Evolution (Mathematik)

In der Mathematik definiert man die Evolution $\Phi$ einer Differentialgleichung $x'(t)=f(t,x(t))$ als eine zweiparametrige Abbildung, gegeben durch:

$\Phi ^{t,t_{0}}x_{0}:=x(t)$

wobei

• $x(t)$ die Lösung des Anfangswertproblems ist, das aus der o. g. Dgl. und der Anfangsbedingung $x(t_{0})=x_{0}$ besteht, und
• $|t-t_{0}|$ hinreichend klein sein soll.

In Worten: Die Evolution bildet den Wert $x_{0}$ einer beliebigen Lösungskurve $x$ zum Zeitpunkt $t_{0}$ ab auf den Wert $x(t)$ der Lösungskurve zum Zeitpunkt $t$. Sie beschreibt also die weitere Entwicklung der Lösung ausgehend vom Startpunkt $x_{0}$.

Die Evolution der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:

• $\Phi ^{t_{0},t_{0}}x_{0}=x_{0}$
• ${\frac {d}{d\tau }}\Phi ^{t+\tau ,t}x|_{\tau =0}=f(t,x(t))$
• $\Phi ^{t_{2},t_{1}}\Phi ^{t_{1},t}x_{0}=\Phi ^{t_{2},t}x_{0}$ für $t\leq t_{1}\leq t_{2}$ (Transitivität).

Im Fall autonomer Differentialgleichungen $x'=f(x)$ ist die Startzeit $t_{0}$ beliebig. Man schreibt dann statt $\Phi ^{t,t_{0}}$ einfach $\Phi ^{t}$ und bezeichnet $\Phi ^{t}$ als Phasenfluss.