Die Leibniz-Reihe ist eine Formel zur Annäherung an die Kreiszahl
π
{\displaystyle \pi }
Gottfried Wilhelm Leibniz in den Jahren 1673–1676 entwickelte und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum [ 1]
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
=
1
−
1
3
+
1
5
−
1
7
+
1
9
−
⋯
=
π
4
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}}
Diese Formel war dem indischen Mathematiker Madhava bereits im 14. Jahrhundert bekannt, weswegen sie mittlerweile auch Madhava-Leibniz-Reihe genannt wird, und dem schottischen Mathematiker Gregory bereits vor 1671; Leibniz entdeckte sie für die kontinentaleuropäische Mathematik neu. Die Reihe wird daher manchmal auch zusätzlich nach Gregory benannt.
Die Konvergenz dieser Reihe folgt unmittelbar aus dem Leibniz-Kriterium . Die Konvergenz ist logarithmisch .
Die Leibniz-Reihe kann so hergeleitet werden:
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∫
0
1
x
2
k
d
x
=
∫
0
1
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
2
k
]
d
x
=
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{2k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
x
2
+
1
d
x
=
[
arctan
(
x
)
]
x
=
0
x
=
1
=
arctan
(
1
)
=
π
4
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl [}\arctan(x){\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}
Auf der Geometrischen Reihe basiert die Umwandlung von der unendlichen Summe der Standard-Polynomfunktionen zur gezeigten gebrochen rationalen Funktion.
Mit Hilfe der Leibniz-Reihe lässt sich eine Näherung der Kreiszahl
π
{\displaystyle \pi }
π
=
4
⋅
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
=
lim
n
→
∞
(
4
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
2
k
+
1
)
{\displaystyle \pi =4\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\lim \limits _{n\to \infty }\left(4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)}
Die folgende Liste zeigt die Folgenglieder der Folge von Partialsummen der mit 4 multiplizierten Leibniz-Reihe.
Da die Folge nur sehr langsam konvergiert, ist sie zur effizienten Berechnung von
π
{\displaystyle \pi }
Bemerkenswert ist die Tatsache, dass in der letzten Tabellenzeile die 9. Nachkommastelle noch nicht richtig ist, hingegen die nächsten 6 (...589793...) mit der Kreiszahl
π
{\displaystyle \pi }
n
4
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
2
k
+
1
{\displaystyle 4\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
4
⋅
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
2
k
+
1
{\displaystyle 4\cdot \sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
Mittelwert
2
2,6666666666666665 3,4666666666666668
3,0666666666666664
4
2,8952380952380952 3,3396825396825394
3,1174603174603175
8
3,0170718170718169
3,2523659347188758
3,1347188758953464
16
3,0791533941974261
3,2003655154095472
3,1397594548034866
32
3,1103502736986859
3,1718887352371476
3,1411195044679165
64
3,1259686069732875
3,1569763589112720
3,1414724829422798
100
3,1315929035585528
3,1514934010709905
3,1415431523147719
1000
3,1405926538397928
3,1425916543395429
3,1415921540896679
10000
3,1414926535900429
3,1416926435905430
3,1415926485902927
100000
3,1415826535897935
3,1416026534897941
3,1415926535397936
1000000
3,1415916535897930
3,1415936535887932
3,1415926535892931
10000000
3,1415925535897928
3,1415927535897827
3,1415926535897878
100000000
3,1415926435897932
3,1415926635897931
3,1415926535897931
1000000000
3,1415926525897930
3,1415926545897932
3,1415926535897931
Die Eulersche Reihentransformation erzeugt aus der Leibniz-Reihe die schneller konvergierende Reihe (Nicolas Fatio , 1705)
π
4
=
1
2
(
1
+
1
1
⋅
3
+
1
⋅
2
1
⋅
3
⋅
5
+
.
.
.
+
1
⋅
2...
n
1
⋅
3
⋅
5...
(
2
n
+
1
)
+
.
.
.
)
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 3\cdot 5}}+...+{\frac {1\cdot 2...n}{1\cdot 3\cdot 5...(2n+1)}}+...\right).}
Verbesserte Verfahren mit anderen Reihen sind im Artikel Kreiszahl aufgeführt.
Zur Leibniz-Reihe können einige analoge Abwandlungen erstellt werden.
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
≈
0,693
1471805599453
=
ln
(
2
)
{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\approx 0{,}6931471805599453=\ln(2)}
Herleitung dieses Wertes:
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∫
0
1
x
k
d
x
=
∫
0
1
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
k
]
d
x
=
∫
0
1
1
x
+
1
d
x
=
ln
(
2
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+1}}\,\mathrm {d} x=\ln(2)}
Dies ist ein kubisches Analogon zur Leibniz-Reihe:
1
−
1
4
+
1
7
−
1
10
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
3
k
+
1
≈
0,835
648848264721
=
1
9
3
π
+
1
3
ln
(
2
)
{\displaystyle 1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{10}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}\approx 0{,}835648848264721={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)}
Herleitung dieses Wertes:
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
3
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∫
0
1
x
3
k
d
x
=
∫
0
1
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
3
k
]
d
x
=
∫
0
1
1
x
3
+
1
d
x
=
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{3k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{3k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{3}+1}}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
2
1
x
2
−
x
+
1
+
1
3
1
x
+
1
−
1
6
2
x
−
1
x
2
−
x
+
1
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\,{\frac {1}{x^{2}-x+1}}+{\frac {1}{3}}\,{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{6}}\,{\frac {2x-1}{x^{2}-x+1}}\,\mathrm {d} x=}
=
{
1
3
3
arctan
[
1
3
3
(
2
x
−
1
)
]
+
1
6
ln
[
(
x
+
1
)
2
x
2
−
x
+
1
]
}
x
=
0
x
=
1
=
{\displaystyle ={\biggl \{}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(2x-1){\bigr ]}+{\frac {1}{6}}\ln {\biggl [}{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=}
=
1
3
3
arctan
(
1
3
3
)
−
1
3
3
arctan
(
−
1
3
3
)
+
1
6
ln
(
4
)
=
1
9
3
π
+
1
3
ln
(
2
)
{\displaystyle ={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}{\bigr )}+{\frac {1}{6}}\ln(4)={\frac {1}{9}}{\sqrt {3}}\,\pi +{\frac {1}{3}}\ln(2)}
Und das ist ein quartisches Analogon zur Leibniz-Reihe:
1
−
1
5
+
1
9
−
1
13
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
4
k
+
1
≈
0,866
972987339911
=
1
8
2
π
+
1
4
2
arsinh
(
1
)
{\displaystyle 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{13}}+\dotsb =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}\approx 0{,}866972987339911={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)}
Herleitung dieses Wertes:
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
4
k
+
1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
∫
0
1
x
4
k
d
x
=
∫
0
1
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
x
4
k
]
d
x
=
∫
0
1
1
x
4
+
1
d
x
=
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{4k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
1
4
1
x
2
+
2
x
+
1
+
1
4
1
x
2
−
2
x
+
1
+
1
8
2
2
x
+
2
x
2
+
2
x
+
1
−
1
8
2
2
x
−
2
x
2
−
2
x
+
1
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x+{\sqrt {2}}}{x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,{\frac {2x-{\sqrt {2}}}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}\,\mathrm {d} x=}
=
[
1
2
2
arctan
(
2
x
x
4
+
1
−
x
2
+
1
)
+
1
8
2
ln
(
x
2
+
2
x
+
1
x
2
−
2
x
+
1
)
]
x
=
0
x
=
1
=
{\displaystyle ={\biggl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan {\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}{\bigr )}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl (}{\frac {x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=}
=
1
2
2
arctan
(
1
)
+
1
8
2
ln
(
2
+
2
2
−
2
)
=
1
8
2
π
+
1
4
2
arsinh
(
1
)
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan(1)+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl (}{\frac {2+{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\pi +{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}\operatorname {arsinh} (1)}
↑ Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz: Leibnizens mathematische Schriften: Mathematik . A. Asher, 1858 (google.it [abgerufen am 31. Januar 2023]).
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{2k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{2k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a22373780159c248026f7f825bcc64fdff5363)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\biggl [}\arctan(x){\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24813f10e9f5b6e2a6faf531b8c48335868946cc)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x+1}}\,\mathrm {d} x=\ln(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09469adad2875e9347cb9a799358923bd8bc63f4)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{3k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{3k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{3k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{3}+1}}\,\mathrm {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a863b85697e7dcd0db2965b0be7215b2d0ecc16a)
![{\displaystyle ={\biggl \{}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\arctan {\bigl [}{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(2x-1){\bigr ]}+{\frac {1}{6}}\ln {\biggl [}{\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}-x+1}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26e0d13ec27a719530baf4992c12304ac6eb0da)
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4k+1}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{1}x^{4k}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{4k}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{4}+1}}\,\mathrm {d} x=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe1df68e5afee63035ad3f46a9eaa04c329ce3e)
![{\displaystyle ={\biggl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\arctan {\bigl (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{{\sqrt {x^{4}+1}}-x^{2}+1}}{\bigr )}+{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}}\ln {\bigl (}{\frac {x^{2}+{\sqrt {2}}\,x+1}{x^{2}-{\sqrt {2}}\,x+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fe17cc4c45d001d9a1098af134a4a4a5a0b232)
