Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus einer konvergenten Zahlenreihe eine andere Zahlenreihe mit identischer Reihensumme. Das einfache Verfahren wurde zuerst von Nicolas Fatio auf die Leibniz-Reihe angewandt und von Leonhard Euler auf beliebige Reihen verallgemeinert. In manchen Fällen konvergiert die transformierte Reihe schneller als die ursprüngliche Reihe. Dies ermöglicht eine bessere numerische Berechnung der ursprünglichen Reihe (Konvergenzbeschleunigung). In einigen Fällen eröffnet sich damit auch die Möglichkeit für eine Auswertung der Reihensumme mittels Mathematischer Konstanten. Im Fall der Divergenz der ursprünglichen Reihe kann eine Reihentransformation auch ein Limitierungsverfahren liefern, indem die transformierte Reihe gegen einen Wert konvergiert.

Definition

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Reihe   und transformierte Reihe   sind gegeben durch

 

Hierbei ist der Operator   definiert durch  . Im Fall einer alternierenden Reihe erzeugt   Differenzen von Absolutbeträgen von Reihentermen. Die Terme von   sind bis auf eine Zweierpotenz und Vorzeichen die Binomialtransformierten von  .

Dass die Euler-Transformierte dieselbe Reihensumme ergibt, lässt sich mit Hilfe von

 

verifizieren (y=1).

Herleitung

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Die Idee der eulerschen Reihentransformation (Nikolaus Fatio) besteht darin, aus der ursprünglichen Reihe   durch Zusammenfassung aufeinanderfolgender Reihenterme zunächst eine neue Reihe

 

zu generieren. Für eine alternierende Reihe mit streng monoton fallenden Absolutbeträgen ist   ebenfalls alternierend. Die eulersche Reihentransformation ergibt sich dann durch wiederholte Anwendung des Verfahrens auf die jeweils im vorherigen Schritt erzeugte Reihe.

Leonhard Euler gelangt auf einem anderen Weg zum Ziel. Er definiert (sinngemäß) eine Funktion

 

setzt  , entwickelt nach   und setzt  , d. h.  .

Andere Reihentransformationen

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Ein Vergleich mit anderen Reihentransformationen ist möglich, wenn man die Partialsummen   von   durch die Partialsummen  ,   von   ausdrückt,

 

Der Binomialkoeffizient approximiert bei großem   als Funktion von   eine Gaußkurve mit Mittelwert   und Standardabweichung  . Die Partialsumme   ist daher (asymptotisch) ein mit einer Gaußkurve gewichtetes Mittel von Partialsummen von  .

Das Cesàro-Mittel einer Reihe ist dagegen das arithmetische Mittel der Partialsummen  .

Geschichte

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Bereits James Stirling hat 1730 in seinem Methodus differentialis Reihentransformationen an Beispielen angegeben.

Beispiele

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  • Die Reihe
 
liefert die schneller konvergente Reihe
 
  • Die Eulersche Reihentransformation liefert jedoch nicht in allen Fällen eine schneller konvergente Reihe. Im Beispiel
 
ergibt sich die langsamer konvergente Reihe
 
  • Im Fall einer divergenten Reihe kann die Eulersche Reihentransformation ein Limitierungsverfahren darstellen. Im Beispiel
 
ergibt sich die konvergente Reihe
 
Man sagt dann, dass die Reihe E-limitierbar ist.
  • Eine weniger triviale Anwendung ist die in ganz   konvergente Reihe für die dirichletsche η-Funktion.

Weitere Reihentransformationen

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Neben der Eulerschen Reihentransformation gibt es:

Literatur

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