Fatou-Bieberbach-Gebiet

Ein Fatou-Bieberbach-Gebiet ist ein echtes Teilgebiet von $\mathbb {C} ^{n}$, welches biholomorph äquivalent ist zu $\mathbb {C} ^{n}$, d. h. ein offenes $\Omega \subset \mathbb {C} ^{n}\;(\Omega \neq \mathbb {C} ^{n})$ heißt Fatou-Bieberbach-Gebiet, falls es eine bijektive holomorphe Funktion $f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ und eine holomorphe Umkehrfunktion $f^{-1}\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \Omega$ gibt.

Geschichte

Als Konsequenz des Riemannschen Abbildungssatzes gibt es im Falle $n=1$ keine Fatou-Bieberbach-Gebiete. In höheren Dimensionen wurden Fatou-Bieberbach-Gebiete erstmals in den 1920er-Jahren von Pierre Fatou und Ludwig Bieberbach entdeckt und später nach ihren Entdeckern benannt. Seit den 1980er-Jahren sind Fatou-Bieberbach-Gebiete wieder Gegenstand der mathematischen Forschung.

Quellen

• Pierre Fatou: Sur les fonctions méromorphes de deux variables, Sur certaines fonctions uniformes de deux variables. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Band 175 (1922), S. 862–865, 1030–1033.
• Ludwig Bieberbach: Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine schlichte volumtreue Abbildung des ${\mathcal {R}}_{4}$ auf einen Teil seiner selbst vermitteln. Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte, 1933, S. 476–479.
• J.-P. Rosay, W. Rudin: Holomorphic maps from $\mathbb {C} ^{n}$ to $\mathbb {C} ^{n}$. Transactions of the American Mathematical Society, Band 310 (1988), Heft 1, S. 47–86.