Fast-Kontaktmannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine Fast-Kontaktmannigfaltigkeit eine $(2n+1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit, deren Tangentialbündel eine Reduktion zur Strukturgruppe $U(n)\times \mathbb {R}$ erlaubt. Zum Beispiel sind orientierte reelle Hyperflächen in komplexen Mannigfaltigkeiten Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten. Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten sind eine Verallgemeinerung von Kontaktmannigfaltigkeiten und wurden 1960 von Shigeo Sasaki eingeführt.

Definitionen

Fast-Kontaktmannigfaltigkeiten sind $(2n+1)$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$, deren Tangentialbündel eine Reduktion zur Strukturgruppe $U(n)\times \mathbb {R}$ erlaubt. Äquivalent sind sie gegeben durch ein Hyperebenenfeld $Q$, eine fast-komplexe Struktur $J\colon Q\to Q$ und ein zu $Q$ transversales Vektorfeld $\xi$.

Für eine Kontaktmannigfaltigkeit mit Kontaktform $\alpha$, Kontaktfeld $Q=ker(\alpha )$ und Reeb-Vektorfeld $\xi$ ist die Einschränkung von $d\alpha$ auf $Q$ eine symplektische Form, durch die (mit Hilfe einer beliebigen Riemannschen Metrik) eine fast-komplexe Struktur auf $Q$ und damit eine fast-Kontaktstruktur definiert werden kann.

Äquivalent kann man eine Fast-Kontaktstruktur auf $M$ definieren durch ein Vektorfeld $\xi$, eine 1-Form $\eta$ und eine faserweise lineare Abbildung $\phi \colon TM\to TM$ mit den punktweisen Bedingungen $\eta (\xi )=1$ und $\eta (v)\xi =\phi (\phi (v))+v$ für alle $v\in TM$. Man definiert dann $Q=ker(\eta )$ und $J=\phi \mid _{Q}$. Umgekehrt erhält man $\eta$ und $\phi$ zu einer Fast-Kontaktstruktur durch die Bedingungen $\eta (\xi )=1,\phi (\xi )=0$ sowie $\eta (u)=0$ und $\phi (u)=J(u)$ für $u\in Q$.

Literatur

• S. Sasaki: On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structures. Tohoku Mathematical Journal 12, 459-476 (1960)