906, S. 720–721 (Digitalisat. zeno.org).
  2. Franz Reuleaux: Theoretische Kinematik: Grundzüge einer Theorie des Maschinenwesens. 1875, S. 318 (Volltext in der Google-Buchsuche).
  3. Franz Reuleaux, Alexander Kennedy: Kinematics of Machinery: Outlines of a Theory of Machines. 1876, S. 318, Fig. 248 (siehe Fußnote) (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
  4. Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org – Fig. 2).
  5. a b Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org).
  6. Patent GB189402496: Ellipsograph. Angemeldet am 5. Mai 1894, Erfinder: Heinel Gustav, Barth Carl.Text, Zeichnung (S. 3)
  7. Archimedischer Ellipsograph. In: webenergie.ch. Do-it-yourSciences, Die Plattform für wissenschaftliche und pädagogische Werkarbeiten, 16. März 2010, abgerufen am 6. April 2017.
  8. Der Ellipsograph des Proklos. In: Die kinematischen geometrischen Mechanismen der Griechen der Antike. Kotsanas Museum of Ancient Greek Technology, abgerufen am 6. April 2017.
  9. Ellipsenzirkel oder Ellipsograph. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 3. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1906, S. 436–437 (Digitalisat. zeno.org – Fig. 1).
  10. Cardanische Kreise. In: Luegers Lexikon der gesamten Technik. 2. Auflage. Band 2. Deutsche Verlags-Anstalt, Leipzig / Stuttgart 1905, S. 423–424 (Digitalisat. zeno.org – „Von De la Hire wurde nachgewiesen …“, Fig. 1).
  11. Entertainment Center: Kentucky Do-Nothing. In: flickr.com. Scott Kraft, 22. März 2009, abgerufen am 6. April 2017.
  12. Patent US4306598: Ellipse cutting machine, siehe Fig. 1 und Fig. 2. Angemeldet am 26. Juni 1980, veröffentlicht am 22. Dezember 1981, Erfinder: David G. Peot.