Fitting-Untergruppe

Die Fitting-Untergruppe, benannt nach Hans Fitting, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Konstruktion einer gewissen Untergruppe, in vielen Fällen handelt es sich um die größte nilpotente Untergruppe.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe. Die von allen nilpotenten Normalteilern erzeugte Untergruppe heißt die Fitting-Untergruppe und wird mit $\mathrm {Fit} (G)$ oder $\mathrm {F} (G)$ bezeichnet.

Vorsicht: Die Bezeichnung $\mathrm {F} (G)$ könnte mit der Frattinigruppe verwechselt werden, letztere wird von vielen Autoren aber mit $\Phi (G)$ bezeichnet.

Bemerkungen

Die Fitting-Untergruppe ist stets ein Normalteiler, sogar eine charakteristische Untergruppe. Im Allgemeinen ist sie aber selbst nicht nilpotent (siehe Beispiele unten), doch es gilt der folgende

• Satz von Fitting: Sind $M$ und $N$ nilpotente Normalteiler einer Gruppe, so ist auch ihr Komplexprodukt $MN$ ein nilpotenter Normalteiler.

Ist also $\mathrm {Fit} (G)$ endlich erzeugt, so ergibt sich aus dem Satz von Fitting sofort, dass $\mathrm {Fit} (G)$ nilpotent ist, denn dann ist diese Untergruppe ja ein endliches Komplexprodukt nilpotenter Normalteiler. Das gilt also insbesondere für Gruppen mit Maximalbedingung, das heißt für Gruppen, in denen jede nicht-leere Familie von Untergruppen ein maximales Element besitzt, denn in solchen ist jede Untergruppe endlich erzeugt. Insbesondere ist die Fitting-Untergruppe einer endlichen Gruppe stets der größte darin enthaltene nilpotente Normalteiler.

Die Fitting-Untergruppe kann trivial sein. Für endliche Gruppen ist das genau für die halbeinfachen Gruppen der Fall.

Beispiele

• Für nilpotente Gruppen $G$ ist definitionsgemäß $\mathrm {Fit} (G)=G$
• Ist $G$ einfach und nichtabelsch, so ist $\mathrm {Fit} (G)=\{1\}$, denn die Gruppe ist nicht nilpotent und es gibt keine echten Normalteiler.
• Für die symmetrische Gruppe S₃ ist $\mathrm {Fit} (S_{3})=\{(1),(123),(132)\}$.
• Für auflösbare Gruppen $G$ ist $\mathrm {Fit} (G)\not =\{1\}$, denn die kleinste nicht-triviale abgeleitete Gruppe ist ein abelscher und damit nilpotenter Normalteiler und als solcher in der Fitting-Untergruppe enthalten.
• Sei $H_{n}$ eine Folge von nilpotenten Gruppen der Nilpotenzklasse n. Dann ist die direkte Summe $\textstyle G:=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }H_{n}$ nicht nilpotent, aber es gilt $\mathrm {Fit} (G)=G$, insbesondere haben wir hiermit ein Beispiel einer nicht-nilpotenten Fitting-Untergruppe.

Endliche Gruppen

• In endlichen Gruppen ist die Fitting-Untergruppe der Durchschnitt der Zentralisatoren der Hauptfaktoren.

Zu den hier verwendeten Begriffen sei

$\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$

eine Hauptreihe, das heißt eine Normalreihe, die sich nicht weiter verfeinern lässt. Die Faktorgruppen $G_{i+1}/G_{i}$ heißen Hauptfaktoren und deren Zentralisatoren sind

$C_{G}(G_{i+1}/G_{i}):=\{x\in G|\,\forall y\in G_{i+1}:[x,y]\in G_{i}\}$.

Obige Aussage bedeutet

$\mathrm {Fit} (G)=\bigcap _{i=0}^{n-1}C_{G}(G_{i+1}/G_{i})$.

Für eine Primzahl $p$ sei $K_{p}$ der Durchschnitt aller p-Sylowgruppen. Bezeichnet weiter $\mathbb {P}$ die Menge aller Primzahlen, so gilt

• Für eine endliche Gruppe $G$ ist $\mathrm {Fit} (G)=\bigoplus _{p\in \mathbb {P} ,p|\mathrm {ord} (G)}K_{p}$,

wobei $p|\mathrm {ord} (G)$ bedeutet, dass p die Gruppenordnung teilt.

Für endliche Gruppen besteht folgende Beziehung zur Frattinigruppe $\Phi (G)$:

• $[\mathrm {Fit} (G),\mathrm {Fit} (G)]\leq \Phi (G)\leq \mathrm {Fit} (G)$
• $\mathrm {Fit} (G)/\Phi (G)=\mathrm {Fit} (G/\Phi (G))$.

Die Nilpotenzlänge

Mittels der Fitting-Untergruppe kann man wie folgt rekursiv die sogenannte obere nilpotente Reihe

$\{1\}=U_{0}(G)\leq U_{1}(G)\leq \ldots$

einer Gruppe $G$ bilden. Man setzt

$U_{0}(G):=\{1\}$

$U_{i+1}(G)/U_{i}(G):=\mathrm {Fit} (G/U_{i}(G))$.

Erreicht diese Reihe schließlich $G$, so nennt man das kleinste $n$ mit $U_{n}(G)=G$ die Nilpotenzlänge von $G$. Für auflösbare Gruppen ist das stets der Fall und die Nilpotenzlänge ist die kleinste Zahl $n$, für die es eine Reihe

$\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$

aus Normalteilern $G_{i}\vartriangleleft G$ gibt, so dass die Faktoren $G_{i+1}/G_{i}$ nilpotent sind.