Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe
S
U
(
3
)
{\displaystyle SU(3)}
Seien
k
=
(
k
1
,
k
2
,
k
3
)
{\displaystyle k=(k_{1},k_{2},k_{3})}
l
=
(
l
1
,
l
2
,
l
3
)
{\displaystyle l=(l_{1},l_{2},l_{3})}
k
1
+
k
2
+
k
3
=
l
1
+
l
2
+
l
3
{\displaystyle k_{1}+k_{2}+k_{3}=l_{1}+l_{2}+l_{3}}
S
1
=
{
z
∈
C
:
|
z
|
=
1
}
{\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\right\}}
Lie-Gruppe
S
U
(
3
)
{\displaystyle SU(3)}
Diagonalmatrix
diag
(
z
k
1
,
z
k
2
,
z
k
3
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})}
diag
(
z
l
1
,
z
l
2
,
z
l
3
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})}
Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum
E
k
l
=
diag
(
z
k
1
,
z
k
2
,
z
k
3
)
∖
S
U
(
3
)
/
diag
(
z
l
1
,
z
l
2
,
z
l
3
)
{\displaystyle E_{kl}=\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})\backslash SU(3)/\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})}
Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung , wenn
diag
(
z
k
1
,
z
k
2
,
z
k
3
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})}
diag
(
z
l
1
,
z
l
2
,
z
l
3
)
{\displaystyle \operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})}
konjugiert ist, also wenn
k
g
V
(
k
1
−
l
1
;
k
2
−
l
2
)
=
1
,
k
g
V
(
k
1
−
l
2
;
k
2
−
l
1
)
=
1
,
k
g
V
(
k
1
−
l
1
;
k
2
−
l
3
)
=
1
,
{\displaystyle kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{2})=1,\ kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{3})=1,}
k
g
V
(
k
1
−
l
2
;
k
2
−
l
3
)
=
1
,
k
g
V
(
k
1
−
l
3
;
k
2
−
l
1
)
=
1
,
k
g
V
(
k
1
−
l
3
;
k
2
−
l
2
)
=
1
{\displaystyle kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{3})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{2})=1}
gilt.
Für
l
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle l=(0,0,0)}
Aloff-Wallach-Räume .
Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der
S
U
(
3
)
{\displaystyle SU(3)}
E
k
l
{\displaystyle E_{kl}}
[ 1] Schnittkrümmung , wenn
k
i
∉
[
min
(
l
1
,
l
2
,
l
3
)
,
max
(
l
1
,
l
2
,
l
3
)
]
{\displaystyle k_{i}\notin \left[\min(l_{1},l_{2},l_{3}),\ \max(l_{1},l_{2},l_{3})\right]}
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,2,3}
gilt.
Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
E
k
l
≃
E
l
k
{\displaystyle E_{kl}\simeq E_{lk}}
E
k
l
{\displaystyle E_{kl}}
E
−
k
,
−
l
{\displaystyle E_{-k,-l}}
k
{\displaystyle k}
l
{\displaystyle l}
Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang
3
{\displaystyle 3}
[ 2]
Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung
E
k
l
{\displaystyle E_{kl}}
k
=
(
k
1
,
k
2
,
l
1
+
l
2
−
k
1
−
k
2
)
{\displaystyle k=(k_{1},k_{2},l_{1}+l_{2}-k_{1}-k_{2})}
l
=
(
l
1
,
l
2
,
0
)
{\displaystyle l=(l_{1},l_{2},0)}
k
1
≥
k
2
>
l
1
≥
l
2
≥
0
{\displaystyle k_{1}\geq k_{2}>l_{1}\geq l_{2}\geq 0}
Für die Kohomologiegruppen gilt
H
1
(
E
k
l
)
=
0
,
H
2
(
E
k
l
)
=
Z
{\displaystyle H^{1}(E_{kl})=0,H^{2}(E_{kl})=\mathbb {Z} }
H
3
(
E
k
l
)
=
0
,
H
4
(
E
k
l
)
=
Z
/
r
Z
{\displaystyle H^{3}(E_{kl})=0,H^{4}(E_{kl})=\mathbb {Z} /r\mathbb {Z} }
mit
r
=
|
k
1
k
2
+
k
1
k
3
+
k
2
k
3
−
l
1
l
2
−
l
1
l
3
−
l
2
l
3
|
{\displaystyle r=\vert k_{1}k_{2}+k_{1}k_{3}+k_{2}k_{3}-l_{1}l_{2}-l_{1}l_{3}-l_{2}l_{3}\vert }
H
4
{\displaystyle H^{4}}
Quadrat des Erzeugers von
H
2
{\displaystyle H^{2}}
J.-H. Eschenburg : New examples of manifolds with strictly positive curvature , Invent. Math. 66, 469-480 (1982)K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces , Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002)
L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature , Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004)
B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces , Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005)
K. Grove , K. Shankar, W. Ziller : Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem , Asian J. Math. 10, 647-661 (2006)T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds , Math. Ann. 339, 3-20 (2007)
↑ Eschenburg, op. cit.
↑ Grove-Shankar-Ziller, op. cit.
![{\displaystyle k_{i}\notin \left[\min(l_{1},l_{2},l_{3}),\ \max(l_{1},l_{2},l_{3})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59dc961cdb040db9c7e18f752371953d9bb0284)
