Fahne (Mathematik)

Als Fahne wird in der linearen Algebra eine Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, dass die ersten drei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – wie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.

Darstellung einer Vektorraumfolge in Form einer Fahne

Definition

Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ ist eine endliche Folge $(V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n})$ von Untervektorräumen von $V$ mit $V_{0}=0$ und $V_{n}=V$, so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

$V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{n}.$

Ist $\dim V=n$ oder äquivalent dazu $\dim V_{i}=i$ für $i=0,\ldots ,n$, so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.

Beispiele

Ist $(v_{1},\ldots ,v_{d})$ eine Basis von $V$, so ist durch

$V_{i}=\langle v_{k}\mid 1\leq k\leq i\rangle _{K}$

eine vollständige Fahne definiert. Das Datum der Fahne ist jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.

Typ von Fahnen

Sind $(V_{i})_{i=0,\ldots ,n}$ und $(W_{i})_{i=0,\ldots ,n}$ zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die

$\dim V_{i}=\dim W_{i}$ für $i=0,\ldots ,n$

gilt, so sagt man, dass $(V_{i})_{i}$ und $(W_{i})_{i}$ denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl $\dim V$ bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von $V$ auseinander hervor.

Verwendung

Ist $A$ ein Endomorphismus von $V$, und gilt

$A\cdot V_{i}\subseteq V_{i},$ für alle $i$

so heißt die Fahne unter $A$ invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von $V$ gibt, bezüglich der $A$ durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.

Verwandte Begriffe

• Die Menge aller Automorphismen von $V$, die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von $\mathrm {GL} (V)$.
• Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da $\mathrm {GL} (V)$ transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von $\mathrm {GL} (V)$ darstellen.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• I. R. Shafarevich, A. O. Remizov: Linear Algebra and Geometry. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9 (springer.com).